Ниже будут рассмотрены примеры простейших систем массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно используются в практических расчетах.
Одноканальная смо с отказами
Дано : система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.
Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях:S 0 – канал свободен;S 1 – канал занят. Переход изS 0 вS 1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход изS 1 вS 0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.4).
Рис.4. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.
Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками -);
–интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания )
Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):
Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):
Очевидны следующие соотношения: и.
Пример . Технологическая система состоит из одного станка. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа. Среднее время изготовления одной детали равно. Если при поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется на другой станок. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению детали.
Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.
.
Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие станки.
N – канальная смо с отказами (задача Эрланга)
Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.
Дано : в системе имеетсяn – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времениt , получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).
Решение . Состояние системыS (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):
S 0 – в СМО нет ни одной заявки;
S 1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);
S 2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);
S n – в СМО находитсяn – заявок (всеn – каналов заняты).
Граф состояний СМО представлен на рис. 5
Рис.5 Граф состояний для n – канальной СМО с отказами
Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S 0 в состояниеS 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью(как только приходит заявка, система переходит изS 0 вS 1). Если система находилась в состоянииS 1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояниеS 2 и т.д.
Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S 1 (работает один канал). Он производитобслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состоянияS 1 в состояниеS 0 нагружена интенсивностью. Пусть теперь система находится в состоянииS 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти вS 1 , нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равнаи т.д.
Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.
Абсолютная пропускная способность :
где n – количество каналов СМО;
–вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S 0);
Рис.6. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»
Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.6
Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):
Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.
S 1 , когда один канал занят:
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S 2 , т.е. когда два канала заняты:
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S n , т.е. когда все каналы заняты.
Теперь для n – канальной СМО с отказами
Относительная пропускная способность:
Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых системой. При этом
Вероятность отказа :
Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной. Очевидно, что .
Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно):
Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но которые хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).
В СМО подразумевается, что есть типовые пути (каналы обслуживания), через которые в процессе обработки проходят заявки . Принято говорить, что заявки обслуживаются каналами. Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях; заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а части могут отказать в этом. Важно, что заявки, с точки зрения системы, абстрактны: это то, что желает обслужиться, то есть пройти определенный путь в системе. Каналы являются также абстракцией: это то, что обслуживает заявки.
Заявки могут приходить неравномерно, каналы могут обслуживать разные заявки за разное время и так далее, количество заявок всегда весьма велико. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. Поэтому принято представление о том, что обслуживание в сложных системах носит случайный характер.
Примерами СМО (см. табл. 30.1) могут служить: автобусный маршрут и перевозка пассажиров; производственный конвейер по обработке деталей; влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО; ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны; электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве и т. д.
| Таблица 30.1. Примеры систем массового обслуживания |
|||||||||||||||||
| СМО | Заявки | Каналы |
| Автобусный маршрут и перевозка пассажиров | Пассажиры | Автобусы |
| Производственный конвейер по обработке деталей | Детали, узлы | Станки, склады |
| Влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО |
Самолеты | Зенитные орудия, радары, стрелки, снаряды |
| Ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны | Патроны | Ствол, рожок |
| Электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве | Заряды | Каскады технического устройства |
Но все эти системы объединены в один класс СМО, поскольку подход к их изучению един. Он состоит в том, что, во-первых , с помощью генератора случайных чисел разыгрываются случайные числа, которые имитируют СЛУЧАЙНЫЕ моменты появления заявок и время их обслуживания в каналах. Но в совокупности эти случайные числа, конечно, подчинены статистическим закономерностям.
К примеру, пусть сказано: «заявки в среднем приходят в количестве 5 штук в час». Это означает, что времена между приходом двух соседних заявок случайны, например: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2, как это показано на рис. 30.1 , но в сумме они дают в среднем 1 (обратите внимание, что в примере это не точно 1, а 1.1 но зато в другой час эта сумма, например, может быть равной 0.9); и только за достаточно большое время среднее этих чисел станет близким к одному часу.
Результат (например, пропускная способность системы), конечно, тоже будет случайной величиной на отдельных промежутках времени. Но измеренная на большом промежутке времени, эта величина будет уже, в среднем, соответствовать точному решению. То есть для характеристики СМО интересуются ответами в статистическом смысле.
Итак, систему испытывают случайными входными сигналами, подчиненными заданному статистическому закону, а в качестве результата принимают статистические показатели, усредненные по времени рассмотрения или по количеству опытов. Ранее, в лекции 21 (см. рис. 21.1), мы уже разработали схему для такого статистического эксперимента (см. рис. 30.2 ).
Во-вторых , все модели СМО собираются типовым образом из небольшого набора элементов (канал, источник заявок, очередь, заявка, дисциплина обслуживания, стек, кольцо и так далее), что позволяет имитировать эти задачи типовым образом. Для этого модель системы собирают из конструктора таких элементов. Неважно, какая конкретно система изучается, важно, что схема системы собирается из одних и тех же элементов. Разумеется, структура схемы будет всегда различной.
Перечислим некоторые основные понятия СМО.
Каналы то, что обслуживает; бывают горячие (начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал) и холодные (каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку). Источники заявок порождают заявки в случайные моменты времени, согласно заданному пользователем статистическому закону. Заявки , они же клиенты , входят в систему (порождаются источниками заявок), проходят через ее элементы (обслуживаются), покидают ее обслуженными или неудовлетворенными. Бывают нетерпеливые заявки такие, которым надоело ожидать или находиться в системе и которые покидают по собственной воле СМО. Заявки образуют потоки поток заявок на входе системы , поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок. Поток характеризуется количеством заявок определенного сорта, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени (час, сутки, месяц), то есть поток есть величина статистическая.
Очереди характеризуются правилами стояния в очереди (дисциплиной обслуживания), количеством мест в очереди (сколько клиентов максимум может находиться в очереди), структурой очереди (связь между местами в очереди). Бывают ограниченные и неограниченные очереди. Перечислим важнейшие дисциплины обслуживания. FIFO (First In, First Out первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание. LIFO (Last In, First Out последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример патроны в рожке автомата). SF (Short Forward короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.
Дадим яркий пример, показывающий, как правильный выбор той или иной дисциплины обслуживания позволяет получить ощутимую экономию по времени.
Пусть имеется два магазина. В магазине № 1 обслуживание осуществляется в порядке очереди, то есть здесь реализована дисциплина обслуживания FIFO (см. рис. 30.3 ).
Время обслуживания t обслуж. на рис. 30.3 показывает, сколько времени продавец затратит на обслуживание одного покупателя. Понятно, что при покупке штучного товара продавец затратит меньше времени на обслуживание, чем при покупке, скажем, сыпучих продуктов, требующих дополнительных манипуляций (набрать, взвесить, высчитать цену и т. п). Время ожидания t ожид. показывает, через какое время очередной покупатель будет обслужен продавцом.
В магазине № 2 реализована дисциплина SF (см. рис. 30.4 ), означающая, что штучный товар можно купить вне очереди, так как время обслуживания t обслуж. такой покупки невелико.
Как видно из обоих рисунков, последний (пятый) покупатель собирается приобрести штучный товар, поэтому время его обслуживания невелико 0.5 минут. Если этот покупатель придет в магазин № 1, он будет вынужден выстоять в очереди целых 8 минут, в то время как в магазине № 2 его обслужат сразу же, вне очереди. Таким образом, среднее время обслуживания каждого из покупателей в магазине с дисциплиной обслуживания FIFO составит 4 минуты, а в магазине с дисциплиной обслуживания КВ лишь 2.8 минуты. А общественная польза, экономия времени составит: (1 2.8/4) · 100% = 30 процентов! Итак, 30% сэкономленного для общества времени и это лишь за счет правильного выбора дисциплины обслуживания.
Специалист по системам должен хорошо понимать ресурсы производительности и эффективности проектируемых им систем, скрытые в оптимизации параметров, структур и дисциплинах обслуживания. Моделирование помогает выявить эти скрытые резервы .
При анализе результатов моделирования важно также указать интересы и степень их выполнения. Различают интересы клиента и интересы владельца системы. Заметим, что эти интересы совпадают не всегда.
Судить о результатах работы СМО можно по показателям . Наиболее популярные из них:
- вероятность обслуживания клиента системой;
- пропускная способность системы;
- вероятность отказа клиенту в обслуживании;
- вероятность занятости каждого из канала и всех вместе;
- среднее время занятости каждого канала;
- вероятность занятости всех каналов;
- среднее количество занятых каналов;
- вероятность простоя каждого канала;
- вероятность простоя всей системы;
- среднее количество заявок, стоящих в очереди;
- среднее время ожидания заявки в очереди;
- среднее время обслуживания заявки;
- среднее время нахождения заявки в системе.
Судить о качестве полученной системы нужно по совокупности значений показателей. При анализе результатов моделирования (показателей) важно также обращать внимание на интересы клиента и интересы владельца системы , то есть минимизировать или максимизировать надо тот или иной показатель, а также на степень их выполнения. Заметим, что чаще всего интересы клиента и владельца между собой не совпадают или совпадают не всегда. Показатели будем обозначать далее H = {h 1 , h 2 , } .
Параметрами СМО могут быть: интенсивность потока заявок, интенсивность потока обслуживания, среднее время, в течение которого заявка готова ожидать обслуживания в очереди, количество каналов обслуживания, дисциплина обслуживания и так далее. Параметры это то, что влияет на показатели системы. Параметры будем обозначать далее как R = {r 1 , r 2 , } .
Пример. Автозаправочная станция (АЗС) .
1. Постановка задачи . На рис. 30.5 приведен план АЗС. Рассмотрим метод моделирования СМО на ее примере и план ее исследования. Водители, проезжая по дороге мимо АЗС по дороге, могут захотеть заправить свой автомобиль. Хотят обслужиться (заправить машину бензином) не все автомобилисты подряд; допустим, что из всего потока машин на заправку в среднем заезжает 5 машин в час.
На АЗС две одинаковые колонки, статистическая производительность каждой из которых известна. Первая колонка в среднем обслуживает 1 машину в час, вторая в среднем 3 машины в час. Владелец АЗС заасфальтировал для машин место, где они могут ожидать обслуживания. Если колонки заняты, то на этом месте могут ожидать обслуживания другие машины, но не более двух одновременно. Очередь будем считать общей. Как только одна из колонок освободится, то первая машина из очереди может занять ее место на колонке (при этом вторая машина продвигается на первое место в очереди). Если появляется третья машина, а все места (их два) в очереди заняты, то ей отказывают в обслуживании, так как стоять на дороге запрещено (см. дорожные знаки около АЗС). Такая машина уезжает прочь из системы навсегда и как потенциальный клиент является потерянной для владельца АЗС. Можно усложнить задачу, рассмотрев кассу (еще один канал обслуживания, куда надо попасть после обслуживания в одной из колонок) и очередь к ней и так далее. Но в простейшем варианте очевидно, что пути движения потоков заявок по СМО можно изобразить в виде эквивалентной схемы, а добавив значения и обозначения характеристик каждого элемента СМО, получаем окончательно схему, изображенную на рис. 30.6 .
2. Метод исследования СМО . Применим в нашем примере принцип последовательной проводки заявок (подробно о принципах моделирования см. лекцию 32). Его идея заключается в том, что заявку проводят через всю систему от входа до выхода, и только после этого берутся за моделирование следующей заявки.
Для наглядности построим временную диаграмму работы СМО, отражая на каждой линейке (ось времени t ) состояние отдельного элемента системы. Временных линеек проводится столько, сколько имеется различных мест в СМО, потоков. В нашем примере их 7 (поток заявок, поток ожидания на первом месте в очереди, поток ожидания на втором месте в очереди, поток обслуживания в канале 1, поток обслуживания в канале 2, поток обслуженных системой заявок, поток отказанных заявок).
Для генерации времени прихода заявок используем формулу вычисления интервала между моментами прихода двух случайных событий (см. лекцию 28):
В этой формуле величина потока λ должна быть задана (до этого она должна быть определена экспериментально на объекте как статистическое среднее), r случайное равномерно распределенное число от 0 до 1 из ГСЧ или таблицы , в которой случайные числа нужно брать подряд (не выбирая специально).
Задача . Сгенерируйте поток из 10 случайных событий с интенсивностью появления событий 5 шт/час.
Решение задачи . Возьмем случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 (см. таблицу), и вычислим их натуральные логарифмы (см. табл. 30.2).
Формула пуассоновского потока определяет расстояние между двумя случайными событиями следующим образом: t = Ln(r рр)/λ . Тогда, учитывая, что λ = 5 , имеем расстояния между двумя случайными соседними событиями: 0.68, 0.21, 0.31, 0.12 часа. То есть события наступают: первое в момент времени t = 0 , второе в момент времени t = 0.68 , третье в момент времени t = 0.89 , четвертое в момент времени t = 1.20 , пятое в момент времени t = 1.32 и так далее. События приход заявок отразим на первой линейке (см. рис. 30.7 ).
 |
Берется первая заявка и, так как в этот момент каналы свободны, устанавливается на обслуживание в первый канал. Заявка 1 переносится на линейку «1 канал».
Время обслуживания в канале тоже случайное и вычисляется по аналогичной формуле:
где роль интенсивности играет величина потока обслуживания μ 1 или μ 2 , в зависимости от того, какой канал обслуживает заявку. Находим на диаграмме момент окончания обслуживания, откладывая сгенерированное время обслуживания от момента начала обслуживания, и опускаем заявку на линейку «Обслуженные».
Заявка прошла в СМО весь путь. Теперь можно, согласно принципу последовательной проводки заявок, также проимитировать путь второй заявки.
Если в некоторый момент окажется, что оба канала заняты, то следует установить заявку в очередь. На рис. 30.7 это заявка с номером 3. Заметим, что по условиям задачи в очереди в отличие от каналов заявки находятся не случайное время, а ожидают, когда освободится какой-то из каналов. После освобождения канала заявка поднимается на линейку соответствующего канала и там организуется ее обслуживание.
Если все места в очереди в момент, когда придет очередная заявка, будут заняты, то заявку следует отправить на линейку «Отказанные». На рис. 30.7 это заявка с номером 6.
Процедуру имитации обслуживания заявок продолжают некоторое время наблюдения T н . Чем больше это время, тем точнее в дальнейшем будут результаты моделирования. Реально для простых систем выбирают T н , равное 50100 и более часов, хотя иногда лучше мерить эту величину количеством рассмотренных заявок.
Анализ временной диаграммы
Анализ проведем на уже рассмотренном примере.
Сначала нужно дождаться установившегося режима. Откидываем первые четыре заявки как нехарактерные, протекающие во время процесса установления работы системы. Измеряем время наблюдения, допустим, что в нашем примере оно составит T н = 5 часов. Подсчитываем из диаграммы количество обслуженных заявок N обс. , времена простоя и другие величины. В результате можем вычислить показатели, характеризующие качество работы СМО.
- Вероятность обслуживания: P обс. = N обс. /N = 5/7 = 0.714 . Для расчета вероятности обслуживания заявки в системе достаточно разделить число заявок, которым удалось обслужиться за время T н (см. линейку «Обслуженные») N обс. , на число заявок N , которые хотели обслужиться за это же время. Как и раньше вероятность экспериментально определяем отношением свершившихся событий к общему числу событий, которые могли совершиться!
- Пропускная способность системы: A = N обс. /T н = 7/5 = 1.4 [шт/час] . Для расчета пропускной способности системы достаточно разделить число обслуженных заявок N обс. на время T н , за которое произошло это обслуживание (см. линейку «Обслуженные»).
- Вероятность отказа: P отк. = N отк. /N = 3/7 = 0.43 . Для расчета вероятности отказа заявке в обслуживании достаточно разделить число заявок N отк. , которым отказали за время T н (см. линейку «Отказанные»), на число заявок N , которые хотели обслужиться за это же время, то есть поступили в систему. Обратите внимание . P отк. + P обс. в теории должно быть равно 1. На самом деле экспериментально получилось, что P отк. + P обс. = 0.714 + 0.43 = 1.144 . Эта неточность объясняется тем, что время наблюдения T н мало и статистика накоплена недостаточная для получения точного ответа. Погрешность это показателя сейчас составляет 14%!
- Вероятность занятости одного канала: P 1 = T зан. /T н = 0.05/5 = 0.01 , где T зан. время занятости только одного канала (первого или второго). Измерениям подлежат временные отрезки, на которых происходят определенные события. Например, на диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых заняты или первый или второй канал. В данном примере есть один такой отрезок в конце диаграммы длиной 0.05 часа. Доля этого отрезка в общем времени рассмотрения (T н = 5 часов) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
- Вероятность занятости двух каналов: P 2 = T зан. /T н = 4.95/5 = 0.99 . На диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых одновременно заняты и первый, и второй канал. В данном примере таких отрезков четыре, их сумма равна 4.95 часа. Доля продолжительности этих события в общем времени рассмотрения (T н = 5 часов) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
- Среднее количество занятых каналов: N ск = 0 · P 0 + 1 · P 1 + 2 · P 2 = 0.01 + 2 · 0.99 = 1.99 . Чтобы подсчитать, сколько каналов занято в системе в среднем, достаточно знать долю (вероятность занятости одного канала) и умножить на вес этой доли (один канал), знать долю (вероятность занятости двух каналов) и умножить на вес этой доли (два канала) и так далее. Полученная цифра 1.99 говорит о том, что из возможных двух каналов в среднем загружено 1.99 канала. Это высокий показатель загрузки, 99.5%, система хорошо использует ресурс.
- Вероятность простоя хотя бы одного канала: P * 1 = T простоя1 /T н = 0.05/5 = 0.01 .
- Вероятность простоя двух каналов одновременно: P * 2 = T простоя2 /T н = 0 .
- Вероятность простоя всей системы: P * c = T простоя сист. /T н = 0 .
- Среднее количество заявок в очереди: N сз = 0 · P 0з + 1 · P 1з + 2 · P 2з = 0.34 + 2 · 0.64 = 1.62 [шт] . Чтобы определить среднее количество заявок в очереди, надо определить отдельно вероятность того, что в очереди будет одна заявка P 1з , вероятность того, в очереди будет стоять две заявки P 2з и т. д. и снова с соответствующими весами их сложить.
- Вероятность того, что в очереди будет одна заявка: P 1з = T 1з /T н = 1.7/5 = 0.34 (всего на диаграмме четырех таких отрезка, в сумме дающих 1.7 часа).
- Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки: P 2з = T 2з /T н = 3.2/5 = 0.64 (всего на диаграмме три таких отрезка, в сумме дающих 3.25 часа).
- Среднее время ожидания заявки в очереди:
(Сложить все временные интервалы, в течение которых какая-либо заявка находилась в очереди, и разделить на количество заявок). На временной диаграмме таких заявок 4.
- Среднее время обслуживания заявки:
(Сложить все временные интервалы, в течение которых какая-либо заявка находилась на обслуживании в каком-либо канале, и разделить на количество заявок).
- Среднее время нахождения заявки в системе: T ср. сист. = T ср. ож. + T ср. обсл. .
- Среднее количество заявок в системе:
Разобьем интервал наблюдения, например, на десятиминутки. Получится на пяти часах K подынтервалов (в нашем случае K = 30 ). В каждом подынтервале определим по временной диаграмме, сколько заявок в этот момент находится в системе. Смотреть надо на 2, 3, 4 и 5-ю линейки какие из них заняты в данный момент. Затем сумму K слагаемых усреднить.
Далее следует оценить точность каждого из полученных результатов. То есть ответить на вопрос: насколько мы можем доверять этим значениям? Оценка точности проводится по методике, описанной в лекции 34 .
Если точность не является удовлетворительной, то следует увеличить время эксперимента и тем самым улучшить статистику. Можно сделать и по-другому. Снова несколько раз запустить эксперимент на время T н . А в последствии усреднить значения этих экспериментов. И снова проверить результаты на критерий точности. Эту процедуру следует повторять до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.
Далее следует составить таблицу результатов и оценить значения каждого из них с точки зрения клиента и владельца СМО (см. табл. 30.3).. В конце, учитывая сказанное в каждом пункте, следует сделать общий вывод. Таблица должна иметь примерно такой вид, какой показан в табл. 30.3.
| Таблица 30.3. Показатели СМО |
||||||||||||||||||||||||
| Показатель | Формула | Значение | Интересы владельца СМО | Интересы клиента СМО |
| Вероятность обслуживания | P обс. = N обс. /N | 0.714 | Вероятность обслуживания мала, много клиентов уходят из системы неудовлетворенными, их деньги для владельца потеряны. Это «минус». | Вероятность обслуживания мала, каждый третий клиент хочет, но не может обслужиться. Это «минус». |
| Среднее количество заявок в очереди | N сз = 0 · P 0з + 1 · P 1з + 2 · P 2з | 1.62 | Очередь практически все время вся забита. Все места в очереди
используются достаточно эффективно. Вложения на организацию очереди
окупают затраты на нее. Это «плюс».
Клиенты, которые долго стоят в очереди, могут уйти, не дождавшись обслуживания. Клиенты, простаивая, могут нанести ущерб системе, ломать оборудование. Много отказов, потерянных клиентов. Это «минусы». |
Очередь практически все время вся забита. Клиенту приходится стоять в очереди, прежде чем он попадет на обслуживание. Клиент может не попасть даже в очередь. Это «минус». |
| Общий итог: | В интересах владельца: а) увеличить пропускную способность каналов, чтобы не терять клиентов (правда, модернизация каналов стоит денег); б) увеличить число мест в очереди (это тоже стоит денег), чтобы задержать потенциальных клиентов. | Клиенты заинтересованы в значительном увеличении пропускной способности для уменьшения времени ожидания и уменьшения отказов. | ||
Синтез СМО
Мы проделали анализ существующей системы. Это дало возможность увидеть ее недостатки и определить направления улучшения ее качества. Но остаются непонятными ответы на конкретные вопросы, что именно надо сделать увеличивать количество каналов или увеличивать их пропускную способность, или увеличивать количество мест в очереди, и, если увеличивать, то насколько? Есть и такие вопросы, что лучше создать 3 канала с производительностью 5 шт/час или один с производительностью 15 шт/час?
Чтобы оценить чувствительность каждого показателя к изменению значения определенного параметра, поступают следующим образом. Фиксируют все параметры кроме одного, выбранного. Затем снимают значение всех показателей при нескольких значениях этого выбранного параметра. Конечно, приходится повторять снова и снова процедуру имитации и усреднять показатели при каждом значении параметра, оценивать точность. Но в результате получаются надежные статистические зависимости характеристик (показателей) от параметра.
Например, для 12 показателей нашего примера можно получить 12 зависимостей от одного параметра: зависимость вероятности отказов P отк. от количества мест в очереди (КМО), зависимость пропускной способности A от количества мест в очереди, и так далее (см. рис. 30.8 ).
Затем так же можно снять еще 12 зависимостей показателей P от другого параметра R , зафиксировав остальные параметры. И так далее. Образуется своеобразная матрица зависимостей показателей P от параметров R , по которой можно провести дополнительный анализ о перспективах движения (улучшения показателей) в ту или иную сторону. Наклон кривых хорошо показывает чувствительность, эффект от движения по определенному показателю. В математике эту матрицу называют якобианом J , в которой роль наклона кривых играют значения производных ΔP i /ΔR j , см. рис. 30.9 . (Напомним, что производная связана геометрически с углом наклона касательной к зависимости.)
в зависимости от изменения параметров СМО
Если показателей 12, а параметров, например, 5, то матрица имеет размерность 12 x 5. Каждый элемент матрицы кривая, зависимость i -го показателя от j -го параметра. Каждая точка кривой среднее значение показателя на достаточно представительном отрезке T н или усреднено по нескольким экспериментам.
Следует понимать, что кривые снимались в предположении того, что все параметры кроме одного в процессе их снятия были неизменны. (Если бы все параметры меняли значения, то кривые были бы другими. Но так не делают, так как получится полная неразбериха и зависимостей не будет видно.)
Поэтому, если на основании рассмотрения снятых кривых принимается решение о том, что некоторый параметр будет в СМО изменен, то все кривые для новой точки, в которой опять будет исследоваться вопрос о том, какой параметр следует изменить, чтобы улучшить показатели, следует снимать заново .
Так шаг за шагом можно попытаться улучшить качество системы. Но пока эта методика не может ответить на ряд вопросов. Дело в том, что, во-первых, если кривые монотонно растут, то возникает вопрос, где же все-таки следует остановиться. Во-вторых, могут возникать противоречия, один показатель может улучшаться при изменении выбранного параметра, в то время как другой будет одновременно ухудшаться. В-третьих, ряд параметров сложно выразить численно, например, изменение дисциплины обслуживания, изменение направлений потоков, изменение топологии СМО. Поиск решения в двух последних случаях проводится с применением методов экспертизы (см. лекцию 36. Экспертиза) и методами искусственного интеллекта (см. .
Поэтому сейчас обсудим только первый вопрос. Как принять решение, каким должно быть все-таки значение параметра, если с его ростом показатель все время монотонно улучшается? Вряд ли значение бесконечности устроит инженера.
Параметр R управление, это то, что находится в распоряжении владельца СМО (например, возможность заасфальтировать площадку и тем самым увеличить количество мест в очереди, поставить дополнительные каналы, увеличить поток заявок за счет увеличения затрат на рекламу и так далее). Меняя управление, можно влиять на значение показателя P , цель, критерий (вероятность отказов, пропускную способность, среднее время обслуживания и так далее). Из рис. 30.10 видно, что если увеличивать управление R , то можно добиться всегда улучшение показателя P . Но очевидно, что любое управление связано с затратами Z . И чем больше прилагают усилия для управления, чем больше значение управляющего параметра, тем больше затраты. Обычно затраты на управление растут линейно: Z = C 1 · R . Хотя встречаются случаи, когда, например, в иерархических системах, они растут экспоненциально, иногда обратно экспоненциально (скидки за опт) и так далее.
от управляемого параметра R (пример)
В любом случае ясно, что когда-то вложение все новых затрат просто перестанет себя окупать. Например, эффект от заасфальтированной площадки размером в 1 км 2 вряд ли окупит затраты владельца бензоколонки в Урюпинске, там просто не будет столько желающих заправиться бензином. Иными словами показатель P в сложных системах не может расти бесконечно. Рано или поздно его рост замедляется. А затраты Z растут (см. рис. 30.11 ).
Из рис. 30.11 видно, что при назначении цены C 1 за единицу затрат R и цены C 2 за единицу показателя P , эти кривые можно сложить. Кривые складывают, если их требуется одновременно минимизировать или максимизировать. Если одна кривая подлежит максимизации, а другая минимизации, то следует найти их разность, например по точкам. Тогда результирующая кривая (см. рис. 30.12 ), учитывающая и эффект от управления и затраты на это, будет иметь экстремум. Значение параметра R , доставляющего экстремум функции, и есть решение задачи синтеза .
и затрат Z на его получение как функции управляемого параметра R
Кроме управления R и показателя P в системах действует возмущение. Возмущения обозначим как D = {d 1 , d 2 , } , см. рис. 30.13 . Возмущение это входное воздействие, которое, в отличие от управляющего параметра, не зависит от воли владельца системы. Например, низкие температуры на улице, конкуренция снижают, к сожалению, поток клиентов, поломки оборудования досадно снижают производительность системы. И управлять этими величинами непосредственно владелец системы не может. Обычно возмущение действует «назло» владельцу, снижая эффект P от управляющих усилий R . Это происходит потому, что, в общем случае, система создается для достижения целей, недостижимых самих по себе в природе. Человек, организуя систему, всегда надеется посредством ее достичь некоторой цели P . На это он затрачивает усилия R , идя наперекор природе. Система организация доступных человеку, изученных им природных компонент для достижения некоторой новой цели, недостижимой ранее другими способами .
на которую воздействуют управляющие воздействия R и возмущения D
Итак, если мы снимем зависимость показателя P от управления R еще раз (как показано на рис. 30.10 ), но в условиях появившегося возмущения D , то, возможно, характер кривой изменится. Скорее всего, показатель будет при одинаковых значениях управлений находиться ниже, так как возмущение носит «противный» характер, снижая показатели системы (см. рис. 30.14 ). Система, предоставленная сама себе, без усилий управляющего характера, перестает обеспечивать цель, для достижения которой она была создана . Если, как и ранее, построить зависимость затрат, соотнести ее с зависимостью показателя от параметра управления, то найденная точка экстремума сместится (см. рис. 30.15 ) по сравнению со случаем «возмущение = 0» (см. рис. 30.12 ).
при различных значениях действующих на систему возмущений D
Если снова увеличить возмущение, то кривые изменятся (см. рис. 30.14 ) и, как следствие, снова изменится положение точки экстремума (см. рис. 30.15 ).
при различных значениях действующего возмущающего фактора D
В конечном итоге, все найденные положения точек экстремума переносятся на новый график, где образуют зависимость Показателя P от Управляющего параметра R при изменении Возмущений D (см. рис. 30.16 ).
параметра R при изменении значений возмущений D
(кривая состоит только из точек экстремумов)
Обратите внимание, что на самом деле на этом графике могут быть и другие рабочие точки (график пронизан как бы семействами кривых), но нанесенные нами точки задают такие координаты управляющего параметра, при которых при заданных возмущениях (!) достигается наибольшее из возможных значение показателя P .
Этот график (см. рис. 30.16 ) связывает Показатель P , Управление (ресурс) R и Возмущение D в сложных системах, указывая, как действовать наилучшим образом ЛПР (лицу, принимающему решение) в условиях возникших возмущений. Теперь пользователь может, зная реальную обстановку на объекте (значение возмущения), быстро по графику определить, какое управляющее воздействие на объект необходимо, чтобы обеспечить наилучшее значение интересующего его показателя.
Заметьте, если управляющее воздействие будет меньше оптимального, то суммарный эффект снизится, возникнет ситуация недополученной прибыли. Если управляющее воздействие будет больше оптимального, то эффект также снизится, так как заплатить за очередное увеличение управляющих усилий надо будет по величине больше, чем та, которую вы получите в результате ее использования (ситуация банкротства).
Примечание . В тексте лекции мы использовали слова «управление» и «ресурс», то есть считали, что R = U . Следует пояснить, что управление действительно играет роль некоторой ограниченной ценности для владельца системы. То есть всегда является ценным для него ресурсом, за который всегда приходится платить, и которого всегда не хватает. Действительно, если бы эта величина не была ограничена, то мы бы могли достигать за счет бесконечной величины управлений бесконечно больших значений целей, а вот бесконечно больших результатов в природе явно не наблюдается.
Иногда различают собственно управление U и ресурс R , называя ресурсом некоторый запас, то есть границу возможного значения управляющего воздействия. В этом случае понятия ресурс и управление не совпадают: U < R . Иногда различают предельное значение управления U ≤ R и интегральный ресурс ∫U d t ≤ R .
Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Такие системы называются системами массового обслуживания (СМО). Примерами СМО являются: банки различных типов, страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы, различные системы связи, погрузочно-разгрузочные комплексы, автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания.
3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания
Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное, которое зависит от многих случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приёму следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО. В некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах (устройствах обслуживания) на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию её каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.
На рис 3.1 изображена схема СМО.
Основными элементами (признаками) систем массового обслуживания являются:
Обслуживающий узел (блок),
Поток заявок,
Очередь в ожидании обслуживания (дисциплина очереди).
Обслуживающий блок предназначен для осуществления действий согласно требованиям поступающих в систему заявок.
Рис. 3.1 Схема системы массового обслуживания
Вторая составляющая систем массового обслуживания - входной поток заявок. Заявки поступают в систему случайным образом. Обычно предполагают, что входной поток подчиняется некоторому вероятностному закону для длительности интервалов между двумя последовательно поступающими заявками, причем закон распределения считается не изменяющимся в течение некоторого достаточно продолжительного времени. Источник заявок - неограничен.
Третья составляющая - дисциплина очереди . Эта характеристика описывает порядок обслуживания заявок, поступающих на вход системы. Поскольку обслуживающий блок, как правило, имеет ограниченную пропускную способность, а заявки поступают нерегулярно, то периодически создается очередь заявок в ожидании обслуживания, а иногда обслуживающая система простаивает в ожидании заявок.
Главная особенность процессов массового обслуживания – случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны: обслуживаемая и обслуживающая. Случайное поведение хотя бы одной из сторон приводит к случайному характеру протекания процесса обслуживания в целом. Источниками случайности взаимодействия этих двух сторон являются случайные события двух типов.
1. Появление заявки (требования) на обслуживание. Причиной случайности данного события часто является массовый характер потребности в обслуживании.
2. Окончание обслуживания очередной заявки. Причинами случайности этого события является как случайность начала обслуживания, так и случайная продолжительность самого обслуживания.
Указанные случайные события составляют систему двух потоков в СМО: входного потока заявок на обслуживание и выходного потока обслуженных заявок.
Результатом взаимодействия указанных потоков случайных событий является число находящихся в СМО заявок в данный момент, которое принято называть состоянием системы.
Каждая СМО в зависимости от своих параметров характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, от правил организации работы, обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей успешно справляться с потоком заявок.
Специальная область прикладной математики теория массового обслуживания (ТМО) – занимается анализом процессов в системах массового обслуживания. Предметом изучения теории массового обслуживания является СМО.
Цель теории массового обслуживания выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО. Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от её организации.
Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном счете направлены на определение такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоя обслуживающего блока. Знание таких характеристик дает менеджеру информацию для выработки направленного воздействия на эти характеристики для управления эффективностью процессов массового обслуживания.
В качестве характеристик эффективности функционирования СМО обычно выбираются три следующие основные группы (обычно средних) показателей:
Показатели эффективности использования СМО:
Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.
Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу заявок поступивших за это же время.
Средняя продолжительность периода занятости СМО.
Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течении которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.
Показатели качества обслуживания заявок:
Среднее время ожидания заявки в очереди.
Среднее время пребывания заявки в СМО.
Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.
Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.
Закон распределения времени пребывания заявки в очереди.
Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.
Среднее число заявок, пребывающих в очереди.
Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.
Показатели эффективности функционирования пары «СМО − потребитель», где под «потребителем» понимают всю совокупность заявок или некий их
Допущения о пуассоновском характере потока заявок и о показательном распределении времени обслуживания позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат марковских. Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским (или процессом без последействия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий моменти не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.
Рассмотрим СМО с конечным дискретным множеством состояний (рис. 2.). Определим состояние как состояние СМО, соответствующее наличию в данный моментзанятых каналов. При этом система может изменять свое состояниедискретно в соответствующие дискретные моменты времени. При поступлении на вход СМО одной заявки система изменяет свое состояние сна,
а при уходе одной заявки из системы и соответствующем освобождении одного канала - с на.
Рис. 2. Диаграмма состояний и переходов СМО
Типичным примером СМО является телекоммуникационная система с несколькими обслуживающими серверами. Заявка, поступающая на вход такой СМО, может быть либо обслужена, либо поставлена в очередь, либо получить отказ в обслуживании. В связи с этим СМО делятся на два основных типа: а) СМО с отказами; б) СМО с ожиданием.
В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.
В системах с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал.
Классификационные признаки систем массового обслуживания.
В системах массового обслуживания различают три основных этапа, которые проходит каждая заявка:
1) появление заявки на входе в систему;
2) прохождение очереди;
3) процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему.
На каждом этапе используются определенные характеристики, которые следует обсудить прежде, чем строить математические модели.
Характеристики входа:
1) число заявок на входе (размер популяции);
2) режим поступления заявок в систему обслуживания;
3) поведение клиентов.
Число заявок на входе. Число потенциально возможных заявок (размер популяции) может считаться либо бесконечным (неограниченная популяция), либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок, поступивших на вход системы с момента начала процесса обслуживания до любого заданного момента времени, является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как Неограниченная. Примеры неограниченных популяций: автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете и т. п. В большинстве моделей очередей на входе рассматриваются именно неограниченные популяции.
Если количество заявок, которые могут поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящихся в системе массового обслуживания, популяция считается Ограниченной. Пример ограниченной популяции: компьютеры, принадлежащие конкретной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.
Режим поступления заявок, в систему обслуживания. Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с определенным графиком (например, один пациент на прием к стоматологу каждые 15 мин, один автомобиль на конвейере каждые 20 мин) или случайным образом. Появления клиентов считаются Случайными, если они независимы друг от друга и точно непредсказуемы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью пуассоновского распределения вероятностей. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту)
дискретное распределение Пуассона описывается следующей формулой:
Где Р (х) - вероятность поступления Х заявок в единицу времени;
Х - число заявок в единицу времени;
L - среднее число заявок в единицу времени (темп поступления заявок);
Е = 2,7182 - основание натурального логарифма.
Соответствующие значения вероятностей Р(х) нетрудно определить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Если, например, средний темп поступления заявок - два клиента в час, то вероятность того, что в течение часа в систему не поступит ни одной заявки, равна 0,135, вероятность появления одной заявки - около 0,27, двух - также около 0,27, три заявки могут появиться с вероятностью 0,18, четыре - с вероятностью около 0,09 и т. д. Вероятность того, что за час в систему поступят 9 заявок или более, близка нулю.
На практике вероятности появления заявок, разумеется, не всегда подчиняются пуассоновскому распределению (они могут иметь какое-то другое распределение). Поэтому требуется проводить предварительные исследования для того, чтобы проверить, что пуассоновское распределение может служить хорошей аппроксимацией.
Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основывается на предположении, что поведение клиентов является стандартным, т. е. каждая поступающая в систему заявка встает в очередь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока ее не обслужат. Другими словами, клиент (человек или машина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую.
Жизнь значительно сложнее. На практике клиенты могут покинуть очередь
потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются своей очереди, но по каким-то причинам уходят необслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслуживания.
Характеристики очереди:
2) правило обслуживания.
Длина очереди. Длина может быть ограничена либо не ограничена. Длина очереди (очередь) Ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает своего максимального размера, то следующая заявка в систему не допускается и происходит отказ. Длина очереди не ограничена, Если в очереди может находиться любое число заявок. Например, очередь автомобилей на бензозаправке.
Правило обслуживания. Большинство реальных систем использует правило «первым пришел - первым ушел» (FIFO - first in, first out). В некоторых случаях, например в приемном покое больницы, в дополнение к этому правилу могут устанавливаться различные приоритеты. Пациент с инфарктом в критическом состоянии, по-видимому, будет иметь приоритет в обслуживании по сравнению с пациентом, сломавшим палец. Порядок запуска компьютерных программ - другой пример установления приоритетов в обслуживании.
Аналитическое исследование систем массового обслуживания (СМО) является подходом, альтернативным имитационному моделированию, и состоит в получении формул для расчета выходных параметров СМО с последующей подстановкой значений аргументов в эти формулы в каждом отдельном эксперименте.
В моделях СМО рассматривают следующие объекты:
1) заявки на обслуживание (транзакты);
2) обслуживающие аппараты (ОА), или приборы.
Практическая задача теории массового обслуживания связана с исследованием операций этими объектами и состоит из отдельных элементов, на которые влияют случайные факторы.
В качестве примера задач, рассматриваемых в теории массового обслуживания, можно привести: согласование пропускной способности источника сообщения с каналом передачи данных, анализ оптимального потока городского транспорта, расчет емкости зала ожидания для пассажиров в аэропорту и пр.
Заявка может находиться либо в состоянии обслуживания, либо в состоянии ожидания обслуживания.
Обслуживающий прибор может быть либо занят обслуживанием, либо свободен.
Состояние СМО характеризуется совокупностью состояний обслуживающих приборов и заявок. Смена состояний в СМО называется – событие.
Модели СМО используются для исследования процессов происходящие в системе, при подаче на входы потоков заявок. Эти процессы представляют собой последовательность событий.
Важнейшие выходные параметры СМО
Производительность
Пропускная способность
Вероятность отказа в обслуживании
Среднее время обслуживания;
Коэффициент загрузки оборудования (ОА).
Заявками могут быть заказы на производство изделий, задачи, решаемые в вычислительной системе, клиенты в банках, грузы, поступающие на транспортировку и др. Очевидно, что параметры заявок, поступающих в систему, являются случайными величинами и при исследовании или проектировании могут быть известны лишь их законы распределения.
В связи с этим анализ функционирования на системном уровне, как правило, носит статистический характер. В качестве математического аппарата моделирования удобно принять теорию массового обслуживания, а в качестве моделей систем на этом уровне использовать системы массового обслуживания.
Простейшие модели СМО
В простейшем случае СМО представляет собой некоторое устройство, называемое обслуживающим аппаратом (ОА), с очередями заявок на входах.
М о д е л ьо б с л у ж и в а н и я с о т к а з а м и (рис.5.1)
Рис. 5.1. Модель СМО с отказами:
0 – источник заявок;
1 – обслуживающий прибор;
а – входной поток заявок на обслуживание;
в – выходной поток обслуженных заявок;
с – выходной поток необслуженных заявок.
В этой модели отсутствует накопитель заявок на входе ОА. Если заявка приходит от источника 0 в момент времени, когда ОА занят обслуживанием предыдущей заявки, то вновь пришедшая заявка выходит из системы (так как ей отказано в обслуживании) и теряется (поток с ).
М о д е л ь о б с л у ж и в а н и я с о ж и д а н и е м (рис. 5.2)
Рис. 5.2. Модель СМО с ожиданием
(N– 1) – количество заявок, которое может поместиться в накопителе
В этой модели имеется накопитель заявок на входе ОА. Если заявка приходит от источника 0 в момент времени, когда ОА занят обслуживанием предыдущей заявки, то вновь пришедшая заявка попадает в накопитель, где неограниченно долго ожидает, пока освободится ОА.
М о д е л ь о б с л у ж и в а н и я с о г р а н и ч е н н ы м в р е м е н е м
о ж и д а н и я (рис. 5.3)
Рис. 5.4. Многоканальная модель СМО с отказами:
n – количество одинаковых обслуживающих аппаратов (приборов)
В этой модели имеется не один ОА, а несколько. Заявки, если это специально не оговорено, могут поступать к любому свободному от обслуживания ОА. Накопителя нет, поэтому данная модель включает свойства модели, показанной на рис. 5.1: отказ в обслуживании заявки означает ее безвозвратную потерю (это происходит только в том случае, если в момент прихода этой заявки все ОА заняты).
в р е м е н е м о ж и д а н и я (рис. 5.5)
Рис. 5.6. Многоканальная модельСМО с ожиданием и восстановлением ОА:
e – обслуживающие аппараты, вышедшие из строя;
f – восстановленные обслуживающие аппараты
Данная модель обладает свойствами моделей, представленных на рис. 5.2 и 5.4, а кроме того свойствами, позволяющими учитывать возможные случайные отказы ОА, которые в этом случае поступают в ремонтный блок 2, где пребывают в течение случайных промежутков времени, затрачиваемых на их восстановление, а затем вновь возвращаются в обслуживающий блок 1.
М н о г о к а н а л ь н а я м о д е л ь СМО с о г р а н и ч е н н ы м
в р е м е н е м о ж и д а н и я и в о с с т а н о в л е н и е м ОА (рис. 5.7)
 |
Рис. 5.7. Многоканальная модель СМО с ограниченным временем ожидания и восстановлением ОА
Данная модель является довольно сложной, поскольку одновременно учитывает свойства двух не самых простых моделей (рис. 5.5 и 5.6).