Начальный уровень

Построение графика обратной зависимости (гиперболы). Визуальный гид (2019)

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое обратная зависимость, и с чем ее едят. Если ты уверен, что знаешь все об обратной зависимости, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему « ».

Также очень советую научиться сперва строить , так как есть некоторые общие принципы для построения графика квадратичной и обратной зависимостей.

Начнем с небольшой проверки:

Что такое обратная пропорциональность?

Как выглядит функция, описывающая обратную зависимость в общем виде (формула)?

Как называется график такой функции?

Какие коэффициенты влияют на график функции, и как?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по .

Итак, ты уже умеешь обращаться с обратной зависимостью, анализировать ее график и строить график по точкам.

Напоминаю: обратная зависимость в общем виде задается функцией

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

Отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график: если, то ветви гиперболы расположены в и четвертях; если, то во и.

Дальше - число. Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что - это такое число, которому не может равняться. То есть - это вертикальная асимптота , то есть вертикаль, к которой стремится график (на рисунке выше такой вертикалью является ось):

ОК, осталось еще одно число: . C ним все еще проще: если у нас уже есть гипербола (например, как на рисунке выше), а мы хотим гиперболу, то получается, что ордината каждой точки графика должны стать больше на, то есть нужно просто весь график сместить вверх на:

Как видим, теперь график стремится по горизонтали к прямой вместо оси, как было раньше. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой .

Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу - .

Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.

Например, построим гиперболу.

Составим таблицу из точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):

Отмечаем точки на рисунке:

Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:

Это одна ветвь гиперболы. Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат :

Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь? Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы. Вот:

Еще один полезный факт. Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны для правой ветви гиперболы, и для левой. Для функций, у которых - точный квадрат (например, или), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить. В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.

Например, построим график функции. Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви. Точка симметрии: . Выберем еще одну точку, например, . У третьей точки координаты будут наоборот: , . Рисуем:

И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:

Теперь выясним, что будет, если? Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным, то нужно просто отразить его относительно оси , то есть правая ветвь теперь будет ниже оси (в четверти), а левая - выше (в четверти). Принцип построения же останется прежним:

Ну что же, осталось объединить все то, что мы уже выяснили.

Итак, вот правило построения графика функции:

2) График должен быть сдвинут вправо на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем влево на .

3) График должен быть сдвинут вверх на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем вниз на .

Примеры:

Решения:

1. Пойдем по порядку по пунктам.

2. Сначала преобразуем выражение:

Теперь ясно, что; ; :

Дополнительное условие означает, что на графике появится выколотая точка c абсциссой:

5. . Ты уже, наверное, догадался, что вместо того, чтобы смотреть на эту функцию квадратными глазами и говорить «Что это??!!», нужно просто взять и упростить выражение. Если не знаешь, как это делать, то тебе прямая дорога в тему « ». Да-да, прямо сейчас, все бросай и переходи по ссылке!

Итак, если ты уже усвоил тему « », то тебе не составит труда упростить нашу функцию. Вот что должно получиться:

Выколотая точка:

6. . Здесь нужно не то чтобы упростить, тут нужно привести выражение к виду обратной зависимости. Мы такие штуки делали в теме « »:

Ну вот и все, ты научился строить любую гиперболу.

Замечу также, что правила построения гиперболы оказались немного проще, чем для параболы, ведь каждое число просто сдвигает график в какую-то одну сторону. И друг с другом коэффициенты не связаны.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ОБРАТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определение

Функция, описывающая обратную зависимость - это функция вида, где.

График обратной зависимости - гипербола.

2. Коэффициенты, и.

Отвечает за «пологость» и направление графика : чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график:

• если, и смещение вниз, если .

  Следовательно, - это горизонтальная асимптота .

  3. Правило построения графика функции:

  0) Определяем коэффициенты, и.

  1) Строим график функции (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).

  2) График должен быть сдвинут вправо на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем влево на .

  3) График должен быть сдвинут вверх на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем вниз на .

  4) Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 1) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y

Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .

Арктангенс (y = arctg x ) - это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg x ) - это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

III. Углы отрицательные. Углы, большие 360°.

§ 48. Обратные круговые функции.

Если мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными, то из него можно определить любое неизвестное через другое. Например, если имеем; 2х + 3у = 6, то:

а) у = 2 - 2 / 3 х ; б) x = 3 - 3 / 2 y .

Первое уравнение дает выражение у в функции х . Второе, наоборот, дает выражение х в функции у . В общем все три уравнения выражают одну и ту же зависимость между переменными x и у , но только форма выражения этой зависимости разная; первое уравнение не решено ни относительно х , ни относительно у , в следующем за функцию принято у , за аргумент х ; в последнем за функцию принято х , за аргумент у .

Такие две функции, которые выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у , но в одной за функцию принято у , а в другой за функцию принято х , называются взаимно-обратными . Любую из них можно принять за прямую; тогда другая будет обратная.

Примеры взаимнообратных функций:

у = 5х + 3; х = (у -3) / 5 ;

у = 2х ; х = 1 / 2 у

у = х 2 ; х = ±√ у ;

у = 3 √х ; х = у 3 .

Понятие обратности можно применить и к тригонометрическим функциям.

Например, мы употребляем равенство: y = sin x ; это значит, что у есть синус дуги х ; значит, обратно, х есть дуга, синус которой y . Точно так же: 1 / 2 = sin 30°, т. е. половина есть синус дуги в 30°. Наоборот, 30° есть дуга, синус которой равен половине.

Вместо того чтобы объяснять обратную зависимость словами, употребляют особый знак, обозначающий слово дуга: arc (читается „арк"; по-французски означает, дуга, арка).

Таким образом можно написать:

1 / 2 = sin 30°; 30° = arc sin 1 / 2 ;

1 / 2 = cos 60°; 60° = arc cos 1 / 2 ;

1= tg 45°; 45° = arc tg 1;

sin 16° = 0,276; 16° = arc sin 0,276;

cos π / 4 = 0,707; π / 4 = arc cos 0,707;

1= sin90°; 90° = arc sin 1;

1= cos 0°; 0° = arc cos 1;

1 = cos π; π = arc cos (-1);

tg π / 2 = ∞ ; π / 2 = arc tg ∞

sin π / 4 = cos π / 4 = 1 / 2 √2 ;

π / 4 = arc sin 1 / 2 √2 = arc cos 1 / 2 √2 .

На чертеже 37 дуга обозначена через х , ее синус черзз т , ее тангенс через р . Значит, х есть дуга, синус которой т , а тангенс р ; или:

х = arc sin т ; х = arc tg p .

Пользуясь тригонометрическими таблицами, мы решаем тоже две обратные задачи и пользуемся как прямыми, так и обратными тригонометрическими функциями. Если дана дуга (или угол), то мы отыскиваем тригонометрическую функцию: наоборот, если дана тригонометрическая функция и мы отыскиваем угол, то мы вычисляем значение обратной тригонометрической функции.

Из § 47 мы знаем, что одной и той же тригонометрической функции соответствует бесчисленное множество дуг, имеющих одно и то же начало; например, синусу, равному половине, соответствуют дуги: 30°, 150°, 390°, 510°,...; основные из них, 30° и 150°, имеют синус, равный половине, но если прибавить к каждой по 360°, то и новые дуги будут иметь тот же синус. Следовательно, обратные тригонометрические функции есть функции многозначные.

§ 49. В предыдущих примерах мы ограничивались наименьшей дугой, соответствующей данной тригонометрической функции, но можно было дать и общее выражение всех дуг, имеющих данный синус, косинус, тангенс. Если имеют в виду не наименьшее, а общее выражение всех дуг, имеющих данный синус, то обозначение дуги пишут с большой буквы; например:

arc sin 1 / 2 = 30°; но Arc sin 1 / 2 = 180° m + (- l) m 30°,

arc tg 1 = 45°, но Arc tg 1= 45° + 180° m .

Эти формулы взяты из § 47 (общий вид углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции), но там еще не употреблялось обозначение обратной функции.

Если воспользоваться формулами § 47 и обобщить их, замени числовые значения буквенными, то получим следующую таблицу прямых и обратных тригонометрических функций:

y = sin x :; Arc sin y = m π + (- l) m x ;

y = cos x ; Arc cos y = 2m π ± x ;

y = tg x ; Arc tg y = m π + x ;

y = ctg x ; Arc ctg y = m π + x .

Большею частью, однако, по данной тригонометрической функции отыскивают наименьшую дугу (arc). При этом для положительных значений всех тригонометрических функций берут дугу в I четверти (от 0 до π / 2) ; для отрицательных значений синуса, тангенса, котангенса и косеканса берут дугу в I отрицательной четверти (от 0 до - π / 2) ; для отрицательного косинуса и секанса берут дугу во II четверти (от π / 2 до π).

Таким образом, для всех возможных значений синуса, тангенса, (котангенса) и косеканса дугу берут в пределах от - π / 2 до π / 2 , а для косинуса и секанса в пределах от 0 до π.

Обратные тригонометрические функции называются также обратными круговыми вследствие их связи с кругом.