Каталог учебных материалов. Оптимизация функций на ограниченном множестве

В пособие анализируется теоретический и прикладной аппарат оптимального управления в экономике. Основополагающие теоремы о достаточных условиях оптимальности доводятся до вычислительных методов принципа максимума и динамического программирования. В отличие от 1-го издания (2003 г.) радикально переработаны некоторые главы, расширен иллюстративный ряд. Все представленные по тексту задачи даны с решениями, а задачи для самостоятельной работы — с ответами; приведены варианты заданий для курсовых работ.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 9
1.1. Основные понятия и определения теории множеств и теории функций 9
1.2. Оптимизация функций на ограниченном множестве 14
1.3. Зависимость функции и множества от параметра 16
1.4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 22
1.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 24
1.6. Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений 30
Вопросы для самопроверки 33
Задачи для самостоятельной работы 33
Глава 2 ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 35
2.1. Система, модель, моделирование 35
2.2. Управление. Обратная связь. Замкнутая система... 39
2.2.1. Принципиальная схема управления 40
2.2.2. Иерархия управления 42
2.3. Экономическая система как объект управления (некоторые аспекты математического моделирования) 43
Вопросы для самопроверки 46
Глава 3 ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 47
3.1. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель 47
3.2. Оптимизационная однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель 52
3.3. Нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики 54
Вопросы для самопроверки 56
Глава 4 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 57
4.1. Вспомогательные математические конструкции 57
4.2. Достаточные условия оптимальности для непрерывных процессов 62
4.3. Достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов 67
4.4. Обобщенная теорема о достаточных условиях опти¬мальности 71
4.5. Применение достаточных условий оптимальности к решению задач 75
4.5.1. Линейные по управлению процессы без ограничений на управление 75
4.5.2. Линейные по управлению процессы
с ограничениями на управление 81
Вопросы для самопроверки 84
Глава 5 ОДНОПРОДУКТОВАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ МАКРОЭКОНОМИКИ 85
5.1. Моделирование производства на макроуровне 85
5.2. Оптимизационная модель макроэкономической динамики. Магистральная теория 89
Вопросы для самопроверки 101
Глава 6 МЕТОД ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ 102
6.1. Уравнения метода 102
6.2. Принцип максимума Понтрягина 109
6.3. Принцип максимума как достаточное условие оптимальности 114
6.4. Задача Эйлера вариационного исчисления 122
Задачи для самостоятельной работы 126
Глава 7. МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 129
7.1. Уравнения метода. Условия оптимальности для многошагового процесса с неограниченным управлением 129
7.2. Условия оптимальности для многошагового процесса при наличии ограничений на управление 137
Задачи для самостоятельной работы 144
Глава 8. ПРИМЕНЕНИЕ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА 146
8.1. Цели исследования. Оптимальное управление движущимся объектом 146
8.2. Календарное планирование поставки продукции. Дискретный вариант. Численное решение 153
8.3. Оптимальное планирование поставки продукции. Непрерывный вариант. Численное решение 161
8.4. Оптимальное потребление в однопродуктовой макроэкономической модели 165
Вопросы для самопроверки 169
Глава 9. МЕТОД ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ-БЕЛЛМАНА 170
9.1. Идея и основные элементы 170
9.1.1. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана. Непрерывный вариант 171
9.1.2. Синтез оптимального управления 175
9.2. Алгоритм Гамильтона—Якоби—Беллмана (для непрерывных процессов) 176
9.3. Метод Гамильтона-Якоби-Беллмана. Многошаговый вариант 183
9.4. Оптимальное распределение инвестиций между проектами методом динамического программиро¬вания 189
9.5. Сравнительный анализ методов Лагранжа— Понтрягина и Гамильтона—Якоби-Беллмана 195
Задачи для самостоятельной работы 196
Краткий словарь терминов 198
Рекомендуемая литература 201
Приложения
1. Варианты заданий для курсовых работ 202
2. Ответы к задачам для самостоятельной работы 203
3. Графическое изображение ответов к задачам для самостоятельной работы 210
Предметный указатель 219

А также:

6.2.1. Постановка и классификация задач теории оптимального управления. В подавляющем большинстве рассмотренных нами задач факторы, связанные с изменением изучаемых объектов и систем в течение времени, выносились за скобки. Возможно, при выполнении определенных предпосылок такой подход является конструктивным и правомерным. Однако очевидно и то, что это допустимо далеко не всегда. Существует обширный класс задач, в которых необходимо найти оптимальные действия объекта, учитывающие динамику его состояний во времени и пространстве. Методы их решения составляют предмет математической теории оптимального управления.

В весьма общем виде задача оптимального управления может быть сформулирована следующим образом:

Имеется некоторый объект, состояние которого характеризуется двумя видами параметров - параметрами состояния и параметрами управления, причем в зависимости от выбора последних процесс управления объектом протекает тем или иным образом. Качество процесса управления оценивается с помощью некоторого функционала*, на основе чего ставится задача: найти такую последовательность значений управляющих параметров, для которой данный функционал принимает экстремальное значение.

* Функционалом называется числовая функция, аргументами которой, как правило, служат другие функции.

С формальной точки зрения многие проблемы оптимального управления могут быть сведены к задачам линейного или нелинейного программирования большой размерности, так как каждой точке пространства состояний соответствует свой вектор неизвестных переменных. Все же, как правило, движение в данном направлении без учета специфики соответствующих задач не приводит к рациональным и эффективным алгоритмам их решения. Поэтому методы решения задач оптимального управления традиционно связаны с другим математическим аппаратом, берущим свое начало от вариационного исчисления и теории интегральных уравнений. Следует также заметить, что опять-таки в силу исторических причин теория оптимального управления была ориентирована на физические и технические приложения, и ее применение для решения экономических задач носит в определенном смысле вторичный характер. В то же время в целом ряде случаев модели исследования, применяющие аппарат теории оптимального управления, могут привести к содержательным и интересным результатам.

К сказанному выше необходимо добавить замечание о тесной связи, существующей между методами, применяемыми для решения задач оптимального управления, и динамическим программированием. В одних случаях они могут использоваться на альтернативной основе, а в других довольно удачно дополнять друг друга.

Существуют различные подходы к классификации задач оптимального управления. Прежде всего, их можно классифицировать в зависимости от объекта управления:

Ø Ø задачи управления с сосредоточенными параметрами;

Ø Ø задачи управления объектами с распределенными параметрами.

Примером первых является управление самолетом как единым целым, а вторых - управление непрерывным технологическим процессом.

В зависимости от типа исходов, к которым приводят применяемые управления, выделяют детерминированные и стохастические задачи. В последнем случае результатом управления является множество исходов, описываемых вероятностями их наступления.

По характеру изменения управляемой системы во времени различают задачи:

Ø Ø с дискретно изменяющимся временем ;

Ø Ø с непрерывно изменяющимся временем .

Аналогично классифицируются задачи управления объектами с дискретным или непрерывным множеством возможных состояний. Задачи управления системами, в которых время и состояния меняются дискретно, получили название задач управления конечными автоматами . Наконец, при определенных условиях могут ставиться задачи управления смешанными системами.

Многие модели управляемых систем основаны на аппарате дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в частных производных. При исследовании систем с распределенными параметрами, в зависимости от вида используемых дифференциальных уравнений в частных производных, выделяют такие типы задач оптимального управления, как параболические, эллиптические или гиперболические.

Рассмотрим два простейших примера задач управления экономическими объектами.

Задача распределения ресурсов. Имеется т складов с номерами i (i ∊1:m ), предназначенных для хранения однородного продукта. В дискретные моменты времени t ∊0:(T -l) происходит его распределение между объектами-потребителями (клиентами) с номерами j , j ∊1:n . Пополнение запаса в пунктах хранения продукта в t -й момент времени определяется величинами a i t , i ∊1:m , а потребности клиентов в нем равняются b j t , j ∊1:n . Обозначим через c t i,j - затраты на доставку единицы продукта из i -го склада j -му потребителю в момент времени t. Также предполагается, что продукт, поступивший на склад в момент t , может быть использован, начиная со следующего момента (t +l). Для сформулированной модели ставится задача найти такой план распределения ресурсов {х t i,j } T m xn , который минимизирует суммарные расходы на доставку потребителям продукции со складов в течение полного периода функционирования системы.

Обозначив через х t i,j количество продукта, поставляемое j -му клиенту с i -го склада в t -й момент времени, а через z t i - общее количество продукта на i -м складе, описанную выше проблему можно представить как задачу нахождения таких совокупностей переменных

которые обращают в минимум функцию

при условиях

где объемы начальных запасов продукта на складах z 0 i = ž i . предполагаются заданными.

Задачу (6.20)-(6.23) называют динамической транспортной задачей линейного программирования . С точки зрения приведенный выше терминологии независимые переменные х t i,j представляют собой параметры управления системой, а зависящие от них переменные z t i - совокупность параметров состояния системы в каждый момент времени t. Ограничения z t i ≥ 0 гарантируют, что в любой момент времени с любого склада не может быть вывезен объем продукта, превышающий его фактическое количество, а ограничения (6.21) задают правила изменения этого количества при переходе от одного периода к другому. Ограничения данного вида, которые задают условия на значения параметров состояния системы, принято называть фазовыми.

Отметим также, что условие (6.21) служит простейшим примером фазовых ограничений, поскольку связываются значения параметров состояния для двух смежных периодов t и t +l. В общем случае может устанавливаться зависимость для группы параметров, принадлежащих нескольким, возможно несмежным, этапам. Такая потребность может возникнуть, например, при учете в моделях фактора запаздывания поставок.

Простейшая динамическая модель макроэкономики. Представим экономику некоторого региона как совокупность п отраслей (j ∊1:п ), валовой продукт которых в денежном выражении на некоторый момент t может быть представлен в виде вектора z t =(z t 1 , z t 2 ,..., z t n ), где t ∊0:(Т -1). Обозначим через A t матрицу прямых затрат, элементы которой a t i,j , отражают затраты продукции i -й отрасли (в денежном выражении) на изготовление единицы продукции j -й отрасли в t -й момент времени. Если X t = ║x t i,j ║ n xm - матрица, задающая удельные нормы продукции i -й отрасли, идущей на расширение производства в j -й отрасли, а у t = (у t 1 , у t 2 , ..., у t n ) - вектор объемов продукции отраслей потребления, идущей на потребление, то условие расширенного воспроизводства можно записать как

где z 0 = ž - исходный запас продукции отраслей предполагается заданным и

В рассматриваемой модели величины z t являются параметрами состояния системы, а X t - управляющими параметрами. На ее базе могут быть поставлены различные задачи, типичным представителем которых является задача оптимального вывода экономики на момент Т к некоторому заданному состоянию z *. Данная задача сводится к отысканию последовательности управляющих параметров

удовлетворяющих условиям (6.24)-(6.25) и минимизирующих функцию

6.2.2. Простейшая задача оптимального управления. Один из приемов, применяемых для решения экстремальных задач, состоит в выделении некоторой проблемы, допускающей относительно несложное решение, к которой в дальнейшем могут быть сведены остальные задачи.

Рассмотрим так называемую простейшую задачу управления . Она имеет вид

Специфика условий задачи (6.27)-(6.29) состоит в том, что функции качества управления (6.27) и ограничения (6.28) являются линейными относительно z t , в то же время функция g (t , х t ), входящая в (6.28), может быть произвольной. Последнее свойство делает задачу нелинейной даже при t =1, т. е. в статическом варианте.

Общая идея решения задачи (6.27)-(6.29) сводится к ее «расщеплению» на подзадачи для каждого отдельно взятого момента времени, в предположении, что они успешно разрешимы. Построим для задачи (6.27)-(6.29) функцию Лагранжа

где λ t - вектора множителей Лагранжа (t ∊0:Т ). Ограничения (6.29), носящие общий характер, в функцию (6.30) в данном случае не включены. Запишем ее в несколько иной форме

Необходимые условия экстремума функции Ф(х, z, λ) по совокупности векторов z t задаются системой уравнений

которая называется системой для сопряженных переменных . Как можно заметить, процесс нахождения параметров λ t в системе (6.32) осуществляется рекуррентным образом в обратном порядке.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа по переменным λ t будут эквивалентны ограничениям (6.28), и, наконец, условия ее экстремума по совокупности векторов х t ∊Х t , t ∊1:(Т -1) должны быть найдены как результат решения задачи

Таким образом, задача поиска оптимального управления сводится к поиску управлений, подозрительных на оптимальность, т. е. таких, для которых выполняется необходимое условие оптимальности. Это, свою очередь, сводится к нахождению таких t , t , t , удовлетворяющих системе условий (6.28), (6.32), (6.33), которая называется дискретным принципом максимума Понтрягина.

Справедлива теорема.

Доказательство.

Пусть t , t , t , удовлетворяют системе (6.28), (6.32), (6.33). Тогда из (6.31) и (6.32) следует, что

и поскольку t удовлетворяет (6.33), то

С другой стороны, в силу (6.28) из (6.30) следует, что при любом векторе t

Следовательно,

Применяя теорему (6.2), а также положения теории нелинейного программирования, касающиеся связи между решением экстремальной задачи и существованием седловой точки (см. п. 2.2.2), приходим к выводу о том, что векторы t , t являются решением простейшей задачи оптимального управления (6.27)-(6.29).

В результате мы получили логически простую схему решения данной задачи: из соотношений (6.32) определяются сопряженные переменные t , затем в ходе решения задачи (6.33) находятся управления t и далее из (6.28) - оптимальная траектория состояний t ,.

Предложенный метод относится к фундаментальным результатам теории оптимального управления и, как уже это упоминалось выше, имеет важное значение для решения многих более сложных задач, которые, так или иначе, сводятся к простейшей. В то же время очевидны и пределы его эффективного использования, которые целиком зависят от возможности решения задачи (6.33).

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ

Ø Ø Игра, игрок, стратегия.

Ø Ø Игры с нулевой суммой.

Ø Ø Матричные игры.

Ø Ø Антагонистические игры.

Ø Ø Принципы максимина и минимакcа.

Ø Ø Седловая точка игры.

Ø Ø Цена игры.

Ø Ø Смешанная стратегия.

Ø Ø Основная теорема матричных игр.

Ø Ø Динамическая транспортная задача.

Ø Ø Простейшая динамическая модель макроэкономики.

Ø Ø Простейшая задача оптимального управления.

Ø Ø Дискретный принцип максимума Понтрягина.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1. Кратко сформулируйте предмет теории игр как научной дисциплины.

6.2. Какой смысл вкладывается в понятие «игра»?

6.3. Для описания каких экономических ситуаций может быть применен аппарат теории игр?

6.4. Какая игра называется антагонистической?

6.5. Чем однозначно определяются матричные игры?

6.6. В чем заключаются принципы максимина и минимакcа?

6.7. При каких условиях можно говорить о том, что игра имеет седловую точку?

6.8. Приведите примеры игр, которые имеют седловую точку и в которых она отсутствует.

6.9. Какие подходы существуют к определению оптимальных стратегий?

6.10. Что называют «ценой игры»?

6.11. Дайте определение понятию «смешанная стратегия».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамов Л. М., Капустин В. Ф. Математическое программирование. Л.,1981.

2. Ашманов С. А. Линейное программирование: Учеб. пособие. М., 1981.

3. Ашманов С. А., Тихонов А. В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М., 1991.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960.

5. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М., 1965.

6. Гавурин М. К., Малоземов В. Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. Л., 1984.

7. Гасс С. Линейное программирование (методы и приложения). М., 1961.

8. Гейл Д . Теория линейных экономических моделей М., 1963.

9. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ. М., 1985.

10. Давыдов Э. Г. Исследование операций: Учеб. пособие для студентов вузов. М., 1990.

11. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. М.,1966.

12. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М., 1976.

13. Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И. Математические методы исследования операций: Учеб. пособие для вузов. Киев, 1979.

14. Зайченко Ю. П. Исследование операций, 2-е изд. Киев, 1979.

15. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. Единый подход. М., 1973.

16. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М., 1963.

17. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М., 1964.

18. Карманов В. Г. Математическое программирование: Учеб. пособие. М., 1986.

19. Корбут А.А., Финкелыитейн Ю. Ю. Дискретное программирование. М., 1968.

20. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций. М., 1977.

21. Кюнце Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.,1965.

22. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.3. Линейное и нелинейное программирование. Киев, 1975.

23. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., 1960.

24. Мухачева Э. А., Рубинштейн Г. Ш. Математическое программирование. Новосибирск, 1977.

25. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М, 1970.

26. Оре О. Теория графов. М., 1968.

27. Таха X. Введение в исследование операций/ Пер. с англ. М.,1985.

28. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.,1972.

29. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М., 1967.

30. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения). М., 1969.

31. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. М., 1963.

32. Lapin L. Quantitative methods for business decisions with cases. Fourth edition. HBJ, 1988.

33. Liitle I.D.C., Murty K.G„ Sweeney D.W., Karel C. An algorithm for traveling for the traveling salesman problem. - Operation Research, 1963, vol.11, No. 6, p. 972-989/ Русск. пер.: Литл Дж., Мурти К., Суини Д., Керел К. Алгоритм для решения задачи о коммивояжере. - В кн.: Экономика и математические методы, 1965, т. 1, № 1, с. 94-107.

ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................................................................................................................................ 2

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................................................................................................... 3

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.......................................................................................................................................... 8

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ............................................................................................. 9

1.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЗЛП И ЕЕ ПЕРВАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ........................................................... 11

1.3. БАЗИСНЫЕ РЕШЕНИЯ И ВТОРАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗЛП..................................................................... 15

1.4. СИМПЛЕКС-МЕТОД........................................................................................................................................................................................ 17

1.5. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД..................................................................................................................................... 26

1.6. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ....................................................................................... 30

1.7. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД................................................................................................................................................... 37

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 42

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 43

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................. 44

2.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ...................................................................................... 44

2.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ................................................................................................... 55

ГЛАВА 3. ТРАНСПОРТНЫЕ И СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ................................................................................................................................ 60

3.1. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ........................................................................................................................ 60

3.2. СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ........................................................................................................................................................................................... 66

ГЛАВА 4. ДИСКРЕТНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................... 74

4.1. ТИПЫ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ..................................................................................................................... 74

4.2. МЕТОД ГОМОРИ............................................................................................................................................................................................... 78

4.3. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.......................................................................................................................................................................... 81

ГЛАВА 5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ........................................................................................................................... 86

5.1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ................................................................................. 86

5.2. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.................................................................................................... 93

ГЛАВА 6. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАЗДЕЛОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ................................................................. 101

6.1. ТЕОРИЯ ИГР...................................................................................................................................................................................................... 101

6.2. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ........................................................................................................................................... 108

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................................................................................................................ 112

Основы моделирования экономических процессов

Система, модель, моделирование

Объектами применения ТОУ являются управляемые системы, описываемые дифференциальными и конечно-разностными уравнениями соответственно для непрерывных или дискретных (многошаговых) процессов. Понятия и определения: система, модель, обратная связь, внешняя среда, замкнутая и разомкнутая системы, существенные или несущественные факторы, обусловленные целевой ориентацией при изучении объекта исследования, - это понятийный аппарат основ управления, в частности ТОУ.

Принимая во внимание, что учебное пособие, кроме специальности «Математические методы в экономике», может использоваться и при подготовке специалистов по менеджменту, прикладной информатике и другим дисциплинам, где курс математического моделирования экономики специально не читается, данный раздел может рассматриваться как вводный, отражающий содержательную сущность и формализованное предствление понятий и принципов формирования структур систем управления. Так как речь идет именно об общих принципах и понятиях, то и примеры заимствуются из различных областей, начиная с физического движения материальной точки и кончая характеристиками сложных производственно-экономических систем. Разумеется, последние доминируют, поскольку учебное пособие рекомендуется прежде всего для экономистов.

Наблюдение, анализ и моделирование являются средствами познания и прогнозирования процессов, явлений и ситуаций во всех сферах объективной действительности.

Говоря, например, о системах застройки города или района, кровообращения, управления предприятием, о системе уравнений, прежде всего имеют в виду некую совокупность. Но любая ли совокупность может быть названа системой? Вряд ли кто назовет системами совокупность выброшенных старых вещей или луж на асфальте после дождя. Ни то, ни другое никак не упорядочено, не отвечает определенной цели, в соответствии с которой эта совокупность сформирована. Первое свойство систематизации, системного представления о рассматриваемом объекте - это наличие цели, для реализации которой предназначается данная совокупность предметов, явлений, логических представлений, формирующих объект. Цель функционирования системы редуцирует системные признаки, с помощью которых описываются и характеризуются элементы системы.

Например, допустим, что целью является реструктуризация системы управления предприятием (фирмой) на ординарном уровне. Нужно ли для этого знать фамилии и размеры зарплаты каждого работника? Нет, так как эти данные хотя в своей совокупности в большей или меньшей степени влияют на режим управления, но не являются наиболее важными на персональном уровне. Выделим существенные системные признаки. К ним относятся: рыночный спрос на продукцию производителя и число наименований выпускаемой продукции, производственные мощности предприятия по выпуску продукции различных наименований и аналогичные показатели предприятий-конкурентов, обеспеченность материальными, трудовыми ресурсами, общий фонд заработной платы и условия ее использования и т.д. Особо следует выделить узкие места. К ним относятся факторы и условия, сдерживающие повышение эффективности производства. Сущностью системы управления предприятием относительно отражения условий управляемости последним является установление и описание взаимосвязей и взаимозависимостей между наиболее существенными факторами и характеристиками предприятия. Еще раз подчеркнем, что речь идет о предприятии (фирме) как производственно-экономической системе с позиций управляемости им, т.е. предприятие рассматривается как объект управления. Именно исходя из этого и определены существенные признаки объекта. При изменении цели могут стать другими как существенные признаки, так и связи с внешней средой. Например, если на том же предприятии будут анализироваться уровень квалификации работников и организация оплаты их труда, то ведомость на получение заработной платы, ранее не представлявшая первостепенного значения, станет теперь основным документом.

Таким образом, для выделения системы требуется наличие:

а) цели, для реализации которой формируется система;

б) объекта исследования, состоящего из множества элементов, связанных в единое целое важными относительно цели системными признаками;

в) субъекта исследования («наблюдателя»), формирующего

г) характеристик внешней среды по отношению к системе.

Наличие субъекта исследования и возможная неоднозначность,

субъективность при выделении существенных системных признаков вызывают значительные трудности в процессе выделения системы и соответственно ее универсального определения. Поэтому необходим более подробный системный анализ .

Изложенный выше вербальный подход дает возможность определить систему как упорядоченное представление об объекте исследования относительно поставленной цели. Упорядоченность заключается в целенаправленном выделении системообразующих элементов, установлении их существенных признаков, характеристик взаимосвязей между собой и с внешней средой. Системный подход, формирование систем позволяют выделить главное, наиболее существенное в исследуемых объектах и явлениях; игнорирование второстепенного упрощает, упорядочивает в целом изучаемые процессы. Для анализа многих сложных ситуаций такой подход важен сам по себе, однако, как правило, построение системы служит предпосылкой для разработки или реализации модели конкретной ситуации.

Описанный подход предполагает ясность цели исследования и детерминированное к ней отношение всех элементов системы, взаимосвязь между ними и с внешней средой. Такие системы называют детерминированными. Это не означает; что все предпосылки, лежащие в основе их построения, на практике выполняются. Однако во многих случаях, и это характерно для экономики, цель исследований - изучение и анализ природы усредненных и устойчивых в среднем показателей. Это определяет детерминированный подход к построению системы.

Перейдем к рассмотрению сущности понятий модель и моделирование . Слово «модель» (фр. modele) имеет несколько значений: образцовый экземпляр какого-либо изделия; вид, тип конструкции (например, автомобиля); материал, натура для художественного произведения; копия, воспроизведение предмета, обычно в уменьшенном размере; исследуемый объект, представленный в наиболее общем виде.

В качестве примеров моделей можно привести глобус как модель земного шара, карту как модель местности, маленькую, например настольную, модель самолета, внешне подобную своему натуральному образцу, и т.д.

Однако по настольной модели самолета нельзя определить его прочностные, аэродинамические характеристики, характеристики системы управления. Следовательно, для реализации названных целей данная модель не годится. Эта модель подошла бы, если бы наша цель была - добиться внешнего подобия. Таким образом, и это главное, структура и свойства модели зависят от целей, для достижения которых она создается. В этом органическое единство системы и модели. Если неизвестна цель моделирования, то и неизвестно, с учетом каких свойств и качеств надо строить модель.

Следовательно, модель - формализованное представление об объекте исследования относительно поставленной цели.

Модели можно различать по характеру моделируемых объектов, сферам приложения, глубине моделирования. В зависимости от средств моделирования выделяют материальное (предметное) и идеальное моделирование.

Материальное моделирование, основывающееся на материальной аналогии моделируемого объекта и модели, осуществляется путем воспроизведения основных геометрических, физических, других функциональных характеристик изучаемого объекта. Частным случаем материального моделирования является физическое моделирование, по отношению к которому, в свою очередь, частным случаем является аналоговое моделирование. Оно основано на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Пример аналогового моделирования - изучение механических колебаний с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Так как эксперименты с электрической системой обычно проще и дешевле, она исследуется в качестве аналога механической системы (например, при изучении колебаний мостов).

Идеальное моделирование отличается от материального принципиально. Оно основано на идеальной, или мыслимой, аналогии. В экономических исследованиях это основной вид моделирования. Идеальное моделирование, в свою очередь, разбивается на два подкласса: знаковое (формализованное) и интуитивное моделирование. При знаковом моделировании моделями служат схемы, графики, чертежи, формулы. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами логико-математических построений.

Интуитивное моделирование (например, рисковых ситуаций ) встречается в тех областях науки, где познавательный процесс находится на начальной стадии или имеют место очень сложные взаимосвязи. Такие исследования называют мысленными экспериментами. В экономике в основном применяется интуитивное моделирование; оно описывает практический опыт исполнителей и руководящих работников.

Управление. Обратная связь. Замкнутая система

Введенные в разд. 2.1 понятия не дают возможности разделить системы на управляемые и неуправляемые. В широком смысле под управлением понимается конкретная организация тех или иных процессов для достижения намеченных целей. Управляемая система призвана обеспечивать целенаправленное функционирование при изменяющихся внутренних или/и внешних условиях. Неуправляемой системе целенаправленное функционирование не свойственно.

Примеры управляемых систем: движение автомобиля, работа предприятия в соответствии с договорами, планами и стимулами. Примеры неуправляемых систем: движение ветра, работа светофора с точки зрения автомобилистов (переключается автоматически независимо от состояния потока машин). В системе, структура которой установлена ее целевой ориентацией (для решения каких задач создается система), управление сводится к поддержанию расчетных значений выходных параметров при отклонениях внешних условий и внутренних параметров от расчетных.

В экономической системе выбор и формирование как структуры, так и способа функционирования являются задачами управления, обеспечивающими динамику ее развития. Однако соотношение типов задач - формирование или реструктуризация производства и способа функционирования системы - различно на разных уровнях иерархии управления.

Принципиальная схема управления

Любое управление предполагает наличие объекта управления (управляемой системы), субъекта управления (управляющей системы) и внешней среды.

Объект управления производит те или иные действия для реализации намеченных целей. Его сложность зависит от количества входящих в него элементов и природы взаимосвязей между ними. В процессе функционирования объект управления подвергается воздействию внешней среды, которая может способствовать или препятствовать достижению намеченных целей: благоприятная или неблагоприятная рыночная конъюнктура, сложившиеся цены, действия конкурентов и т.п.

Основное назначение управляющей системы - субъекта управления - поддерживать установленный и по каким-либо свойствам признанный нормальным режим работы объекта управления, а также обеспечивать нормальное функционирование отдельных элементов объекта управления в условиях воздействия внешней среды.

Объект управления во взаимодействии с управляющей системой субъектом управления образует замкнутую систему управления, упрощенный вариант которой приведен на рис. 2.1, где X - вектор воздействия внешней среды на объект управления; Y - вектор реакции на воздействие X. Связь, с помощью которой управляющая система - субъект управления воздействует на объект управления, если эта связь имеется, называется обратной связью. Входным сигналом для обратной связи служит выходной сигнал системы Y. Если этот сигнал не соответствует целям управления замкнутой системой, то управляющая система вырабатывает воздействие обратной связи АХ, которое вместе с сигналом X поступает на вход объекта управления (X, Y, АХ - векторы соответствующих размерностей).

Объект управления

Управляющая система

Рис. 2.1. Схема замкнутой системы управления (упрощенный вариант)

В правильно работающей с точки зрения поставленной цели системе сигнал Х+ АЛ" должен способствовать улучшению качества функционирования замкнутой системы управления.

Количественные оценки степени достижения цели в модели управления даются в виде значений функционала (целевой функции), а условия, в рамках которых функционирует система, - в виде ограничений модели. Цель оптимального управления -нахождение наилучшего относительно принятой целевой функции критерия оптимизации. Для конкретных ситуаций при выборе способа управления, хозяйствования или ведения деятельности он реализуется в виде экстремального значения функционала.

Обратная связь является средством гибкого управления, когда конкретное управляющее решение вырабатывается в зависимости от сложившейся ситуации - возмущения установленного функционирования системы.

При отсутствии обратной связи (упомянутый выше светофор) движение регулируется по заранее заданной программе независимо от фактических потоков автомобилей, т.е. состояния системы на выходе. Другие примеры управления без обратной связи: уставы, кодексы, инструкции и наставления. При этом может оказаться, что управленческое решение, принятое согласно одному из указанных регламентирующих документов, с учетом конкретной ситуации, характеризующей состояние системы на выходе, когда решение было принято, не является наилучшим по сравнению с другими возможными. Но оно тем не менее считается обязательным, правомочным, так как отвечает регламентирующему документу. Подобные случаи порождают порой ситуации, когда, как говорят, возникает альтернатива - принять решение «по закону» или «по совести». Решение «по совести» может отражать учет неординарных обстоятельств, уводящих в сторону от решений «по закону».

В каких случаях система управления создается с обратной связью, а в каких - без нее, зависит прежде всего от целей функционирования системы.

Итак, в структуре системы управления можно выделить:

объект управления - непосредственное устройство, агрегат, организационную подсистему общей системы, в которой реализуется цель функционирования всей системы;

субъект управления - управляющую систему, которая фиксирует параметры объекта управления и вырабатывает при необходимости управляющие воздействия на объект управления для приведения его функционирования к режиму, который в соответствии с целью управления принято считать нормальным. Если достижение такого режима в условиях имеющихся ресурсов системы невозможно, то в качестве нормального может быть принят режим, отклоняющийся от желаемого минимально;

обратную связь - объект, подсистему, с помощью которой реализуется воздействие субъекта на объект управления.

Эти элементы, формирующие в совокупности замкнутую систему управления, находятся под воздействием внешней среды, которая может способствовать или препятствовать достижению целей системы.

Иерархия управления

Представленное описание замкнутой системы управления весьма схематично и отражает только принцип ее построения. В действительности каждый из указанных элементов, в свою очередь, может включать объект, субъект управления с обратной связью или без нее. Вся система будет иметь, таким образом, иерархическую структуру. Подобное характерно для экономических систем прежде всего. Например, в системе управления крупной фирмой отраслевого профиля (например, автомобильный или нефтяной гигант) в качестве объекта управления рассматривают подведомственные фирмы и дочерние предприятия, а в качестве управляющего органа - центральный аппарат. Обратная связь при этом осуществляется через систему учета, контроля и оперативного управления в отношении подведомственных предприятий. Каждое предприятие, являясь, таким образом, объектом управления, в свою очередь, представляет замкнутую систему под воздействием внешней среды - вышестоящего уровня управления со всеми необходимыми структурными элементами. Объект управления - цеха, производственные участки; управляющая система - дирекция предприятия со своими службами; обратная связь осуществляется через систему учета, контроля и оперативного управления со стороны руководства предприятия.

Если спускаться по этой иерархической лестнице, то по аналогичной схеме можно рассмотреть систему управления цехом. В рамках крупных производственных комплексов (возможно, и международного уровня) такие иерархические структуры могут быть многоступенчатыми.

Основы моделирования экономических процессов

Популярное