Абсолютные и относительные величины. Большая энциклопедия нефти и газа

Cтраница 1

Абсолютное число хронически голодающих менялось следующим образом (млн чел. Однако к последней цифре следует добавить еще 80 млн голодающих, появившихся в странах с переходной экономикой.  

Абсолютное число р-распадов довольно велико - около 30 р-распадов в секунду или 1800 р-распадов на 1 г калия в минуту (стр.  

Абсолютное число посещенинй (как и доля их) участковых врачей также неуклонно возрастало, превысив половину всех посещений. Увеличивалось и в абсолютном, и в относительном исчислении число посещений врачей подросткового кабинета, функции которых по обеспечению медицинской помощью подростков мало чем отличаются от функций участковых врачей. Что же касается посещений специалистов, то при незначительных изменениях абсолютных чисел их доля в структуре всех посещений снижалась, что вполне понятно при общем росте числа посещений. Эти данные указывают на ведущую и возрастающую роль участковых врачей и врачей подростковых кабинетов в оказании терапевтической амбулаторно-поликлинической помощи населению и на известные пределы, которых достигает потребность в специализированной терапевтической помощи.  

Абсолютное число образцов является хорошей возможностью появления образцов с различной прс ицаемостью только в сравнительном варианте. Однако само по себе число образцов в том или ином интервале изменения проницаемости не может служить мерой возможности. Это число будет зависеть от общего числа испытаний и может изменяться с изменением этого общего числа испытаний.  

Абсолютное число бактериальных спор в начале опыта также возросло, но его увеличение сильно отставало от темпа развития общей массы бактерий. В силу этого процент спор, вычисленный по отношению к общему количеству бактерий в загрязненных почвах, первоначально сильно упал.  

Абсолютное число наемных рабочих у таких хозяев оказалось очень велико - 1 6 миллиона, болъшо трети всего числа наемных рабочих. Очевидно из всей массы (2 1 млн.) крестьянских хозяйств имеется немало капиталистических предприятий. Мы увидим ниже, каково приблизительно их число и их значение, теперь же остановимся подробнее на соотношении сзмейного и наемного труда.  

Абсолютное число отказов ПГА каждого вида за определенный период времени не может объективно характеризовать их распределение, так как оно связано с абсолютным числом испытанных или подконтрольных изделий каждого вида.  

Абсолютное число профессиональных заболеваний в нефтеперерабатывающей промышленности невелико и постоянно уменьшается. Из общего их числа около 45 % приходится на хронические интоксикации углеводородами у работников, долгое время контактирующих с нефтепродуктами: сливщиков, наливщиков, замерщиков, пробоотборщиков, рабочих по чистке емкостей. Наблюдаются также случаи пневмокониоза и силикоза (заболевания легких) у лиц, занятых работами с катализаторами, отбеливающими глинами, размолом гумбрина.  

Абсолютное число профессиональных заболеваний в нефтеперерабатывающей и нефтехимической промышленности невелико и постоянно уменьшается.  

Абсолютные числа переменных расходов газа удобно заменять относительными.  

Поскольку абсолютное число свободных электронов и дырок на квадратный сантиметр поверхности окисного катализатора входит в предэкспоненциальный множитель в выражении для скорости реакции, становится понятной причина падения скорости окисления после длительного спекания катализатора при высоких температурах. Такая предварительная обработка уменьшает величину поверхности катализатора и число дырок.  

Сравнивая абсолютные числа жителей данных возраста и группы в 1890 и 1900 гг., видно, что за 10 лет прирост везде велик, и хотя для цветных рас он немного более (32 %), чем для белых (около 21 % за 10 лет), но разность не велика. При этом нельзя не заметить, что, несмотря на преобладающую пропорцию детей у цветных жителей, цветные расы представляют медленно убывающий процент всех жителей Штатов: 12.2 и 12.1. Причину этого составляют, конечно, прибывающие белые переселенцы. Уверенность в том, что черная раса не получит в Штатах большого значения в будущем, увеличивается на основании того, что процент цветных детей за последние 20 лет у них все еще остается большим, чем у белых, но все же сильно убывает.  

Если абсолютное число крупных и мелких частиц в воде будет настолько велико, что фильтрующаяся вода не может перемещать их по трещинам и поровым каналам в глубь пласта, происходит резкое снижение приемистости скважины.  

В экономической науке статистические дисциплины находятся на приоритетных позициях. Это обусловлено различными причинами. В первую очередь в рамках общеэкономических специальностей статистические исследования выступают в качестве основы разработки и совершенствования аналитических методов. Кроме этого, они являются самостоятельным направлением, имеющим собственный предмет.

Абсолютные и относительные величины

Эти понятия выступают как ключевые элементы в статистической науке. Они используются для определения количественных характеристик, динамики их изменения. Абсолютные и относительные величины отражают разные характеристики, но без одних не могут существовать другие. Первые выражают количественные размеры того или иного явления безотносительно к другим. По ним нельзя оценить происходящие изменения и отклонения. Они выражают объем и уровень процесса или явления. Абсолютные величина являются всегда именованными числами. Они имеют размерность или единицу измерения. Они могут быть натуральными, трудовыми, денежными и проч. К примеру, нормо-часы, шт., тыс. руб. и так далее. Средние и относительные величины, наоборот, выражают соотношение нескольких точных размеров. Оно может устанавливаться для нескольких явлений или для одного, но взятого в другом объеме и в иной период. Эти элементы выступают как частное от статистических чисел, которое характеризует количественное их соотношение. Чтобы определить относительные величины, нужно один размер разделить на другой, принятый в качестве базового. Последними могут быть плановые данные, фактические сведения предыдущих лет или другого предприятия и так далее. Относительная может выражаться в процентах (при базе, принятой за 100) или коэффициентах (если база единица).

Классификация статистических чисел

Абсолютные величины представлены в двух типах:

1. Индивидуальные. Они характеризуют размер признака у конкретных единиц. Например, это может быть величина зарплаты сотрудника, вклада в банке и так далее. Эти размеры находят непосредственно в ходе статистического наблюдения. Они фиксируются в первичной учетной документации.
2. Суммарные. Величины этого типа отражают итоговый показатель признака по совокупности объектов. Эти размеры выступают в качестве суммы количества единиц (численности совокупности) или объема варьирующей характеристики.

Единицы измерения

Натуральные абсолютные величины могут быть простыми. Это, например, тонны, литры, рубли, штуки, километры. Они могут быть и сложными, характеризовать комбинацию нескольких величин. К примеру, в статистике используются тонно-километры для установления грузооборота железнодорожного транспорта, киловатт-часы - для оценки производства электроэнергии и проч. В исследованиях применяются и условно-натуральные единицы. К примеру, тракторный парк может пересчитываться в эталонные машины. Стоимостные единицы применяют для характеристики разнородного товара в денежном выражении. Эта форма, в частности, используется при оценке дохода населения, валового выпуска продукции. Используя стоимостные единицы, статисты принимают во внимание динамику цен во времени, а недостаток преодолевают за счет "сопоставимых" или "неизменных" цен по одному и тому же периоду. Трудовыми величинами учитывают общие затраты работы, трудоемкость тех или иных операций, составляющих технологический цикл. Они выражаются в и проч.

Относительные величины

Основным условием их расчета выступает сопоставимость единиц и наличие реальной связи между исследуемыми явлениями. Та величина, с которой осуществляется сравнение (знаменатель в дроби), выступает, как правило, в качестве базы или основания соотношения. В зависимости от ее выбора, результат может выражаться в различных долях единицы. Это могут быть десятые, сотые (проценты), тысячные (10-я часть % - промилле), десятитысячные (сотая доля % - продецимилле). Сопоставляемые единицы могут являться как одно-, так и разноименными. Во втором случае их наименования формируются от используемых единиц (ц/га, руб./чел. и т. д.).

Виды относительных величин

В статистике используется несколько типов этих единиц. Так, существует относительная величина:

1. Структуры.
2. Планового задания.
3. Интенсивности.
4. Динамики.
5. Координации.
6. Сравнения.
7. Степени экономического развития.

Относительная величина задания выражает отношение запланированного на предстоящий срок к фактически сложившемуся на текущий период. Аналогично рассчитывается единица плана. Относительная величина структуры - это характеристика доли конкретных частей исследуемой совокупности в ее общем объеме. Их расчет осуществляется посредством деления численности в отдельных частях на общее их количество (или объем). Выражаются эти единицы в процентах или простом кратном отношении. К примеру, так рассчитывается удельный вес городского населения.

Динамика

Относительная величина отражает в этом случае отношение уровня объекта в конкретный период к его статусу в прошедшее время. Другими словами, характеризуется изменение явления в течение какого-либо срока. Относительная величина, характеризующая динамику, именуется Выбор базы при расчете осуществляется в зависимости от цели исследования.

Интенсивность

Относительная величина может отражать степень развития какого-либо явления в конкретной среде. В этом случае говорят об интенсивности. Их вычисление производится сравнением разноименных величин, которые находятся в связи друг с другом. Они устанавливаются, как правило, в расчете на 1000, 100 и так далее единиц исследуемой совокупности. Например, на 100 га земли, на тысячу человек и проч. Эти показатели относительных величин - именованные числа. Например, так рассчитывается плотность населения. Она выражается средним числом граждан на 1 кв. км территории. В качестве подтипа таких единиц выступают характеристики степени экономического развития. К ним, например, относят такие виды относительных величин, как уровень ВНП, ВВП, ВИД и проч. на душу населения. Эти характеристики играют важную роль при анализе экономической ситуации в стране.

Координация

Значение относительных величин может характеризовать пропорциональность отдельных элементов целого друг к другу. Расчет осуществляется путем деления одной части на другую. Относительные величины в этом случае выступают как подтип единиц интенсивности. Разница заключается в том, что они отражают уровень распространения разнородных частей одной совокупности. Базой может выступать тот или иной признак, в зависимости от поставленной цели. В этой связи для одного и того же целого можно вычислить несколько относительных величин координации.

Сопоставление

Относительные величины сравнения - это единицы, которые представляют собой частные от деления одноименных статистических признаков, выступающих характеристиками для разных объектов, но относящихся к одному моменту или периоду. К примеру, вычисляется соотношение уровня себестоимости конкретного типа продукции, произведенной двумя предприятиями, производительность труда для разных отраслей и так далее.

Экономическая оценка

В этом исследовании активно используются абсолютные и относительные единицы. Первые применяются для установления соотношения запасов и расходов с источниками финансирования и оценки предприятия по уровню денежной устойчивости. Относительные показатели отражают структуру фондов с состоянием основных и оборотных средств. При экономической оценке используется горизонтальный анализ. В качестве наиболее обобщающей абсолютной величины, характеризующей финансовую устойчивость фирмы, выступает недостаток или излишек источников финансирования затрат и запасов. Расчет производится путем вычитания. Результатом является разница размера источников (за минусом внеоборотных активов), средствами которых формируются запасы, и их количеством. Ключевыми элементами в этом служат следующие статистические единицы:

1. Собственные оборотные активы.
2. Общий показатель плановых источников.
3. Долгосрочные заемные и собственные средства.

Детерминированное факторное исследование

Этот анализ представляет собой определенную методику изучения воздействия факторов, взаимодействие которых с результатами обладает функциональным характером. Это исследование проводится созданием и оценкой В этом анализе достаточно широко применяются относительные показатели. В большинстве случаев в факторном анализе используются мультипликативные модели. К примеру, прибыль можно выразить произведением количества товаров на стоимость единицы. Часть анализа в этом случае ведется 2 способами:

1. предполагает цепную подстановку. Изменение результата за счет фактора вычисляется как произведение отклонения изучаемого признака на базу другого по выбранной последовательности.
2. Метод относительных разниц используется при измерении воздействия факторов на прирост результата. Он применяется тогда, когда в исходных данных присутствуют ранее вычисленные отклонения в процентах.

Динамические ряды

Они представляют собой изменение числовых показателей общественных явлений в течение времени. В качестве одного из важнейших направлений в этом анализе выступает исследование особенностей развития событий за конкретные периоды. Среди них:

Заключение

Несомненно, относительные величины обладают высокой научной ценностью. Однако на практике их нельзя использовать обособленно. Они всегда находятся во взаимосвязи с абсолютными показателями, выражая соотношения последних. Если это не учитывать, то невозможно точно охарактеризовать исследуемые явления. Используя относительные величины, нужно показать, какие конкретно абсолютные единицы скрыты за ними. Иначе можно сделать неверные выводы. Только комплексное использование относительных и абсолютных величин может выступать в качестве важнейшего средства информации и анализа при изучении разнообразных явлений, происходящих в социально-экономической жизни. В целом переход к вычислению отклонений позволяет сопоставлять хозяйственный потенциал и результат деятельности предприятий, которые значительно отличаются по объему используемых ресурсов или иным характеристикам. Относительные величины, кроме того, могут сгладить некоторые процессы (форс-мажор, инфляцию и прочие), которые могут исказить абсолютные единицы в финансовой отчетности.

В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.

Навигация по странице.

Модуль числа – определение, обозначение и примеры

Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .

Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .

Определение.

Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0 , , если a=0 , и , если a<0 .

Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a больше или равно 0 ), и , если a<0 .

Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0 . В этом случае имеем , но −0=0 , так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и . Начнем с нахождения . Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .

В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.

Модуль числа как расстояние

Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .

Определение.

Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9 , так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25 , поэтому .

Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.

Определение.

Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .

То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .

Для примера вычислим модули чисел −30 и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число −a – отрицательное. Тогда и , если же a=0 , то .

Свойства модуля

Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.

Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.

Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.

Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.

Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b , то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем . Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: , a , b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника . Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a) , B(b) , C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС , у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ , - длине отрезка АС , а - длине отрезка СВ . Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство .

Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде . Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел ». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b положить −b , и принять c=0 .

Модуль комплексного числа

Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.

Определение .Абсолютной величиной (илимодулем ) действительного числа(обозначается) называется неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:

Ясно, что всегда

. (3.1)

Свойства абсолютных величин:

1)
; 2)
; 3)
; 4)
.

Доказательство. 1) Если
, тов силу (3.1). Если
, то. Первое свойство доказано.

2) Имеем , отсюда
. Второе свойство доказано.

3) , третье свойство доказано.

Четвертое свойство доказывается так же, как свойство 3).

Замечание . Свойство 1) распространяется на любое число слагаемых, свойство 3) – на любое число сомножителей.

Отметим также, что , т.е.х удовлетворяет неравенству
тогда и только тогда, когда принадлежит интервалу
.

Геометрический смысл модуля действительного числа состоит в том, что равен расстоянию от точких на числовой прямой до нуля.

§ 4. Понятие числовой последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, их свойства

Определение 1. Если каждому значениюn из множества натуральных чисел
ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число, то множество занумерованных действительных чисел называетсячисловой последовательностью
.

– члены последовательности,
– сокращенная запись последовательности. Например,
.

Определение 2. Пусть даны две последовательности
и
. Последовательностиназываются соответственно суммой, разностью, произведением и частным последовательностей
и
.

Определение 3. Последовательность
называетсяограниченной , если множество ее членов ограничено, т.е. существует число
, такое, что
. Последовательность
называетсяограниченной сверху (снизу ) , если существует числоМ , такое, что.

Если последовательность
неограниченна, то для любого числа
найдется номерn такой, что
. Ясно, что если последовательность ограничена только снизу или только сверху, то она неограниченна. Среди неограниченных последовательностей выберем бесконечно большие последовательности.

Определение 4. Последовательность
называетсябесконечно большой , если для любого
найдется номерN , такой, что
для всех
.

Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, но не всякая неограниченная последовательность бесконечно большая. Примером этого может служить последовательность .

Определение 5. Последовательность
называетсябесконечно малой , если для любого
найдется номерN , такой, что
для всех
.

Установим основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство . Пусть
и
– бесконечно малые последовательности. Возьмем
произвольно и положим
. По определению 5 длянайдутся номераи
, такие, что
для всех
и
для всех
. Положим
. Тогда для всех
и по определению 5 последовательность
бесконечно малая. Теорема доказана.

Аналогично доказываются

Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие . Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

(Можно поручить студентам доказать теоремы 2, 3 и следствие самостоятельно ).

Теорема 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство . Пусть
– бесконечно малая последовательность. Положим
N , такой, что
для всех
. Обозначим. Тогда
для всехn . Теорема доказана.

Следствие теорем 3и 4. Произведение двух (любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5. Если все члены бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числус , то
.

Доказательство . Предположим противное, т.е. что
. Возьмем
. По определению 5 найдется номерN , такой, что
для всех
, т.е.
для всех
, а этого не может быть, так как
для всехn . Противоречие доказывает утверждение теоремы.

Теорема 6. Если
– бесконечно большая последовательность, то– бесконечно малая последовательность.

Доказательство . Возьмем
произвольно и положим
. Тогда по определению 4 найдется номерN , такой, что
для всех значений
. Отсюда
для всех
, т.е.– бесконечно малая последовательность по определению 5. Теорема доказана.

Теорема 7. Если
– бесконечно малая последовательность и все члены этой последовательности отличны от нуля, то последовательность– бесконечно большая (доказать самостоятельно ).