Теория массового обслуживания. Методы исследования систем массового обслуживания

массовый обслуживание инвестиция

Практическая деятельность человека тесно связана с различного рода системами массового обслуживания. В области экономики - это банковское обслуживание, пользование объектами торговли и услугами сферы обслуживания и многие другие виды экономической деятельности.

Системы массового обслуживания (СМО)-- это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Любая система массового обслуживания может включать в себя следующие элементы:

1. Входной поток требований или заявок на обслуживание. Этот элемент является основным. Изучение входящего потока требований и его описание необходимо при организации любой системы массового обслуживания.
2. Очередь. В тех случаях, когда поступающие в систему массового обслуживания требования не могут быть удовлетворены немедленно, возникает очередь. В такой ситуации интерес может представлять длина этой очереди, порядок, по которому ожидающие требования направляются на обслуживание (как говорят, дисциплина очереди), время ожидания.

В отдельных случаях систем массового обслуживания очереди не допускаются, т.е. требование, заставшее систему занятой, не обслуживается (получает отказ).

3. Обслуживающее устройство. Этот элемент присутствует в любой системе массового обслуживания. От характеристик и параметров, способов организации обслуживающего устройства зависит не только время, необходимое на обслуживание одного требования, но и длина очереди и время ожидания.
4. Выходной поток обслуженных требований. Этот элемент может оказаться очень важным в тех случаях, когда выходящий поток обслуженных требований является входящим для другой системы массового обслуживания.

Рис. 1

Как правило, число требований на входе системы массового обслуживания за какой-либо промежуток времени и время обслуживания одного требования являются случайными величинами.

Системы массового обслуживания классифицируются по разным признакам.

1. На группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дисциплины обслуживания требований.

По составу СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим устройством) и многоканальными (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

с неограниченным временем ожидания (с ожиданием),

с отказами;

смешанного типа.

В СМО с неограниченным временем ожидания очередное требование, застав все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания до тех пор, пока одно из устройств не освободится.

В системах с отказами поступившее требование, застав все устройства занятыми, покидает систему. Классическим примером системы с отказами может служить работа автоматической телефонной станции.

В системах смешанного типа поступившее требование, застав все устройства занятыми, становятся в очередь и ожидают обслуживания в течение ограниченного времени. Не дождавшись обслуживания в установленное время, требование покидает систему.

2. В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.
3. По числу каналов обслуживания СМО делятся на одно- и многоканальные.
4. По количеству этапов обслуживания различают однофазные и многофазные системы.
5. По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые (источник требования вне системы) и замкнутые (источник в самой системе). Примером разомкнутой системы может служить ремонтная мастерская. Здесь неисправная техника - это источник требований, находящийся вне системы, число требований можно считать неограниченным. К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а, следовательно, источником требований на их обслуживание, например, бригадой ремонтников.

Методы и модели исследования СМО можно условно разбить на аналитические и статистические.

Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции от параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО.

Но, к сожалению, аналитические модели исследования операций зачастую не могут успешно применяться при принятии решений. Причина кроется в том, что математические модели, имеющие надежные методы вычисления, являются слишком упрощенными и неадекватны реальным процессам, либо не могут быть реализованы в силу вычислительных трудностей.

В таком случае используется имитационное моделирование, которое состоит в компьютерном моделировании реальной производственной ситуации.

Но на сегодняшний день, для решения задач массового обслуживания, теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения, в которых поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность поступления за время t ровно k требований задается формулой

где л - параметр, интенсивность входящего потока заявок.

Простейший поток обладает тремя основными свойствами:

Ординарность -- когда вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю.

Стационарность -- когда вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени, зависит только от длины этого участка.

Отсутствие последействий -- когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Важной характеристикой СМО является время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и, особенно в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания.

Функция распределения для этого закона имеет вид

То есть вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой, где м - параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе (интенсивность обслуживания) - величина, обратная среднему времени обслуживания, то есть

Теперь стоит привести некоторые аналитические модели исследования т расчета основных характеристик СМО.

Типичная постановка задачи, решаемой с помощью теории массового обслуживания, состоит в следующем: по заданному входящему потоку требований, известной дисциплине обслуживания и известному закону распределения времени обслуживания требования нужно оценить качество и эффективность функционирования СМО и выявить возможность их улучшения. Рассмотрим примеры:

1. Одноканальная СМО с отказами.

Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка -- автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, -- получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей л 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания -- tоб=1,8 часа.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

относительной пропускной способности q;

абсолютной пропускной способности А;

вероятности отказа Ротк;

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Определим интенсивность потока обслуживания:

Вычислим относительную пропускную способность:

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей.

Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

А=лЧq=1Ч0,356=0,356.

Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

Вероятность отказа:

Ротк=1-q=1-0,356=0,644.

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

Определим номинальную пропускную способность системы:

Аном= (автомобилей в час).

Оказывается, что Аном в раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

2. Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью.

Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N-- 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, имеет интенсивность л=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей л и м, т.е.

Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:

P1=r P0=0,893 0,248=0,221; P2=r2 P0=0,8932 0,248=0,198;

P3=r3 P0=0,8933 0,248=0,177; P4=r4 P0=0,8934 0,248=0,158.

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

Pотк=Р4=r4 P0?0,158.

Относительная пропускная способность поста диагностики:

q=1-Pотк=1-0,158=0,842.

Абсолютная пропускная способность поста диагностики. А=л q=0,85 0,842=0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

Среднее время пребывания автомобиля в системе:

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

Wq=Ws-1/м=2,473-1/0,952=1,423 часа.

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Lq=л (1-PN) Wq=0,85 (1-0,158) 1,423=1,02.

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк=0,158).

3. Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью.

Вспомнив о ситуации, рассмотренной в предыдущем примере, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т.е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

вероятности состояний системы (поста диагностики);

среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе

(на обслуживании и в очереди);

среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение Параметр потока обслуживания и приведенная интенсивность потока автомобилей с определены в предыдущем примере:

м=0,952; с=0,893.

Вычислим предельные вероятности системы по формулам

P0=1-r=1-0,893=0,107;

P1=(1-r)·r=(1-0,893)·0,893=0,096;

P2=(1-r)·r2=(1-0,893)·0,8932=0,085;

P3=(1-r)·r3=(1-0,893)·0,8933=0,076;

P4=(1-r)·r4=(1-0,893)·0,8934=0,068;

P5=(1-r)·r5=(1-0,893)·0,8935=0,061 и т.д.

Следует отметить, что Р0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10, 7%, так как Р0=0,107.

Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):

Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

Относительная пропускаемая способность системы равна единицы, так как все поступившие заявки рано или поздно будут обслужены:

Абсолютная пропускная способность:

A=л q=0,85 1=0,85.

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятие ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывших автомобилей как в предыдущем примере было равно трем. Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностике автомобиль не имеет возможности присоединить к очереди:

В нашем примере при N=3+1=4 и r=0,893,

m=л P0 r4=0,85 0,248 0,8934=0,134 автомобиля в час.

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 0,134=1,6 автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуживающих клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) пост диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобиля, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличие всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

4. Многоканальная СМО с отказами

Примером является задание № 4

5. Многоканальная СМО с ожиданием

Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность л=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

- вероятность состояний системы;
- среднее число заявок в очереди на обслуживание;
- среднее число находящихся в системе заявок;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Определим параметр потока обслуживаний

Приведенная интенсивность потока заявок

с=л/м=2,5/2,0=1,25,

при этом л/м с=2,5/2 3=0,41<1.

Поскольку л/м с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

Вычислим вероятности состояний системы:

Вероятность отсутствия очереди у мастерской

Ротк?Р0+Р1+Р2+Р3?0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.

Среднее число заявок в очереди на обслуживание

Среднее число находящихся в системе заявок

Ls=Lq+=0,111+1,25=1,361.

Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

Потоки событий (требований)

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей, поток заявок (требований) на ремонт оборудования и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью - л - частотой появления событий или средним числом событий, поступивших в СМО за единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени τ4 и τ2 - число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие (например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последствий).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени ∆t двух или более событий является величиной бесконечно малой по сравнению с вероятностью попадания одного события, т. е. поток требований (событий). Ординарен, если они (события) появляются в нем поодиночке, а не группами.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последствий. Название "простейший" объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание.

Математически доказано, что для простейшего потока число т событий (требований), попадающих на произвольный участок времени t распределено по закону Пуассона

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии:

В частности, вероятность того, что за время т не произойдет ни одного события (m = 0), равна

В соответствии с этой формулой вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна

а вероятность противоположного события, т. е. функция распределения случайной величины Т есть

Методы исследования СМО

Процессы массового обслуживания исследуются на основе двух методов:

1. Аналитического.
2. Метода статистического моделирования или метода Монте-Карло.

Каждый из этих методов имеет свои особенности и сферу практического применения.

Аналитическая теория массового обслуживания предлагает достаточно простые расчетные формулы для определения важнейших характеристик функционирования СМО различных классов. Эти подходы изложены в .

Однако на практике реальные СМО часто отличаются от упрощенных систем. Обслуживающие аппараты и источники, посылающие требования, заявки могут быть неоднородными. Обслуживание может носить сложный многофазовый характер. Поток событий часто может оказаться не простейшим, а время обслуживания в реальных системах может носить любой характер распределения. Многие самые сложные задачи (особенно возникающие в производственных системах) могут быть успешно решены при помощи метода статистического моделирования случайных процессов (метод Монте-Карло).

Построение математической модели Монте-Карло состоит из следующих этапов:

1. Формирование целей задачи и выбор ограничительных условий функционирования системы обслуживания.
2. Проведение наблюдений за ходом производства, т.е. получение исходных данных.
3. Первичная обработка данных, построение рядов распределения и их графический анализ. Выдвижение гипотезы о характере закона распределения.
4. Построение теоретического распределения с параметрами данных эмпирического наблюдения.
5. Проверка соответствия теоретического и эмпирического распределения.

Для наблюдения заходом производственного процесса используются данные фотографий, хронометража, журналов регистрации простоев оборудования, данные с АИС (автоматизированных информационных систем) и др. методы получения информации. При проведении наблюдений не следует проводить округления до равных значений времени.

При обработке первичной документации важно правильно выбрать интервалы группировок. Если ожидается, что распределение похоже на нормальное, величина интервала рассчитывается по формуле:

Рассмотрим, как происходит поиск этой кривой. Вначале собираются исходные данные, строится гистограмма и определяют закон распределения. Далее строится теоретическая кривая, параметры которой совпадают с параметрами эмпирического распределения. Для этого необходимо найти параметры эмпирического распределения и по ним построить теоретическую кривую. Выдвинуть форму гипотезы, найти параметры и построить кривую и далее проверить, насколько соответствует теоретическая кривая и эмпирическое распределение. Если они полностью совпадают, то, значит, закон найден. Но если между теоретической кривой и эмпирической гистограммой имеются различия, необходимо проверить на сколько существенны эти различия. Если они носят случайный характер, тогда можно считать, что эмпирическое распределение описывается данной теоретической кривой. Если же различия очень велики, значит, теоретический закон подобран в данном случае неверно, и нужно искать новый закон распределения. Для оценки существенности различий теоретической кривой и эмпирического распределения используется два критерия X2 (х-квадрат) Пирсона и λ лямбда Колмогорова. X2 определяется по следующей формуле:

Теоретические частоты находятся на основе, например, интегральной формы распределения путем умножения на объем совокупности.

В результате получаем теоретически накопленные частоты.

Оценка на основе критерия х2 производится следующим образом. После того, как найдено х определяют число степеней свободы К, которое равно числу интервалов минус число статистических характеристик, использованных при расчете распределения (параметров). При нормальном законе - три (x,σ,N) параметра, а при распределении Пуассона - два (λ и N) параметра. Для полученных величин X2 и числа степеней свободы К по таблицам отыскивается вероятность Рх2 того, что различие между теоретическим и эмпирическим распределениями носит случайный характер. Если Рх2 больше 0,05 или 5%, можно считать, что эта вероятность достаточно велика, чтобы не исключать случайного характера различий и поэтому распределение считают подчиняющимся данному теоретическому закону. Если же Рх2 меньше 5 %, то считается, что теоретическое и эмпирическое распределение не совпадают и тогда нужно искать новое теоретическое распределение. Значения Рх2 содержатся в специальных таблицах с двумя входами: один соответствует х2, второй - К. На их пересечении Рх2. Проверка по критерию λ. производится так: вначале определяют

После того, как найдена А, по таблицам находят Р (λ). И, если оно больше 0,05, считают, что различия распределения носят случайный характер, если меньше, то не случайный. Критерий λ по сравнению х2 являются менее жестким, т. е. обычно он показывает большую вероятность того, что различие между распределениями носит случайный характер. Это объясняется тем, что для использования критерия λ нужно дополнительное условие, а именно, теоретический анализ должен показать, что эмпирическое распределение должно подчиняться данному закону.

Рис.6.3.

После того как построена математическая модель производственного процесса, можно переходить к проведению случайных испытаний и моделированию на их основе хода производственного процесса. Случайные испытания производятся обычно на основе равновероятного распределения. Далее необходимо от равновероятного распределения перейти к распределению, которое описывается математической моделью. Наконец, построение графика Эпроизводственного процесса на основе случайных испытаний. Для проведения случайных испытаний используются различные методы. Теоретически наиболее простой, но практически наиболее трудоемкий метод жеребьевки: случайный отбор по схеме повторного отбора (шары из урны), моделирование случайных испытаний с помощью ЭВМ, использование таблиц случайных чисел, составленных на основе одного из первых двух способов. Пользоваться таблицей можно в любом, но заранее оговоренным порядке (или по диагонали, сверху вниз и т.д.).

Преобразование равновероятных случайных чисел в числа, подчиняющиеся установленному ранее закону распределения

Имеется несколько переходов от нормально распределенных чисел к случайным числам.

Первый способ связан с закреплением за каждым значением определенного количества номеров, оно пропорционально вероятности каждого времени (например, телефонный разговор).

Этот способ хорош для дискретных значений. Если же значения непрерывные, то используем функцию нормального распределения.

Поскольку вероятность любого значения от 0 до 1, т. е. 0 ≤ F(t) < 1, может быть рассчитано с любой точностью до 2, 3 и т.д. знаков. Найдя по таблице случайных чисел значения случайных чисел, можно приравнять их к величинам F(t)t и известным значениям x и σ значения χ. Эти значения χ и представляют собой случайные величины промежутков между обслуживанием или длительность обслуживания, подчиняющимся закону нормального распределения С параметрами σ и χ. Такой метод очень трудоемкий, и поэтому на практике употребляется графический метод как наиболее удобный.

Установив на основе случайных испытаний возможные длительности времени обслуживания, либо длительности промежутков между поступлением заявок, строят график движения процесса производства во времени. На таком графике проставляют время работы оборудования и время обслуживания, простои и ожидания обслуживания. Суммирование времени простоев дает возможность оценить затем каждый вариант с точки зрения уровня обслуживания основного производственного процесса. Эта оценка представляет третью стадию решения задачи, а именно: оценку и анализ результатов моделирования. В ходе такой оценки строится график экономичности различных вариантов обслуживания. При оценке учитывают, что:

1. Потери и затраты состоят из затрат на обслуживание (зарплата наладчиков) и потерь, связанных с простоями.
2. Экономически наибольшую сложность представляет определение потерь от простоев.
3. Важно установить, сколько нужно произвести испытаний, чтобы определить норму обслуживания. Жесткой цифры нет.

Для определения того, достаточно ли проведено испытаний, используется следующий прием. Общее количество испытаний делится на две части. Для каждой половины подсчитывается средняя арифметическая и дисперсия. Далее они сравниваются друг с другом. Оценка расхождения между средними производится по критерию Стьюдента

Затем сравниваем tрасч с табличным значением. Если tрасч больше табличного, значит, расхождения между средними велики. Это говорит о том, что испытаний в таком случае недостаточно. Испытания продолжают и затем делают снова проверку.

Величина t находится по таблицам Стьюдента в зависимости от вероятности возможной ошибки. Обычно в пределах 5 % и от числа степеней свободы.

Задачи, решаемые методами теории массового обслуживания

Расчет численности вспомогательных рабочих (расчет норм обслуживания): наладчиков, электриков, дежурных слесарей. Расчет необходимого числа кранов. Определение страховых заделов. Определение страховых запасов. Расчет необходимой площади материальных складов.

На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокращения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором - стремления к выпуску большего количества продукции, ведущего к снижению трудовых затрат; к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьшением количества изделий и, следовательно, возрастанием трудовых затрат. В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой прочности конструкций - с другой.

В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении экономических задач, в которых оппозиционной силой выступает природа, и когда вероятность наступления тех или иных событий многовариантна или неизвестна.

Природные условия нередко сказываются и на эффективности работы промышленных предприятий.

Математическая теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания является очень актуальной в наше время. От её совершенствования порой зависят очень важные компоненты современной жизни. Из сказанного выше мы видим, что СМО применяются во многих областях деятельности человека, которые связаны с удовлетворением потребностей заявителей на обслуживание.

Одним из самых главных мест применения СМО является экономика. Ведь где, как не в экономике больше всего сталкиваются с удовлетворением потребностей. Когда запросов на удовлетворение потребностей много, а средств удовлетворения меньше, чем запросов. Очень важным является правильно рассчитать систему обслуживания запросов, ведь если запросы будут потеряны из-за того, что их вовремя не обслужили – фирма (предприятие, банк и т.д.) потеряет значительную часть прибыли. Для оптимизации системы обслуживания и используется СМО. Её разработкой для конкретных условий занимаются менеджеры.

Теория массового обслуживания – это очень многогранное понятие. А, так как человеку свойственно все систематизировать для облегчения понимания, теория массового обслуживания стала базироваться на математическом аппарате. Математическое моделирование СМО является наиболее прогрессивным и точным.

Теория массового обслуживания впервые применялась в телефонии, а затем и в других областях хозяйственной деятельности.

Например, организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количества предприятий данного торгового профиля, численности продавцов в них (в том числе и "механических"), наличия соответствующих основных фондов, частоты завоза товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах (по групповому и внутригрупповому ассортименту). Если предположить, что предприятие располагает необходимыми основными фондами, торгует товарами, имеющимися в достаточном количестве (при нормальной частоте завоза), то и тогда в процессе обслуживания остаются такие переменные величины, которые могут существенно повлиять на качество обслуживания. Надлежит, следовательно, выбрать такой оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, при котором время обслуживания будет минимальным, качество - высоким, не будет излишних народнохозяйственных затрат. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи.

Аналитическое моделирование на основе теории систем массового обслуживания.

При аналитическом моделировании исследование процессов или объектов заменяется построением их математических моделей и исследованием этих моделей. В основу метода положены идентичность формы уравнений и однозначность соотношений между переменными в уравнениях, описывающих оригинал и модель. Поскольку события, происходящие в локальных вычислительных сетях, носят случайный характер, то для их изучения наиболее подходящими являются вероятностные математические модели теории массового обслуживания. Объектами исследования в теории массового обслуживания являются системы массового обслуживания (СМО) и сети массового обслуживания (Семо). Системы массового обслуживания классифицируются по следующим признакам:

Закону распределения входного потока заявок;

Числу обслуживающих приборов;

Закону распределения времени обслуживания в обслуживающих приборах;

Числу мест в очереди;

Дисциплине обслуживания.

СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава, от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, от дисциплины обслуживания требований.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

1) с неограниченным временем ожидания (с ожиданием),

2) с отказами;

3) смешанного типа.

В системах смешанного типа поступившее требование, застав все (устройства занятыми, становятся в очередь и ожидают обслуживания в течение ограниченного времени. Не дождавшись обслуживания в установленное время, требование покидает систему.

В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства (каналы) и выходящий поток требований.

Таким образом, из вышеописанного можно сделать вывод о том, что теория массового обслуживания просто необходима в нашей жизни. Так как мы ежедневно имеем дело с очередями, то эта теория позволяет решать многие жизненные ситуации.

С точки зрения тех, кого обслуживают, очередь связана с бесполезной потерей времени и всегда ассоциируется только с отрицательным восприятием. Одной из важнейших экономических характеристик СМО является время, теряемое заявкой в очереди на ожидание обслуживания. Большое количество заявок, ожидающих обслуживания, кроме отрицательного влияния на субъективное восприятие, мешает нормальной работе даже при небольших временных затратах. Хорошо организованное обслуживание соответствует реально незначительному времени нахождения заявки в очереди. В условиях рыночной экономики и при наличии конкуренции низкий уровень обслуживания приводит к потере потенциальных заявок и снижению конкурентоспособности. Поэтому для менеджера важным является контролировать процессы образования очереди. Пренебрежение этой стороной менеджмента может привести к серьезным экономическим потерям, вплоть до вытеснения из рынка. Теория массового обслуживания дает методы анализа характеристик очереди и выявления путей ее уменьшения.

Предмет ТМО - системы массового обслуживания (СМО) и сети массового обслуживания. Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщённая структура СМО приведена на рисунке 3.1.

Рис. 3.1. Схема СМО.

Поступающие на вход СМО однородные заявки в зависимости от порождающей причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа i (i=1…M) обозначено  i . Совокупность заявок всех типов - входящий поток СМО.

Обслуживание заявок выполняется m каналами. Различают универсальные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального канала типа j считается известными функции распределения F ji () длительности обслуживания заявок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов являются неопределёнными, назначение этих заявок на данный канал.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например, потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удалённых терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное поведение заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени.

Q - схемы можно исследовать аналитически и имитационными моделями. Последнее обеспечивает большую универсальность.

Рассмотрим понятие массового обслуживания.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно отобразить в виде некоторого i-ого прибора обслуживания П i , состоящего из накопителя заявок, в котором может находится одновременно l i =0…L i H заявок, где L i H - ёмкость i-ого накопителя, и канала обслуживания заявок, k i .

Рис. 3.2. Схема прибора СМО

На каждый элемент прибора обслуживания П i поступают потоки событий: в накопитель H i поток заявок w i , на канал k i - поток обслуживания u i .

Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Однородный ПС характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {t n }={0t 1 t 2 …t n …}, где t n - момент поступления n- ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями { n }.

Неоднородным ПС называется последовательность {t n , f n } , где t n - вызывающие моменты; f n - набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

Рассмотрим ОПС, для которого  i { n }- случайные величины, независимые между собой. Тогда ПС называется потоком с ограниченным последействием.

ПС называется ординарным , если вероятность того, что на малый интервал времени t, примыкающий к моменту времени t попадает больше одного события Р  1 (t, t) пренебрежительно мала.

Если для любого интервала t событие P 0 (t, t) + P 1 (t, t) + Р  1 (t, t)=1, P 1 (t, t) - вероятность попадания на интервал t ровно одного события. Как сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных, то для ординарного потока событий P 0 (t, t) + P 1 (t, t)  1, Р  1 (t, t)=(t), где (t)- величина, порядок малости который выше, чем t, т.е. lim((t))=0 при t0.

Стационарным ПС называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени  зависит от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0 - t взят этот участок. Для ОПС справедливо 0*P 0 (t, t) + 1*P 1 (t, t)= P 1 (t, t) - среднее число событий на интервале t. Среднее число событий, наступающих на участке t в единицу времени составляет P 1 (t, t)/t. Рассмотрим предел этого выражения при t0

lim P 1 (t, t)/t=(t)*(1/един.вр.).

Если этот предел существует, то он называется интенсивностью (плотностью) ОПС. Для стандартного ПС (t)==const.

Применительно к элементарному каналу обслуживания k i можно считать что поток заявок w i W, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе k i образуют подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания u i U, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки образуют подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом k i и заявки, покинувшие прибор П i по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток y i Y.

Процесс функционирования прибора обслуживания П i можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени Z i (t). Переход в новое состояние для П i означает изменение кол-ва заявок, которые в нём находятся (в канале k i и накопителе H i). Т.о. вектор состояний для П i имеет вид: , где- состояния накопителя, (=0 - накопитель пуст,=1- в накопителе одна заявка…,=- накопитель занят полностью;- состояние каналаk i (=0 - канал свободен,=1 канал занят).

Q-схемы реальных объектов образуются композицией многих элементарных приборов обслуживания П i . Если k i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы П i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема).

Т.о. для задания Q-схемы необходимо оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры.

Связи в Q-схеме изображают в виде стрелок (линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой выходной поток не может снова поступить на какой-либо элемент, т.е. обратная связь отсутствует.

Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы будут являться кол-во фаз L Ф, количество каналов в каждой фазе, L kj , j=1… L Ф, количество накопителей каждой фазы L kj , k=1… L Ф, ёмкость i-ого накопителя L i H . Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от ёмкости накопителя применяют следующую терминологию:

системы с потерями (L i H =0, накопитель отсутствует);

системы с ожиданием (L i H );

системы с ограниченной ёмкостью накопителя Н i (смешанные).

Обозначим всю совокупность собственных параметров Q-схемы как подмножество Н.

Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы её функционирования, которые определяют правила поведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.

В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Н i и обслуживания заявок каналом k i . Неоднородность потока заявок учитывается с помощью введения класса приоритетов.

В зависимости от динамики приоритетов Q-схемы различают статические и динамические. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы, т.е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании. Исходя из правил выбора заявок из накопитель Н i на обслуживание каналом k i можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Н, ожидает окончания обслуживания представляющей заявки каналом k i и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом k i заявки с более низким приоритетом и сами занимает канал (при этом вытесненная из k i заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в Н i).

Необходимо также знать набор правил, по которым заявки покидают Н i и k i: для Н i – либо правила переполнения, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в Н i ; для k i – правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале k i , т.е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки k i по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q‑схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состояний Q‑схемы. Набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q‑схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А.

Т.о. Q‑схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задаётся в виде набора множеств: Q = .

Большие резервы повышения производительности труда и снижения издержек заложены в улучшении организации предоставления услуг как производственного, так и непроизводственного назначения. Разработка и применение усредненных нормативов на работы по обслуживанию во многих случаях не дают достаточного эффекта при определении необходимого количества персонала, так как условия, в которых осуществляются эти работы, различны даже на одном предприятии. Например, использование нормативов системы планово-предупредительного ремонта для выявления необходимого количества ремонтного персонала по текущему обслуживанию не сможет обеспечить выбор оптимального варианта в связи с тем, что объем работ по ремонту зависит от многих трудноучитываемых факторов: продолжительности работы оборудования с момента его установки, состояния оборудования и его загрузки по мощности и времени, квалификации ремонтного персонала, обеспечения запасными частями и т. п. То же самое можно сказать о роли нормативов в деятельности предприятий, осуществляющих предоставление услуг населению.

Оптимальная численность обслуживающего персонала в конкретных условиях может быть определена с помощью теории массового обслуживания.

Теория массового обслуживания, как принято ее называть в нашей стране, или теория очередей, по терминологии английских и американских авторов - одна из основных составных частей исследования операций. Постановка первых вопросов теории массового обслуживания связана с исследованиями датского ученого Эрланга, работавшего в области теории проводной связи.

Характерная особенность задач массового обслуживания, возникающих в экономике и организации производства и транспорта, в области физики частиц, автоматического управления, военного дела, в работе портов и телефонных станций, учреждений бытового обслуживания и т. д., состоит в наличии обслуживающей системы (рис. 8.6), на вход которой в какие-то неизвестные заранее моменты времени поступают заявки (требования). Например, на телефонную станцию (обслуживающая система) поступают вызовы абонентов (требования), в ремонтную мастерскую - машины на ремонт. В первом случае требования удовлетворяются, т. е. после вызова происходит соединение абонентов, если линии (каналы) обслуживания свободны, если же канал занят, требование получает отказ. Во втором случае, если обслуживающие каналы (например, бригада рабочих, осуществляющих ремонт) заняты, требование становится в очередь и ждет освобождения одного из каналов.

Рис. 8.6.

Таким образом, системы массового обслуживания можно разделить на два основных типа: системы с отказами и системы с ожиданием. Обслуживание в системе с ожиданием может осуществляться в порядке поступления требований по заранее заданному закону (устанавливается приоритет для некоторых требований по отношению к другим) или в случайном порядке.

Время ожидания в очереди может быть как неограниченным, так и ограниченным, т. е. требование, «прождав» некоторое время, покидает очередь и остается необслуженным.

Каждая система массового обслуживания характеризуется пропускной способностью, определяющейся числом каналов, их производительностью и характером потока требований. Производительность канала характеризуется временем обслуживания одного требования.

Предмет теории массового обслуживания - это установление зависимости между характером потока требований, производительностью отдельного канала, числом каналов и эффективностью обслуживания.

Показателями эффективности обслуживания в зависимости от условий задачи и целей исследования могут служить различные величины и функции: средний процент отказов, среднее время простоя, среднее время ожидания, средняя длина очереди, вероятность нулевого времени ожидания и т. д.

Поток требований, поступающих на вход системы массового обслуживания, можно считать потоком случайных событий, так как моменты поступления требований заранее неизвестны. Поток событий можно изобразить последовательностью моментов их появления на оси времени. Мы будем рассматривать поток однородных событий, различающихся лишь моментами появления. Если моменты появления событий разделены одинаковыми интервалами, поток событий называется регулярным. Однако типичен для систем массового обслуживания поток требований, поступающих в случайные моменты времени.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок Dt двух или более событий есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью попадания одного события на этот участок. Это означает, что совпадение двух или более событий невозможно, требования приходят по одному, а не парами, тройками и т. д.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания какого-то количества событий на определенный участок времени зависит только от длины этого участка, а не от расположения на оси времени, для стационарного потока характерна независимость вероятностных характеристик от времени, он имеет постоянную плотность (среднее число требований в единицу времени).

Поток событий называется потоком без последствия, если для любых неперекрывающихся участков времени количество событий, попадающих на один из них, не зависит от количества событий, попадающих на другие. Это означает, что требования поступают в систему независимо друг от друга.

Ординарный стационарный поток без последствия называется простейшим (или стационарным пуассоновским). Термин «пуассоновский поток» употребляется потому, что, как известно из теории вероятностей, для ординарного потока без последствия число событий, попадающих на участок t, распределено по закону Пуассона:

где Хх = а - математическое ожидание количества событий на участке т; X - параметр, характеризующий плотность потока (к > 0);

Рщ СО - вероятность того, что за время X произойдет т событий.

В частности, при т = 0

и есть вероятность того, что за время т не произойдет ни одного события. Отсюда можно получить

т. е. вероятность того, что за время т произойдет хотя бы одно событие.

В общем случае время обслуживания есть случайная величина, поэтому для получения количественных характеристик системы массового обслуживания необходимо задавать закон распределения времени обслуживания.

Задачи теории массового обслуживания имеют простое аналитическое решение, если поток требований является пуассоновским, а время обслуживания распределено по показательному закону:

t o6 - среднее время обслуживания требования.

В реальных задачах могут встретиться потоки более общего вида, где время обслуживания распределено не только по показательному закону.

Кроме того, различные системы массового обслуживания могут образовывать сеть, когда требования, выходящие из одних систем массового обслуживания с различными вероятностями, поступают на входы других систем или уходят из сети.

В сложных экономических системах ожидание требования начала обслуживания часто вызывает простой какой-то системы, в которую это требование должно поступить после обслуживания первой системой. В ряде случаев очень большие расходы вызывает простой обслуживающей системы (например, вычислительный центр, крупный завод), в других случаях нежелательно ожидание (например, в случае поступления очень важного заказа, важности результата для других систем и т. д.).

Обычно при решении экономических задач нужно достичь экстремального (минимального или максимального) значения некоторого критерия (функции стоимости), определяемого для различных конкретных условий. При исследовании работы систем массового обслуживания чаще всего минимизируются расходы из-за простоя и ожидания, потери вследствие ухода требования, оценивается целесообразность увеличения числа каналов.

Например, необходимо организовать ремонтное обслуживание оборудования в каком-либо цехе или на участке. Для этого нужно выделить определенное количество рабочих-ремонтников. Если рабочих будет мало, это вызовет простой оборудования в ожидании ремонта и соответственно простой производственных рабочих. Если же ремонтников будет слишком много, это приведет к нерациональному использованию их рабочего времени, к излишним затратам на их содержание. И в том и в другом случае производство будет иметь потери, которые в конечном счете обусловят снижение производительности труда и повышение себестоимости продукции. Необходимо выбрать вариант, при котором суммарные потери будут наименьшими.

Математические методы теории массового обслуживания дают возможность установить среднее количество требований, находящихся в системе, в очереди, среднее количество необслуженных требований, среднее время ожидания, вероятность отказа, вероятность того, что длина очереди не превысит заданную, и т. д.

Кратко рассмотрим подход к решению одной из классических задач теории массового обслуживания. Пусть имеется п станков и бригада из т человек, обслуживающая эти станки. Станок, работающий в момент времени t, отказывает к моменту t + т с вероятностью Р(т) = - 1 - е~ кх, где е~ кХ есть вероятность того, что за время t не произойдет ни одного отказа. Время ремонта станка - случайная величина г). Для такой системы можно вычислить среднее число простаивающих рабочих. Эта характеристика используется в дальнейшем для оптимального выбора соотношения между пит исходя из экономических критериев.

С применением методов теории массового обслуживания можно решать также задачи выбора наиболее рациональной организации многостаночного обслуживания. Например, необходимо установить, какое количество автоматов может эффективно обслуживать один рабочий. Если у рабочего будет слишком много станков, то неизбежны простои оборудования из-за того, что он не будет успевать своевременно заправлять их материалом, проверять качество изготовленной детали и т. п., если же обслуживаемых станков будет мало, рабочий будет систематически простаивать.

Задача в данном случае состоит в том, чтобы выбрать, исходя из конкретных условий работы оборудования и рабочего, наиболее выгодный для производства вариант.

Методы теории массового обслуживания смогут использоваться и при решении такого типа задач, как определение оптимальной численности бригады, обслуживающей какие-либо агрегаты (вагранки, печи и т. д.), определение необходимого количества транспортных средств для нужд цехов и т. д.

Рассмотрим математический аппарат, с помощью которого можно оценить функционирование в стационарном режиме простейших систем массового обслуживания с отказами при условии поступления в них пуассоновского потока требований. Такая задача впервые была решена Эрлангом, который получил следующие зависимости :

Вероятность того, что обслуживанием заняты К аппаратов (линий, приборов и т. д.)

где А - плотность потока заявок;

п - число аппаратов (линий, приборов и т. д.); т - параметр обслуживания.

Чаще всего в формулах используется параметр а = А/p, тогда предыдущую формулу запишем так:

Частными случаями этой формулы будут:

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты. Это одновременно и вероятность отказа в обслуживании вновь поступившего требования в систему:

На практике необходимо часто определять:

Среднее число приборов, занятых обслуживанием, и связанный с ними коэффициент занятости аппаратов:

Это будет и доля загруженных аппаратов за время обслуживания:

Среднее число аппаратов, свободных от обслуживания:

Коэффициент простоя аппаратов:

При решении практических задач целесообразно для проверки правильности полученных результатов пользоваться вполне очевидным равенством

Было доказано, что формулы Эрланга справедливы не только для случая, когда время распределено по показательному закону, но и для случаев любого распределения времени обслуживания. Этот результат позволит значительно расширить области применения формул Эрланга для решения многих практических задач.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Необходимо оценить работу автоматизированной телефонной станции (АТС), которая имеет п = 5 линий связи. К услугам станции обращаются абоненты с требованиями на ведение разговоров. Естественно, что моменты поступления требований на станцию случайны и независимы друг от друга.

Задачу решим на примере простейшего потока требований. Пусть средняя плотность потока вызовов в единицу времени X = 2. Продолжительность каждого разговора - также величина случайная. Можно принять, что продолжительность разговоров различных абонентов подчинена показательному закону распределения. Пусть среднее время, необходимое для ведения каждого разговора, равно t o6 = 1 ед. времени. Может возникнуть сомнение в правомочности принятия показательного закона распределения времени ведения разговоров абонентов. Но, как уже говорилось выше, формулами Эрланга можно пользоваться при любых законах распределения времени разговоров абонентов.

В итоге в предлагаемом примере необходимо оценить функционирование АТС.

Решение

Находим параметр

Вероятность того, что все линии будут свободны при работе АТС, может быть определена по формуле (8.24):

Вероятность того, что абоненту будет отказано в обслуживании, рассчитывается по формуле (8.25):

Определяем среднее число занятых линий связи во время работы АТС.

Для проведения необходимых расчетов составим таблицу 8.3.

Таблица для расчета параметров задачи

По результатам расчетов получено:

Коэффициент простоя линий равен:

При решении этого примера целесообразно воспользоваться специальной таблицей 4 приложения 5 к книге (подобные таблицы приводятся и в других работах по массовому обслуживанию). Входом в нее является К и а, а из таблицы можно получить значения вероятностей Р к и их частных значений Р 0 и Р п.

Пример 2. Необходимо спроектировать АТС с пропускной способностью, при которой вероятность получения абонентом отказа в обслуживании не превосходила Р п X = 0,5 вызова в минуту. Считается, что средняя продолжительность разговора равна f o6 -2 мин. Определить необходимое число линий связи.

Значит, коэффициент загрузки линий связи равен:

Среднее число свободных линий связи равно:

Решение

Определяем параметр

Для составления расчетной таблицы воспользуемся таблицей 4 приложения 5 к работе .

Таблица 8.4

Определение вероятностей

Из данных таблицы 8.4 следует, что АТС нужно проектировать на 5 линий связи. При этом будет обеспечена связь одного абонента с другими с вероятностью Р = 0,997.

Несмотря на достаточно обширную область возможного применения теории массового обслуживания, следует отметить, что часто бывает довольно трудно подобрать подходящую модель для описания конкретной ситуации, а когда это удается, то возникают алгоритмические трудности ее решения.

Вывод приводимых ниже формул можно найти в работе .