Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов ».
Расчет ферм. Понятие о ферме. Аналитический расчет плоских ферм.
Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами . Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма называется плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам.
Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложен-ные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Огра-ничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов n связаны соотношением
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и уси-лий в ее стержнях.
Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перейдем к определе-нию усилий в стержнях.
Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к по-следовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы. Ход расчетов поясним на конкретном примере.
Рис.23
Рассмотрим изображенную на рис. 23,а ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников; действую-щие на ферму силы парал-лельны оси х и равны: F 1 = F 2 = F 3 = F = 2.
В этой ферме число узлов n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соот-ношение выполняется и ферма является жесткой, без лишних стержней.
Составляя уравнения рав-новесия для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как пока-зано на рисунке, и численно равны;
Y A = N = 3/2F = 3H
Переходим к определению усилий в стержнях.
Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни — арабскими. Искомые усилия будем обозначать S 1 (в стержне 1), S 2 (в стержне 2) и т. д. Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от осталь-ной фермы. Действие отброшенных частей стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям S 1 , S 2.
Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая, все стержни растя-нутыми (рис. 23, а; изображенную картину надо представлять себе для каждого узла так, как это показано на рис. 23, б для узла III). Если в результате расчета величина усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательной, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат. Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, ни рис. 23 не вводам, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня 1, равны численно S 1 , вдоль стержня 2 — равны S 2 и т. д.
Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последо-вательно уравнения равновесия:
Начинаем с узла 1, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия.
Составляя уравнения равновесия для узла 1, получим
F 1 + S 2 cos45 0 = 0, N + S 1 + S 2 sin45 0 = 0.
Отсюда находим:
Теперь, зная S 1 , переходим к узлу II. Для него уравнения равнове-сия дают:
S 3 + F 2 = 0, S 4 - S 1 = 0,
S 3 = -F = -2H, S 4 = S 1 = -1H.
Определив S 4 , составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, а затем для узла IV. Из этих уравнений находим:
Наконец, для вычисления S 9 составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось By. Получим Y A + S 9 cos45 0 = 0 откуда
Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла VI можно составить как поверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равновесия всей фермы в целом при определении N, Х А, и Y А.
Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу:
Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стер-жни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой, стержень).
Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обна-руживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную к упомянутым двум стержням.
Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неизве-стных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.
Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно поль-зоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в ча-стности, для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилие, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни рас-тянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют урав-нения равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.
Графический расчет плоских ферм.
Расчет фермы мето-дом вырезания узлов может производиться графически. Для этого сначала, определяют опорные реакции. Затем, последовательно отсекая от фермы каждый из ее узлов, нахо-дят усилия в стержнях, сходящихся в этих узлах, строя соответствую-щие замкнутые силовые многоугольники. Все построения проводятся в масштабе, который должен быть заранее выбран. Рас-чет начинают с узла, в котором сходятся два стержня (иначе не удастся определить неизвест-ные усилия).
Рис.24
В качестве примера рас-смотрим ферму, изображен-ную на рис. 24, а. В этой ферме число узлов n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соотношение выполняется и ферма является жесткой, без лиш-них стержней. Опорные реак-ции и для рассматри-ваемой фермы, изображаем на-ряду с силами и , как известные.
Определение усилий в стержнях начинаем с рас-смотрения стержней, сходя-щихся в узле I (узлы нуме-руем римскими цифрами, а стержни - арабскими). Мысленно отрезав от этих стержней остальную часть фермы, отбрасываем ее действие отброшенной части также мысленно заменяем силами и , которые должны быть направлены вдоль стержней 1 и 2. Из сходящихся в узле I сил , и строим замкнутый треугольник (рис. 24, б).
Для этого изображаем сначала в выбранном масштабе известную силу , а затем проводим через ее начало и конец прямые, параллельные стерж-ням 1 и 2. Таким путем будут найдены силы и , действующие на стержни 1 и 2. Затем рассматриваем равновесие стержней, сходящихся в узле II. Действие на эти стержни отброшенной части фермы мысленно заменяем силами , , и , направленными вдоль соответствующих стержней; при этом сила нам известна, так как по равенству дей-ствия и противодействия .
Построив из сил, сходящихся в узле II, замкнутый треугольник (начиная с силы ), найдем вели-чины S 3 и S 4 (в данном случае S 4 = 0). Аналогично находятся усилия в остальных стержнях. Соответствующие силовые многоугольники для всех узлов показаны на рис. 24, б. Последний много-угольник (для узла VI) строится для про-верки, так как все входящие в него силы уже найдены.
Из построенных многоугольников, зная масштаб, находим величины всех усилий. Знак усилия в каждом стержне опреде-ляется следующим образом. Мысленно вы-резав узел по сходящимся в нем стержням (например, узел III), прикладываем к обрезам стержней найденные силы (рис. 25); сила, направленная от узла ( на рис. 25), растягивает стержень, а си-ла, направленная к узлу ( и на рис. 25) сжимает его.
Рис.25
Соглас-но принятому условию растягивающим усилиям приписываем знак «+», а сжимающим - знак «-». В рассмотренном примере (pиc. 25) стержни 1, 2, 3, 6, 7, 9 сжаты, а стержни 5, 8 растянуты.
- продемонстрировать задание конфигурации и параметров фермы;
- показать заполнение таблицы панелей и выбор шаблона для каждой панели;
- познакомить студента с командой Упаковка ;
- научить студента задавать различные жесткостные характеристики стальных сечений;
- показать, как осуществляется поворот сечения.
Условие задачи
Для фермы (Рис. 5.3.1) длиной требуется:
N ;
Длина панели d = 5м. Высота фермы h = 2м, отметка конька H = 4м (Рис. 5.3.1). Сечения стержней фермы:
верхний пояс - тавр 20БТ * (Рис. 5.3.2, а );
нижний пояс - тавр 20БТ * , повернутый на 180 градусов (Рис. 5.3.2, б );
стойки и раскосы из двух неравнополочных уголков 75 х 50 х 8 (Рис. 5.3.2, в ). Материал фермы - сталь С235. Величина силы P = 2кН.
Рис. 5.3.1 Расчетная схема фермы
а ) б ) в )
Рис. 5.3.2 Поперечные сечения стержней фермы:
а ) верхний пояс; б ) нижний пояс; в ) стойки и раскосы
Методические указания
Создание расчетной схемы
1. Запуск программы. Пуск Программы Lira Soft Lira 10.4 LIRA 10.4x86 (LIRA 10.4x64).
2. В редакторе начальной загрузки «Новый проект» выберите Создать новый проект и задайте параметры проекта:
- имя – Задача 3;
- описание – Расчет плоских ферм;
- тип создаваемой задачи – (1) Плоская ферма или балка-стенка (X, Z). Нажмите кнопку Создать .
3. Создание геометрии расчетной схемы. Схема Добавить ферму(кнопка на панели инструментов) параметры шаблона.
- На панели активного режима выберите конфигурацию фермы по очертанию поясов – трапециевидная
.
- Задать параметры фермы:
Высота фермы (h) = 2 м;
Расстояние до конька (L) = 15 м;
Отметка конька (H) = 4 м;
Плоскость построения – XoZ.
· Заполните Таблицу панелей , указывая количество повторов. Всего панелей 6. Длина каждой панели 5м. Число повторов равно 1.
· Выделив первую строку таблицы, выберите шаблон с нисходящим раскосом. Далее работайте со второй строкой и т.д. Панели у данной фермы разные, поэтому для каждой нужно выбрать или задать свой шаблон. Выбор нужного шаблона определяется только конфигурацией решетки, т. к. углы наклона верхнего пояса были заданы очертанием решетки ранее.
. 
Панель 1 Панель 2 Панель 3
. 
Панель 4 Панель 5 Панель 6
· Щелкните по кнопке Использовать фрагмент.
· Затем с помощью курсора мыши необходимо созданный фрагмент добавить к расчетной схеме. Для этого курсор мыши подведите к пересечению точечных линий на сети построений (это точка (0;0;0) глобальной системы координат) и при возникновении значка подтвердите щелчком мыши точку вставки фрагмента схемы (Рис. 5.3.3).
Рис. 5.3.3 Фрагмент схемы
· Используя команду «Перемещения ». «Правка » - «Переместить выделенное » - использовать точки вставки. Выделяем узлы верхнего пояса по обе стороны конька и кликаем левой кнопкой мыши на координату, соответствующую по оси Z высоте фермы (Рис. 5.3.4.
Рис. 5.3.4 Перемещение узлов по оси Z
· Аналогично проводим подобную операцию для других узлов (Рис. 5.3.5).
Рис. 5.3.5 Перемещение узлов по оси Z
Рис. 5.3.6 Расчетная схема
4. Увеличение числа элементов сети. В левом нижнем углу экрана раскройте список около надписи «Сеть» и поставить вместо 10 элементов 30, т.к. длина нашей фермы 30 метров.
5. Вывод на экран номеров узлов и элементов. Вид Изменить атрибуты представления модели
· В панели активного режима Атрибуты представления в ветке Элементы установите флажок Номер ;
· После этого в ветке Узлы установите флажок Номер ;
· Уберите флажок с команды Использовать выделенные объекты ;
· Уберите флажок с команды Добавить префиксы к значениям.
· Щелкните по кнопке Назначить .
Те выделения (галочки), которые даются программой по умолчанию снимать не рекомендуется.
6. Упаковка схемы. Правка Упаковать модель (кнопка на панели инструментов). В диалоговом окне Упаковка модели щелкните по кнопке Упаковать. Эта команда осуществляет «сшивку» совпадающих элементов и узлов.
7. Выделение левого узла фермы, имеющего шарнирно-неподвижную опору. Выбор Выбрать объекты (кнопка на панели инструментов). После появления панели активного режима Параметры выбора объектов с помощью курсора выделите левый узел фермы. Узел окрасится в красный цвет. По умолчанию отметка узлов выполняется с помощью прямоугольной рамки. При движении рамки налево элементы и узлы выделяются полным попаданием либо касанием, а при движении рамки направо только полным попаданием.
8. Задание связей левому узлу фермы. Схема Назначить связи. На панели активного режима Назначить связи отметьте галочками запрещенные перемещения в направлении осей X и Z . Щелкните по кнопке Закрепить . .
9. Выделение правого узла балки, имеющего шарнирно-подвижную опору. Для вызова панели активного режима Параметры выбора объекта одновременно нажмите клавиши Ctlr и Shift . Не отпуская их, курсором выделите правый узел балки (узел окрасится в красный цвет).
10. Задание связей правому узлу фермы. Схема Назначить связи. На панели активного режима «Назначить связи » отметьте галочкой запрещенные перемещения в направлении оси Z . Щелкните по кнопке «Закрепить» . Красный цвет у узла исчезнет. Под узлом будут изображаться связи, запрещающие линейные перемещения .
11. Задание сечений. (кнопка на панели инструментов).
Рис. 5.3.7 Задание сечений/жесткостей
На панели для задания геометрических размеров в описании занесите Стержни нижнего пояса . Разверните тавр на 180 градусов .
- Из категории Стальные сечения выберите тип сечения Шаблоны составных сечений Спаренные сечения. Для задания базового профиля надо щелкнуть по изображению двутавра в середине окна активного режима и в раскрывающемся списке выбрать уголок неравнополочный.
В описании занесите Раскосы и стойки . Задайте профиль 75x50x8 .
· Для просмотра исходных данных любого сечения сделайте его активным в списке сечений.
· Для выхода из Редактора сечений/жесткостей щелкните мышкой по вкладке Главный вид .
12. Задание материала. Редакторы Редактор материалов (кнопка на панели инструментов).
· Для выхода из Редактора материалов щелкните мышкой по вкладке Главный вид .
13. Назначение сечений и материалов элементам расчетной схемы. Конструирование Назначить сечение ,материал и параметры конструирования (кнопка на панели инструментов).
· На панели активного режима Назначить жесткости в Параметрах назначения укажите радио-кнопкой Использовать сечение и материал.
Выделение элементов верхнего пояса. Нажмите одновременно на кнопки Ctlr и Shift . Большим резиновым окном, двигаясь слева направо, выделите элементы верхнего пояса фермы.
На панели активного режима Назначить жесткости выберите и нажмите на кнопку Назначить .
Аналогично выделите элементы нижнего пояса, выберите и назначьте.
Для выбора раскосов и ферм сначала выделите все стержни фермы, затем повторным выделением стержней верхнего и нижнего пояса фермы снимите с них выделение. Выделенными останутся раскосы и стойки.
Назначьте им сечение . Материал для всех стержней остается одинаковым. Его изменять не надо.
14. Формирование загружений. Редакторы Редактор загружений (кнопка н а панели инструментов).
· На панели активного режима щелкните по закладке Добавить загружение и в раскрывающемся списке выберите Статическое загружение .
· Для выхода из вкладки Редактор загружений щелкните мышкой по вкладке Главный вид .
15. Назначение нагрузок. Схема Назначить нагрузки (кнопка на панели инструментов).
- Выделение крайних верхних узлов фермы. Нажмите одновременно на кнопки Ctlr и Shift . Резиновым окном, двигаясь слева направо, выделите сначала левый, потом правый верхние узлы фермы.
· В панели активного режима Добавление нагрузок кликните на выпадающей список Библиотека нагрузок Нагрузки на узел Сосредоточенная сила (по умолчанию указана система координат Глобальная , направление – вдоль оси Z ).
· В панели Сосредоточенная сила задайте величину силы Р = 1 кН .
· Аналогично выделите 5 средних верхних узлов фермы и задайте величину силы Р = 2 кН .
16. Статический расчет. Расчет Выполнить расчет (кнопка на панели инструментов).
· Переход в режим результатов расчета можно осуществить с помощью меню Расчет Результаты расчета (кнопка на панели инструментов).
· В режиме просмотра результатов расчета по умолчанию расчетная схема отображается не деформированной.
Оформление отчета
17. Приведите в отчете расчетную схему фермы с номерами узлов и элементов.
18. Покажите поперечные сечения.
19. Представьте исходные данные в отчете.
20. Просмотр схемы деформирования. Результаты Деформированная схема (Рис. 5.3.8).
- Обратите внимание на горизонтальное перемещение правого опорного узла.
· Верните исходную схему. Результаты Исходная схема.
Рис. 5.3.8 Деформированная схема
21. Выведите на экран и приведите в отчете эпюру продольных сил N .
· Результаты Результаты по стержням (кнопка на панели инструментов) Эпюра N . Щелкните по полю экрана правой кнопкой мыши и в контекстном меню выберите Визуальное представление Мозаика (Рис. 5.3.9).
Рис. 5.3.9 Мозаика продольных сил
22. Формирование и просмотр таблиц результатов расчета. Результаты Таблицы результатов (кнопка на панели инструментов);
- Выделение элементов рассчитываемой панели. Нажмите одновременно на кнопки Ctlr и Shift . Большим резиновым окном, двигаясь слева направо, выделите 5 элементов исследуемой панели.
· В боковой панели Формирования таблиц выделите название таблицы Усилия в стержневых элементах (указав для выделенных элементов) и нажмите на кнопку Сформировать.
· Полученная таблица Усилия в стержневых элементах отобразится в нижней части экрана.
· Выпишите значения усилий в стержнях исследуемой панели и занесите их в отчет.
· Для каждого элемента значения продольной силы даются для трех сечений.
· Значение продольной силы в сечении можно увидеть, щелкнув курсором по элементу.
23. Рядом приведите значения продольных сил в заданной панели, вычисленные в контрольной работе по строительной механике. Сравните результаты численного и аналитического расчета.
24. Аналитически рассчитайте и занесите в отчет значение нормального напряжения в любом стержне фермы, разделив величину продольной силы на площадь поперечного сечения . Чтобы найти площадь поперечного сечения вызовите: Редакторы Редактор сечений/жесткостей (кнопка на панели инструментов). Выделите в списке нужное сечение и в правой части экрана Вы увидите его геометрические характеристики.
Самостоятельная работа к заданию 3. Расчет плоской фермы
Для фермы (Рис. 5.3.10) требуется:
1. выполнить расчет фермы на статические нагрузки;
2. вывести на экран деформированную схему фермы;
3. вывести на экран мозаику продольных сил N ;
4. определить продольные силы в стержнях второй панели;
5. определить напряжение в любом стержне фермы аналитически.
Длина панели d= 3м. Высота фермы h = 3 м (Рис. 5.3.10). Сечения стержней фермы:
верхний пояс - из двух неравнополочных уголков 100 х 65 х 10 (Рис. 5.3.11, а );
нижний пояс - из двух неравнополочных уголков 160 х 10 х 10 (Рис. 5.3.11, б );
стойки и раскосы из двух неравнополочных уголков 75 х 50 х 8 (Рис. 5.3.11, в). Материал фермы - сталь С245. Величина силы P = 1.8кН.
Задача С2
Плоская ферма, расположенная в вертикальной плоскости, закреплена в точках А и В , причём в одной из них шарнирно-неподвижно, а в другой опирается на подвижный шарнир (рис. 0 – 9). К ферме приложена наклонная сила , для которой модуль и угол указаны в таблице С2, горизонтальная сила и вертикальная ; в расчётах принять Q = 5 кН, Р = 20 кН, a =3 м.
Определить опорные реакции в точках А и В , усилия в стержнях 1, 2, 3, 4 методом вырезания узлов, а в стержнях 5, 6, 7 – методом сквозных сечений (Риттера).
Указания. Задача С2 – на расчёт плоской фермы, который сводится к определению опорных реакций и усилий в её стержнях. Опорные реакции можно найти обычными методами статики из 3-х уравнений равновесия, рассматривая ферму в целом как твёрдое тело.
При определении усилий в стержнях методом вырезания узлов мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы, реакции самих стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу: , . Условно предполагают, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней направлены от узлов. Если в результате вычислений получен ответ со знаком минус, то это значит, что соответствующий стержень сжат. Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием: число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия, т.е. двух.
Методом Риттера удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчётов. Для определения усилия в каком-нибудь стержне ферму рассекают на две части сечением, проходящем через три стержня, в том числе и через тот, в котором определяется усилие. Одну из частей вместе с приложенными к ней силами мысленно отбрасывают, а её действие заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней в сторону отброшенной части. Затем составляют уравнения моментов сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, относительно точки пересечения двух рассечённых стержней, усилия в которых на данном этапе не определяются. Эта точка пересечения называется точкой Риттера. Если точка Риттера находится в бесконечности, т.е. стержни параллельны, то составляют уравнение суммы проекций сил, приложенных к рассматриваемой части фермы, на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.
Пример С2. Схема фермы, все действующие нагрузки и размеры показаны на рис. С2.1.
Дано: Р =10 кН, F =30 кН.
Определить опорные реакции и усилия в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов, 5 – 7 – методом сквозных сечений.
Решение. При определении опорных реакций ферма рассматривается как твёрдое тело. Опоры в узлах А и В мысленно отбрасываются и заменяются соответствующими реакциями: составляющие в узле А , в узле В (рис. С2.2).
Составляются три уравнения равновесия:
Из первого уравнения Х А =
5 кН, из третьего 
кН, из второго кН; знак «–» показывает, что истинное направление противоположно изображённому на рис. С2.2.
Проверка:
При определении усилий в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов сначала мысленно вырезается узел D (в нём сходятся два стержня, усилия в которых неизвестны), и изображаются все приложенные к нему силы и реакции (рис. С2.3).
Рис. С2.3 Рис. С2.4
По геометрическим размерам фермы (рис. С.2.5) 
, следовательно, 
, 
. Уравнения равновесия имеют вид
кН.
кН.
Затем вырезается узел А
(рис. С2.4), здесь неизвестны усилия ; 
При определении усилий в стержнях 5 – 7 методом Риттера ферма рассекается по этим трём стержням на две части. Одна из частей вместе с приложенными к ней нагрузками мысленно отбрасывается, а её действие на оставшуюся часть заменяется усилиями , которые направлены вдоль соответствующих стержней в сторону отброшенной части (рис. С2.5).
Для определения составляется уравнение моментов от сил, приложенных к оставшейся части фермы, относительно точки пересечения двух остальных разрезанных стержней (точка L ).
Для определения составляется уравнение моментов относительно точки N .
Фермой называется геометрически неизменная шарнирно-стержневая конструкция.
Ферма называется плоской, если все стержни фермы лежат в одной плоскости.
Определенность или устойчивость фермы отображает зависимость количества узлов и стержней фермы:
Ферма определена, устойчивая
K = 2N - 3 ;
Ферма является неопределенной, имеет лишние стержни
K > 2N - 3 ;
Ферма неустойчивая и является механизмом
K < 2N - 3 .
При расчете фермы трением в узлах и весом стрежней пренебрегают, или распределяют вес стержней по узлам.
Все внешние нагрузки (силы) к ферме прикладывают только в узлах, поэтому все стержни фермы испытывают или сжатие, или растяжение.
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.
Для определения реакций опор составляют и решают три уравнение равновесия, считая ферму абсолютно твердым телом под действием известных внешних нагрузок (активных сил) и неизвестных реакций опор (реактивных сил).
Для определения усилий в стержнях ферм существует 2 метода.
Метод вырезания узлов
Метод вырезывания узлов заключается в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывая к ним соответствующие внешние силы, реакций опор и реакции стрежней, и составляют уравнение равновесия сил, приложенных к каждому узлу.
Вырезается узел с 2-мя неизвестными усилиями, так как в каждом узле составляется сходящаяся система сил, соответственно, составляют два уравнение равновесия
Условно допускают, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней направлены от узлов.
Метод Риттера
Метод Риттера заключается в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стрежня, в которых нужно определить усилия, и рассматривают равновесие одной из частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, которые направляют вдоль разрезанных стержней от узлов.
Потом составляют уравнение равновесия для плоской произвольной системы сил
Точка Риттера (центр моментов) – это такая точка для каждого с трех рассеченных стрежней, в которой пересекаются два других стержня данного сечения, например точка К – точка Риттера для определения усилия в стержне 6.
Относительно точки Риттера составляют уравнение суммы моментов выбранной части фермы.
В случае, если стержни не имеют точки пересечения, т.е. являются параллельными, составляется уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил выбранной части фермы на ось, перпендикулярную этим стержням.
Плоская ферма опирается на неподвижный и подвижный шарниры. К узлам фермы приложены нагрузки. [1 ]
Плоская ферма опирается на неподвижный и подвижный шарниры. К узлам фермы приложены две вертикальные нагрузки Р и две наклонные - Q и F. Размеры даны в метрах. [2 ]
Плоские фермы, имеющие три связи с фундаментом и отвечающие условиям жесткого закрепления, называются внешне статически определимыми. Если отбросить опорные связи и заменить их действие силами, равными по значению усилиям, возникающим в этих связях при действии внешней нагрузки, то равновесие фермы не нарушится и мы получим ферму, находящуюся в равновесии под действием внешних сил и трех неизвестных усилий в отброшенных связях - так называемых реакций связей. [3 ]
Плоские фермы, образованные добавлением к базовому треугольнику 1 - 2 - 3 (рис. 3.16) каждого из последующих треугольников присоединением двух не лежащих на одной прямой стержней и одного узла, называются простыми фермами. Они обладают свойством геометрической неизменяемости, и для них условие (3.29) оказывается необходимым и достаточным. [4 ]
Плоская ферма, показанная на рисунке, имеет в узлах шарниры без трения и опирается в А и С. Стержни АВ, ВС, DE имеют одну и ту же длину и абсолютно жестки. Четыре наклонных элемента одинаковы как по длине, так и по упругим свойствам. [5 ]
Плоская ферма, имеющая форму правильного многоугольника с Af сторонами, связана радиальными стержнями. Радиальные стержни соединяют центр с каждым из узлов. [6 ]
Сквозная плоская ферма имеет малую горизонтальную жесткость из плоскости и поэтому приобретает устойчивость только в пространственно-жестком блоке с другой фермой. [7 ]
Плоские фермы конструкций стальных опор линий электропередачи, как правило, являются простейшими фермами или образованными наложением двух простейших ферм друг на друга. [8 ]
Простейшей плоской фермой является трехстержневая ферма ABC, изображенная на рис. 5.24, а; она содержит три узла. Добавляя этим же способом новые узлы, как показано на рис. 5.24, б штриховой линией, можно образовать множество более сложных ферм. [9 ]
Простой плоской фермой называется такая ферма, которая может быть получена из треугольной путем последовательного присоединения каждого нового узла при помощи двух новых стержней. [10 ]
Стержневой плоской фермой называется система, образованная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом в определенной последовательности шарнирами, расположенными по концам стержней. При соединении стержней такими шарнирами и воздействии нагрузок, приложенных в узлах, в стержнях возникают только осевые усилия - растягивающие или сжимающие. [11 ]
Стержни плоской фермы, расположенные по ее верхнему контуру, называются верхним поясом, расположенные по нижнему контуру-нижним поясом. [12 ]
Для плоских ферм Л С - 2У 3, если ферма прикрепленная, и Л С - 2У, если ферма свободная. [13 ]
При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т.п.) и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции, называемые фермами.
Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами.
Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней пренебрегают. Стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней m и число узлов n связаны соотношением
m = 2n -3.
Если m> 2n- 3, то ферма статически неопределимая;
если m< 2m- 3, конструкция перестает быть геометрически неизменяемой, получает подвижность (становится механизмом).
Расчет ферм сводится к определению опорных реакция и усилий в ее стержнях.
Опорные реакции находят обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело.
Усилия в стержнях можно определить двумя методами.
Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом узле.
При решении задач методом вырезания узлов рекомендуется такая последовательность действий:
2. Вырезать узел, в котором сходятся два стержня, и, рассматривая его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанных стержней; определить эти реакции из двух уравнений проекций сил, приложенных к узлу, на декартовы оси координат;
3. Переходя от узла к узлу, рассматривать аналогично равновесие каждого узла; при этом в каждом узле должно быть только два неизвестных усилия в стержнях.
Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно воспользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т.е. считая стержни растянутыми. Затем составляют уравнения равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.
1. Определить реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматривая её как твердое тело;
2. Разрезать мысленно ферму, к которой приложены все внешние силы, на две части так, чтобы число разрезанных стержней не превышало трех, и заменить действие отброшенной части искомыми усилиями стержней, полагая, все стержни растянутыми;
3. Составить уравнения равновесия для части фермы так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие. Для этого нужно составить уравнение моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестных усилий; или, если два стержня параллельны, то можно составить уравнение проекций на ось, перпендикулярную этим стержням, в которое также войдет одно неизвестное усилие;
4. Решая каждое из составленных уравнений, найти искомые усилия в стержнях; если в ответе получается знак «минус», то это означает, что стержень сжат, а не растянут.
ЗАДАЧА С2
Определить реакции опор фермы от заданной нагрузки, а также усилия в стержнях методом вырезания узлов и методом сечений. Схемы ферм показаны на рис. С2.0 – С2.2. Необходимые для расчета данные приведены в табл. С2.
Таблица С2
| Силы | h 1 , м | h 2 , м | Номера стержней | |||
| Номерусловия | Р 1 = 5кН | Р 2 = 10 кН | Р 3 = 15 кН | |||
| Точка приложения силы | ||||||
| К | С | М | 4, 5, 6 | |||
| Е | М | С | 8, 9, 10 | |||
| К | С | М | 4, 5, 6 | |||
| Е | М | С | 8, 9, 10 | |||
| К | С | М | 4, 5, 6 | |||
| Е | М | С | 8, 9, 10 | |||
| К | С | М | 4, 5, 6 | |||
| Е | М | С | 8, 9, 10 | |||
| К | С | М | 4, 5, 6 | |||
| Е | М | С | 8, 9, 10 |
 |
|||
 |
Пример С2. Для фермы, изображенной на рис. С2, определить реакции опор, а также усилия в стержнях 4, 5 6 методом вырезания узлов и методом сечений, если Р 1 = 5 кН , Р 2 = 10 кН , Р 3 = 15 кН , h 1 = h 2 = 3 м.