a i , j

Определители

det(2A )= det(2E ) detA = 0 2 0 (− 2)= 23 (− 2)= − 16 . 0 0 2

(d) Аналогично,

det(− 3A )= det(− 3E ) detA = (− 3)3 (− 2)= 54.

(e) Сначала найдем матрицу (A − 2E ) , а затем ее определитель:

− 1 5

A − 2 E=

−1

−3

det(A − 2E )= 0 (− 1) (− 3)= 0 .

2.4. Вычисление определителей

Здесь мы рассмотрим два метода вычисления определителей. Суть одного из них заключается в разложении определителя по элементам строки или столбца, в результате чего исходный определитель n -го порядка выражается черезn определителей меньшего порядка. Другой метод основывается на свойствах определителей и связан с преобразованием определителя к более простому виду. Комбинация двух методов дает наиболее эффективный путь вычисления определителей.

2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Предварительно введем некоторые важные для последующего изложения понятия.

Рассмотрим квадратную матрицу n- го порядка. Выберем i,j -ый элемент этой матрицы и вычеркнем i -ую строку и j -ый столбец. В результате

мы получаем матрицу (n –1)-го порядка, определитель которой называетсяминором элементаa i , j и обозначается символомM i , j .

Определители

Алгебраическое дополнение A i , j элементаa i , j определяется формулой

A i, j= (− 1) i + j M i, j.

Нетрудно заметить, что алгебраическое дополнение i,j -го элемента совпадает с минором этого элемента, если сумма индексов, нумерующих строку и столбец элемента, является четным числом. Для нечетных значенийi+j алгебраическое дополнение отличается от минора только знаком.

Теорема о разложении определителя по элементам строки.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

det A = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n =

= ∑ a i, jA i, j j= 1

Доказательство : По определению, определитель матрицыA представляет собой сумму

det A =	∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,k i K a n ,k n (− 1) P { k 1 , k 2 , K , k n }
	{k 1 ,k 2 ,K k i ,K k n }

по все возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы. Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с

номером i . Один из элементов этой строки представлен в каждом произведенииa 1, k 1 a 2, k 2 K a i , k i K a n , k n . Поэтому слагаемые суммы (*)

можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a i ,1 в качестве общего множителя, во вторую группу – члены,

Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов a i , j (j = 1,2,L ,n ),

Определители

		∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,j K a n ,k n (− 1) P { k 1 , k 2 , K , k n } =
det A = ∑
j = 1{ k1 , k2 , K j, K kn }
		∑ a 1, k1 a 2, k2 K a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 a n, kn (− 1) P { k 1 , k 2 , K , k n } =
= ∑ a i , j
j = 1		{k 1 ,k 2 ,K j ,K k n }
= ∑ a i ,j A i ,j = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n ,
j = 1
	∑ a 1, k1 a 2, k2 L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K a n, kn (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , j , k i + 1 , L , k n ) .
A i, j=
{k 1 ,L ,k i − 1 ,k i = j ,k i + 1 ,L ,k n }
Покажем, что		A i , j представляет собой алгебраическое	дополнение
элемента a i , j .
Рассмотрим четность перестановки { k 1 , L , k i − 1 , j , k i + 1 , L , k n } .
Во-первых,	требуется i –1 транспозиций элементаj с		соседними

элементами, чтобы получить перестановку { j , k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n } .

Во-вторых, в полученной перестановке, элементj образует j –1 инверсий с другими элементами.

Следовательно,

(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,j ,k i + 1 ,L ,k n )= (− 1) i − 1+ j − 1(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,k i + 1 ,L ,k n )=

= (− 1) i+ j(− 1) P(k1 , L , ki − 1 , ki + 1 , L , kn )

∑ L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n ) = M i, j{ k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n }

представляет собой минор элемента a i , j .

Таким образом, A i , j = (− 1) i + j M i , j , что и требовалось доказать.

Поскольку det A = det A T , то тем самым справедлива и следующая

Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

det A = a 1,j A 1,j + a 2,j A 2,j +K+ a n ,j A n ,j

= ∑ a i, jA i, j

i = 1

Определители

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливает, что проблема вычисления определителя n- го порядка сводится к проблеме вычисленияn определителей (n –1)-го порядка.

Примерs:

1) Вычислить определитель произвольной матрицы A = ||a ij || третьего

порядка разложением по элементам

(i) первой строки;

(ii) второго столбца.

Решение:

−a

det A =

A 11(a 22a 33− a 23a 32) − a 12(a 21a 33− a 23a 31) + a 13(a 21a 32− a 22a 31)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31,

−a

det A =

= −a

= − a 12(a 12a 33− a 23a 31) + a 22(a 11a 33− a 13a 31) − a 32(a 11a 23− a 13a 21)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31.

Результаты, полученные различными методами, идентичны.

Вычислить определитель

−5

разложением по элементам

−3

(i) первой строки,

(ii) второго столбца.

Решение:

Разложение определителя по элементам первой строки дает

−5

− (− 5)

−3

−3

− 3 7

2 4 5 + 5 1 5+ 3(7+ 12)= 122.

(ii) Тот же самый результат получается при разложении определителя по элементам второго столбца:

Определители

	−5
			= −(−5)					−7
−3				−3			− 3 5

5(5 + 0)+ 4 (10+ 9)− 7(0− 3)= 122.

2.4.2. Вычисление определителей методом элементарных

преобразований

Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции.

С учетом равноправия строк и столбцов определителя подобные операции в полной мере применимы к столбцам.

Идея метода заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк и столбцов привести определитель к треугольному виду, что решает проблему его вычисления.

Можно поступать и несколько иначе: с помощью элементарных преобразований получить строку (или столбец), содержащую только один ненулевой элемент, и затем разложить полученный определитель по элементам этой строки (столбца). Подобная процедура понижает порядок определителя на одну единицу.

Примеры.

−4

−3

Вычислить det A , приведя матрицу к

1) Пусть A =

r 2+ 3 r 3

−3

↔r 3

→r 3

−8

−5

Определитель матрицы треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов:

det A = − 1 8 9= − 72 . 2) Вычислить определитель матрицы

			−2
				−1

Решение : Сначала преобразуем первую строку с помощью элементарных операций над столбцами, стремясь получить в ней максимально возможное число нулей. С этой целью вычтем из второго столбца пятый столбец, предварительно умноженный на 5, а к третьему столбцу прибавим удвоенный второй столбец:

− 2 0

c → c− 5 c

−1

→c 2

2 c 1

− 14

−1

det A =

− 35

− 15

Теперь разложим определитель по элементам первой строки:

det A =		− 14		−1
		− 35
		− 15

Лекция 1.

Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n -го порядка.

Определение 1.1 . Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения:А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение 1.2 . Числа m и n называются размерностями матрицы.

Определение 1.3. Матрица называется квадратной , если m = n . Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

1. 2.

Определение 1.5 . Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Примеры.

2.

Определение1. 6 . Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А` , называемая транспонированной по отношению к матрице А , элементы которой связаны с элементами А соотношением a ` ij = a ji .

Основные свойства определителей.

Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Доказательство.

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2 . При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

.

Доказательство.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Доказательство.

Свойство 5 . Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

Свойство 6 . При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Доказательство.

Свойство 7.

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство следует из свойств 7 и 5.

Разложение определителя по строке.

Определение1. 7 . Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

Пример. Для

Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i + j есть число четное, или число, противоположное минору, если i + j нечетно, т.е.

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

Теорема 1.1 . Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

где i =1,2,3.

Доказательство.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Тогда

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя. полученных r попарными перестановками элементов из множества1,2,…, n .

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n -го порядка.

Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

1. Построим уравнения степенной нелинейной регрессии вида для пар переменных y, x.

Нахождение модели парной регрессии сводится к оценке уравнения в целом и по параметрам (b0, b1). Для оценки параметров однофакторной модели используют метод наименьших квадратов (МНК). В МНК получается, что сумма квадратов отклонений фактических значений показателя у от теоретических ух минимальна

Сущность нелинейных уравнений заключается в приведении их к линейному виду и как при линейных уравнениях решается система относительно коэффициентов b0 и b1.

Рисунок 3 Линия регрессии на корреляционном поле. Ось ординат - значения y(Производительность труда), ось абсцисс -значения x (Удельный вес рабочих в составе ППП)

Рисунок 4 Линия регрессии на корреляционном поле. Ось ординат - значения y(степ.функция), ось абсцисс -значения x (Удельный вес рабочих в составе ППП)

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Полученное значение между 20% и 50%, что свидетельствует о существенности удовлетворительного отклонения расчетных данных от фактических, по которым построена эконометрическая модель.

Исследование статистической значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера. Расчетное значение критерия находится по формуле:

Для парного уравнения p = 1.

Табличное (теоретическое) значение критерия находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости по уровню значимости б и двум числам степеней свободы k1 = p = 1 и k2 = n - p - 1 = 51.

Если Fрасч

то гипотеза принимается, а уравнение линейной регрессии в целом считается статистически незначимым (с вероятностью ошибки 5%).Для уравнения Fрасч = 0,01609). Неравенство выполняется. Уравнение в целом статистически незначимо.

Теснота нелинейной корреляционной связи определяется с помощью корреляционных отношений (индекс корреляции).

Экономическая интерпретация коэффициентов регрессии в целом является завершающим этапом эконометрического моделирования на основе совокупности исходных данных. В данном случае экономическая интерпретация - это объяснение смысла, содержания полученных коэффициентов регрессии. На экономическую интерпретацию коэффициентов регрессии оказывают влияние такие факторы, как сфера экономики, для которой строится эконометрическая модель, количество исходных данных (объем совокупности) для анализа изучаемого явления и т.п. Одним из важнейших факторов интерпретации коэффициентов регрессии является вид полученной модели.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Коэффициент множественной регрессии bj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y , если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом.

Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора: V < V. и наоборот.

В линейной множественной регрессии коэффициенты при хi характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменных значениях других факторов, закреплённых на среднем уровне.

При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функция потребления Сt имеет вид Сt = b0 + b1* Rt + b2* Rt-1 +epsilont, то потребление за t-й период времени зависит от дохода того же периода Rt и от дохода предшествующего периода Rt-1. Соответственно, коэффициент b1 характеризует эффект от единичного возрастания дохода Rt при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b1 обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на величину b = b1+b2. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная предельная склонность к потреблению.

Уравнение парной степенной модели имеет вид: у = а х^b

В уравнении парной степенной регрессии параметр b показывает: на сколько процентов изменится результативный показатель, при изменении фактора на /%, то есть является коэффициентом эластичности. Знак при коэффициенте регрессии указывает направление связи между фактором и результативным показателем: если Ь>0, следовательно, связь прямая и с увеличением значения фактора (х) возрастает и значение результативного показателя (у); если Ь<0, следовательно, связь обратная и с увеличением значения фактора (х) снижается значение результативного показателя.Таким образом, при увеличении расходов на конечное потребление на 1 %, в среднем доля расходов на питание снижается на 0,5.

Таким образом, получили, что показатели степени при переменных в мультипликативной степенной модели являются соответствующими коэффициентами эластичности. Это важное свойство степенных моделей.