Цель работы: Получить зависимость между деформацией и напряжением при деформациях растяжения и сжатия. Определить модуль Юнга для стали.
Приборы и материалы: Прибор для изучения, деформации растяжения, состоящий из рамы, линейки, дисков известной массы, микрометр, индикаторы линейных перемещений, установка Ф3ПА, штангенциркуль.
Деформацией твердого тела называется изменение размеров и формы тела или его частей. Деформация может быть следствием теплового расширения, воздействия электрических или магнитных полей, внешних механических сил. Деформация называется упругой, если она исчезает полностью после снятия нагрузки и пластической, если после снятия нагрузки она не исчезает. Строго говоря, абсолютно упругих тел не существует, но при определенных условиях величиной остаточных деформаций можно пренебречь. Твердые тела с хорошей точностью можно считать упругими, пока деформация не превышает некоторого предела, который называется пределом упругости.
При деформации твердого тела внутри него возникают силы, которые называются силами упругости. Мерой сил упругости служит напряжение
s=dF/dS ,
где dF - результирующая сила упругости, действующая на элементарную площадку dS . Если сила dF направлена перпендикулярно к площадке, то напряжение называется нормальным, если сила параллельна площадке, то напряжение называется касательным.
Простейшим видом деформации является растяжение или сжатие тела. Рассмотрим деформацию растяжения однородной проволоки под действием внешней силы, направленной вдоль ее оси. Напряжение, которое возникает при такой деформаций, является нормальным и однородным, т. е. имеет одинаковое значение по всему сечению проволоки. Поэтому
Величина внутренних сил F при однородной деформации растяжения (сжатия) равна приложенной внешней силе.
Пусть начальная длина проволоки l о, а длина ее после деформации l, тогда удлинение проволоки Dl = l – l 0 . Величина e=Dl/l о называется относительной деформацией растяжения.
Опытным путем установлено, что напряжение, возникающее в упруго деформируемом теле при однородной деформации, прямо пропорционально величине относительной деформации
Записанное соотношение выражает закон Гука.
Закон Гука выполняется только при малых деформациях, когда их величина не превышает предела упругости. При пластической деформации закон Гука не имеет места.
Коэффициент пропорциональности Е называется модулем продольной упругости или модулем Юнга.
Модуль Юнга является одной из важнейших механических характеристик твердого тела и определяет его способность сопротивляться внешним механическим воздействиям.
Измерение модуля Юнга можно проводить прямым методом, измеряя растяжение или сжатие тела, либо из измерения деформации изгиба.
Установка (рис. 4) состоит из основания 1, двух вертикальных стоек 2, двух перекладин: верхней 3 и нижней 4. Исследуемая проволока крепится к верхней перекладине и проходит через отверстие в нижней перекладине. К проволоке жестко прикреплены две горизонтальные площадки А и В. При растяжении проволоки площадки перемещаются вместе с ней. На перекладинах укреплены индикаторы линейных перемещений 6 и 7, стержни которых упираются в площадки А и В. При деформации проволоки индикаторы фиксируют перемещение площадок А и В, поэтому разность их показаний равна удлинению участка проволоки АВ, который является рабочим участком. Использование двух индикаторов позволяет исключить из результата измерений деформацию проволоки в месте ее закрепления.
Внизу к проволоке прикреплена платформа 8, которая нагружается дисками известной массы. На приборе укреплена миллиметровая линейка, с помощью которой определяется длина проволоки.
1. Определение модуля Юнга методом растяжения
1. Микрометром несколько раз измерить диаметр проволоки d в различных местах. Результаты занести в таблицу 1.
Таблица 1
2. Измерить длину рабочего участка проволоки l o . Нагружая платформу дисками, снять показания индикаторов a 1 и a 2 и массу дисков т , те же измерения провести при разгружении платформы.
Результаты измерений занести в таблицу 2.
Таблица 2
3. Заполнить таблицу 1 в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. Доверительную вероятность принять равной Р =0,67, в этом случае коэффициент Стьюдента t = l. Доверительный интервал Dd рассчитать по формуле
где q d - погрешность микрометра.
По среднему значению диаметра найти площадь сечения проволоки S.
4. Для каждой строки таблицы 2 рассчитать суммарную массу дисков М, растягивающих проволоку; напряжение s = Mg/S; удлинение проволоки при нагружении и разгружении Dl =a i -a z ; относительную деформацию e= D1 /1 о .
5. Построить на миллиметровой бумаге график зависимости s от e .
Найти модуль Юнга Е , как тангенс угла наклона графика к оси абсцисс
Е =Ds /De .
6. Определить относительную погрешность измерения модуля Юнга:
где S e - среднее квадратическое отклонение модуля Юнга по случайному разбросу точек; q 1 -погрешность линейки.
Цель работы: экспериментальное определение модулей упругости пластин, изготовленных из различных материалов, методом изгиба.
Приборы и принадлежности: установка «Модуль Юнга», пластины, набор грузов массой 0.05 кг, 0.1 кг и 0.15 кг.
Элементы теории и метод эксперимента
В различных элементах конструкций и машин часто возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия.
Английский ученый XVII века Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между силами и вызываемыми ими перемещениями, устанавливающую прямопропорциональную зависимость удлинения образца от растягивающей силы.
Английский ученый XIX века Томас Юнг впервые высказал идею о том, что для каждого материала существует постоянная величина, характеризующая его способность сопротивляться воздействию внешних нагрузок. Понятие об этой величине, названной им «модулем упругости» (позднее «модулем Юнга»), было сформулировано в 1807 г. в труде «Натуральная философия».
Модуль упругости характеризует важнейшее свойство конструкционного материала – жесткость – и является фундаментальным понятием, без которого не обходится ни один инженерный расчет элементов конструкций и сооружений. На рис. 1 изображен стержень с прямолинейной осью под действием продольных сил N, где
σ – нормальное напряжение,
A – площадь поперечного сечения стержня.
Рис. 1. Продольные и поперечные деформации стержня
При действии продольных сил стержень деформируется. Если он растянут, то длина его увеличивается и становится равной L +∆ L , где ∆ L – это абсолютная продольная деформация (удлинение) стержня. Поперечные размеры его уменьшаются и принимают значения H –∆ H и B –∆ B , где ∆ H и ∆ B – это абсолютные поперечные деформации стержня.
Отношение абсолютной продольной деформации стержня к его первоначальной длине называется относительной продольной деформацией:
Отношение абсолютной поперечной деформации стержня к его первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией:
Здесь знак «+» у деформации и знак «–» у деформаций и поставлены потому, что при растяжении продольные размеры стержня увеличиваются, а поперечные уменьшаются.
Последний шаг в формировании закона Гука в его современном виде сделали французский математик Коши, который в 1822 г. ввел в научную литературу понятия «напряжение» и «деформация», и французский ученый Навье, который в 1826 г. дал определение модуля упругости как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению
Где E – модуль Юнга (модуль упругости первого рода).
Таким образом, закон Гука получил практическое применение в виде формулы
Модуль упругости E является физической постоянной материала и определяется экспериментально. Его величина выражается в тех же единицах, что и напряжения σ, т. е. в паскалях (Па), так как ε – безразмерная величина. Модуль упругости большинства материалов имеет большие числовые значения и его обычно выражают в гигапаскалях (ГПа).
Абсолютное значение отношения относительной поперечной деформации и относительной продольной деформации при растяжении или сжатии в области действия закона Гука называется коэффициентом Пуассона
Это безразмерный коэффициент, характеризующий свойства материала и определяемый экспериментально. Он носит имя французского ученого, который впервые ввел его в теорию.
После приложения к телу внешней нагрузки его точки перемещаются. Обычно величины упругих перемещений считаются малыми по сравнению с геометрическими размерами деформируемых тел. Рассмотрим эти перемещения на примере консольной балки длиной L с односторонней внешней заделкой, изображенной на рис. 2. К свободному концу балки приложена сосредоточенная сила F , которая и вызывает деформации ее точек. Прогиб балки в текущем сечении обозначим δ . Выделим элемент объема балки длиной Dz , находящейся на расстоянии Z от закрепленного конца.
Рис. 2. Изгиб консольной балки
Деформированное состояние в текущем сечении балки описывается радиусом кривизны или кривизной ее изогнутой оси .
Известно , что уравнение изогнутой оси балки имеет вид:
Где IX – осевой момент инерции сечения балки относительно оси Ox . Произведение EIX называется жесткостью сечения при изгибе относительно соответствующей оси.
На рис. 3 изображено произвольное сечение, представляющее собой плоскую геометрическую фигуру, площадь которой A . Выделим на ней элементарную площадь DA .
Определим момент инерции прямоугольного сечения относительно осей СX и СY , проходящих через его центр, как это показано на рис. 4.
Разделим площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами B и Dy , площадь которых . Подставляя значение в выражение (9) и интегрируя, получаем:
Аналогично
Рассмотрим балку длиной L , установленную на двух опорах и нагруженную, как это изображено на рис. 5.
Решение дифференциального уравнения (8) можно получить последовательным интегрированием. Когда внешняя нагрузка расположена симметрично относительно опор, как показано на рис. 5, то решение этого уравнения примет вид:
Поэтому модуль Юнга определяется формулой
С учетом выражения (10) получим
Следовательно, определив нагрузку F и значение прогиба δ для балки (пластины) длиной L с поперечными размерами сечения B и H , по формуле (14) можно вычислить модуль Юнга материала, из которого она изготовлена.
Описание экспериментальной установки
Схематичное изображение установки «Модуль Юнга» приведено на рис. 6.
Установка «Модуль Юнга» состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2. На стойке расположен кронштейн 3 с двумя призматическими опорами 4. На опоры устанавливается исследуемый образец 5 (пластина). С помощью устройства нагружения образца 7, представляющего собой скобу с призматической опорой, к образцу прикрепляются наборный груз 6 и часовой индикатор 8.
Порядок выполнения работы
1. Поставить одну из исследуемых пластин на призматические опоры 4.
2. Установить часовой индикатор 8 так, чтобы его наконечник коснулся пластины.
3. Повесить скобу устройства 7 посередине пластины.
4. Прикрепить на скобу груз массой M 1 =0,1 кг.
5. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ1 .
6. Снять груз.
7. Повесить на скобу груз массой M 2 =0,15 кг.
8. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ2 .
Где G – ускорение свободного падения.
10. Значение прогиба пластины определить как
11. Найти модуль Юнга по формуле (14), где L =0,114 м – расстояние между призмами (длина пластины); B =0,012 м – ширина сечения пластины; H =0,0008 м – толщина пластины; δ – величина прогиба пластины, м.
12. Проделать указанные выше действия со второй пластиной.
13. Повторить для обеих пружин пп. 1-12 еще два раза.
Материал исследуемых образцов — сталь пружинная и бронза.
Поясните полученные результаты модулей упругости пластин, сравните их со справочными данными .
Порядок оценки погрешностей
Считать, что погрешность оценки величины модуля Юнга по формуле (14) определяется погрешностью измерения длины пластины L (систематическая погрешность) и погрешностью оценки прогиба d (систематическая + случайная погрешности).
Записать результаты прямых измерений указанных параметров:
А) L =< L > ± DL , Где DL = DL Сист ;
Б) d=< D> ± Dd, Где , .
Записать результаты косвенных измерений:
Е=<Е> ± DЕ, Где , , , , .
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Чем отличается нормальное напряжение от касательного?
2. По каким формулам определяются абсолютная и относительная деформации?
3. Какая величина называется модулем упругости первого рода?
4. Как определяется коэффициент Пуассона?
5. Что называется жесткостью сечения при изгибе?
6. В чем заключается различие формул осевого момента инерции сечения относительно осей Ox и Oy ?
7. Какой формулой выражается прогиб двухопорной балки?
0. ВВЕДЕНИЕ
В методических указаниях к лабораторной работе N 3 "Оп-ределение модуля упругости и коэффициента Пуассона" указывает-ся цель работы, приводится характеристика испытуемого образца и даётся методика проведения испытаний.
Для лучшего усвоения материала по темам: "Растяжение и сжатие" и "Упруго – механические свойства материалов" приво-дятся основные теоретические положения, позволяющие квали-фицированно провести испытания, экспериментально определить по одному испытанию образца величины упругих постоянных (Е и μ) и проанализировать полученные результаты.
Завершаются методические указания перечнем возможных вопросов при защите отчета по этой лабораторной работе.
2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Определить опытным путем величину модуля упругости Ε и коэффициент Пуассона μ и сравнить полученные результаты со справочными данными.
3. ОБОРУДОВАНИЕ, ПРИБОРЫ И ИНСТРУМЕНТЫ
Испытательная машина – МР-0,5. Тензометрическая станция – ЦТМ-5. Штангенциркуль.
4. ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ
Вид образца, имеющего прямоугольное поперечное сечение, представлен на рис.1. На больших сторонах поперечного сечения образца наклеены по одному тензодатчику в продольном направлении и по одному в поперечном. Каждый тензодатчик под-ключен к отдельному каналу тензометрической станции ЦТМ-5.
Рис. 1. Вид обра о тензо датчиками
5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При деформациях подавляющего большинства материалов в упругой стадии справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями:
Величина Ε представляет собой коэффициент пропорцио-нальности и называется модулем упругости первого рода. Так как относительное удлинение – величина безразмерная, модуль упруго-сти Ε имеет размерность напряжения. Закон Гука справедлив при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности апц.
На диаграмме растяжения (сжатия) (рис.2) модуль упруго-сти Ε представлен тангенсом угла наклона прямой О А к оси (tg α).
Рис.2. Диаграмма растяжения (сжатия) образца из малоуглеродистой стали:
- растяжения,
- сжатия
При растяжении стержня, его удлинение в продольном на-правлении сопровождается пропорциональным сужением в попе-речном направлении, что показано на рис.3.
Рис.3. Изменение формы образца при испытаниях на растяжение
Продольную деформацию принято обозначать: абсолютную – Δi (Δ^ = i\- l),
относительную -ε (ε = Δ -£ / ^). Поперечную деформацию обозначим:
абсолютную – ДЬ (Ab = bi – b),
относительную – ε1 (ε1 = Ab / b). Как показывает опыт ε’= – μ · ε,
где μ – безразмерный коэффициент пропорциональности, называе-мый коэффициентом Пуассона, величина которого зависит только от материала и характеризует его свойства. Знак " – " указывает, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку. Коэффициент Пуассона принято считать положительной величиной, поэтому относительные линейные деформации берутся по абсолютной величине (μ= ε11 /1 ε |).
6. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ
1.- Перед испытанием студентам необходимо ознакомиться с устройством машины МР-0,5 (первое занятие) и правилами поведения в лаборатории при проведении испытаний (вводный инструктаж).
2. Измеряют штангенциркулем характерные линейные размеры испытуемого образца.
3. Убеждаются в подключении тензодатчиков к тензометрической станции ЦТМ-5.
4.- Наблюдают за включением машины, процессом нагружения образца начальной нагрузкой (0 – 100 Η-), которая задается преподавателем.
5.- Путем последовательного переключения соответствующих каналов тензометрической станции снимают показания каждого из тензометров. Эти данные заносятся в журнал наблюдений. В отчете по лабораторной работе в разделе "Результаты испытаний" предварительно готовится таблица..
6. Наблюдают за последующими двумя ступенями нагружения (100 – 200 Η каждая по указанию преподавателя) образца, снимают показания тензодатчиков и заносят их в таблицу.
7. В процессе проведения испытаний внимательно следят за ком-ментариями преподавателя и при завершении испытаний по его указанию приступают к обработке результатов испытания.
7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЯ
В журнале наблюдений (табл.) подсчитываются прираще-ния соответствующих отсчетов и определяются их средние значе-ния (АсрР, АсрАь АсрА2, ДсрВь АсрВ2). Затем подсчитываются средние приращения по тензометрам в продольном (АсрА) и попе-речном (АсрВ) направлениях.
По найденным АсрА и АсрВ находятся значения относи-тельной линейной деформации соответственно в продольном и поперечном направлениях:
ε = АсрА · с, ε1 = АсрВ · с,
где с – коэффициент чувствительности тензодатчика, который оп-ределяется тарировкой и сообщается преподавателем.
Определяются значение нормального напряжеия, средин для каждой ступени нагружения образца:
σ = АсрР / F, где F – площадь поперечного сечения образца (F = b · d).
Исходя из закона Гука при растяжении – сжатии (σ= Ε-ε) находится модуль упругости материала образца:
По найденным значениям относительных деформаций в продольном и поперечном направлениях определяется величина коэффициента Пуассона:
Для любого материала величина коэффициента Пуассона должна находиться в пределах от 0 до 0,5.
Найденные значения модуля упругости Ε и коэффициента Пуассона μ следует сравнить с соответствующими величинами, приведенными в справочной литературе и сделать выводы.
Перед тем, как использовать какой-либо материал в строительных работах, следует ознакомиться с его физическими характеристиками для того, чтобы знать как с ним обращаться, какое механическое воздействие будет для него приемлемым, и так далее. Одной из важных характеристик, на которые очень часто обращают внимание, является модуль упругости.
Ниже рассмотрим само понятие, а также эту величину по отношению к одному из самых популярных в строительстве и ремонтных работах материалу - стали. Также будут рассмотрены эти показатели у других материалов, ради примера.
Модуль упругости - что это?
Модулем упругости какого-либо материала называют совокупность физических величин , которые характеризуют способность какого-либо твёрдого тела упруго деформироваться в условиях приложения к нему силы. Выражается она буквой Е. Так она будет упомянута во всех таблицах, которые будут идти далее в статье.
Невозможно утверждать, что существует только один способ выявления значения упругости. Различные подходы к изучению этой величины привели к тому, что существует сразу несколько разных подходов. Ниже будут приведены три основных способа расчёта показателей этой характеристики для разных материалов:
Таблица показателей упругости материалов
Перед тем, как перейти непосредственно к этой характеристике стали , рассмотрим для начала, в качестве примера и дополнительной информации, таблицу, содержащую данные об этой величине по отношению к другим материалам. Данные измеряются в МПа .
Как можно заметить из представленной выше таблицы, это значение является разным для разных материалов, к тому же показателя разнятся, если учитывать тот или иной вариант вычисления этого показателя. Каждый волен выбирать именно тот вариант изучения показателей, который больше подойдёт ему. Предпочтительнее, возможно, считать модуль Юнга, так как он чаще применяется именно для характеристики того или иного материала в этом отношении.
После того как мы кратко ознакомились с данными этой характеристики других материалов, перейдём непосредственно к характеристике отдельно стали.
Для начала обратимся к сухим цифрам и выведем различные показатели этой характеристики для разных видов сталей и стальных конструкций:
- Модуль упругости (Е) для литья, горячекатанной арматуры из сталей марок, именуемых Ст.3 и Ст. 5 равняется 2,1*106 кг/см^2.
- Для таких сталей как 25Г2С и 30ХГ2С это значение равно 2*106 кг/см^2.
- Для проволоки периодического профиля и холоднотянутой круглой проволоки, существует такое значение упругости, равняющееся 1,8*106 кг/см^2. Для холодно-сплющенной арматуры показатели аналогичны.
- Для прядей и пучков высокопрочной проволоки значение равняется 2·10 6 кГ/см^2
- Для стальных спиральных канатов и канатов с металлическим сердечником значение равняется 1,5·10 4 кГ/см^2, в то время как для тросов с сердечником органическим это значение не превышает1,3·10 6 кГ/см^2 .
- Модуль сдвига (G) для прокатной стали равен 8,4·10 6 кГ/см^2 .
- И напоследок коэффициент Пуассона для стали равен значению 0,3
Это общие данные, приведённые для видов стали и стальных изделий. Каждая величина была высчитано согласно всем физическим правилам и с учётом всех имеющихся отношений, которые используются для выведения величин этой характеристики.
Ниже будет приведена вся общая информация об этой характеристике стали. Значения будут даваться как по модулю Юнга , так и по модулю сдвига, как в одних единицах измерения (МПа), так и в других (кг/см2, ньютон*м2).
Сталь и несколько разных её марок
Значения показателей упругости стали разнятся, так как существуют сразу несколько модулей
, которые исчисляются и высчитываются по-разному. Можно заметить тот факт, что в принципе сильно показатели не разнятся, что свидетельствует в пользу разных исследований упругости различных материалов. Но сильно углубляться во все вычисления, формулы и значения не стоит, так как достаточно выбрать определённое значение упругости, чтобы уже в дальнейшем ориентироваться на него.
Кстати, если не выражать все значения числовыми отношениями, а взять сразу и посчитать полностью, то эта характеристика стали будет равна: Е=200000 МПа или Е=2 039 000 кг/см^2 .
Данная информация поможет разобраться с самим понятием модуля упругости, а также ознакомиться с основными значения данной характеристики для стали, стальных изделий, а также для нескольких других материалов.
Следует помнить, что показатели модуля упругости разные для различных сплавов стали и для различных стальных конструкций, которые содержат в своём составе и другие соединения. Но даже в таких условиях, можно заметить тот факт, что различаются показатели ненамного. Величина модуля упругости стали практически зависит от структуры. а также от содержания углерода. Способ горячей или холодной обработки стали также не может сильно повлиять на этот показатель.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9
Определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба
Цель работы: определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба стержней прямоугольного сечения.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Деформация изгиба возникает тогда, когда к стержню, один конец которого закреплен (рис.1а ) или к стержню, свободно лежащему на опорах (рис.1б ) приложена сила, перпендикулярная к его оси. И в том и в другом случае стержень изгибается и характеристикой этой деформации может служить стрела прогиба .
Во введении к данному циклу работ было показано, что деформация изгиба представляет собой неоднородную деформацию растяжения-сжатия. Там же было получены выражения (формулы (12)и (13) введения) для определения стрел прогиба для обеих ситуаций, приведенных на рис.1.
В данной лабораторной работе будет исследоваться изгиб стержня прямоугольного сечения, свободно лежащего на опорах (рис.1б ). В этом случае стрела прогиба определяется соотношением
где L - длина стержня, Е – модуль Юнга материала стержня, Р – сила, действующая на середину стержня. Величина I определяется только формой сечения стержня и рассчитывается по формуле
.
(2)
Величины, входящие в эту формулу, поясняются на рис.2. Буквой О обозначен центр масс сечения стержня. Через него проходит нейтральный слой, который не испытывает деформации сжатия-растяжения.
В данной работе используется стержень прямоугольного сечения (рис.3) Очевидно, что в этом случае центр масс сечения совпадает с его геометрическим центром и, следовательно, b 1= b 2= b /2 . Здесь b – размер стержня в направлении действия нагрузки, иначе говоря, толщина стержня. Кроме того, очевидно, что величина а не зависит от х (стержень имеет постоянную ширину. Теперь интеграл (2) вычисляется просто:
(3)
Подставляя полученное выражение в (1), получаем
или
,
где
(4)
Выражение (4) подсказывает следующий метод определения модуля Юнга. Надо получить экспериментальную зависимость стрелы прогиба от нагрузки Р и определить тем или иным способом коэффициент пропорциональности А . Далее, проведя измерения геометрических размеров стержня, рассчитать Е.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Установка для определения экспериментальной зависимости стрелы прогиба от нагрузки состоит из двух стоек со стальными призмами, на которых располагается стержень прямоугольного сечения из исследуемого материала. Грузы, вес которых определяется на технических весах, подвешиваются к стремени, которое помещают на одинаковом расстоянии от стоек. Стрела прогиба измеряется с помощью микрометра, установленного вертикально над стержнем в месте расположения стремени. Контакт острия на стебле микрометра со стержнем фиксируется световым индикатором.
Предварительно измеряются геометрические параметры установки, т.е. величины L , a и b после чего исследуемый стержень размещается на опорах.
Далее необходимо убедиться, будут ли деформации стержня, возникающие в наших экспериментах, упругими, поскольку только в этом случае для вычисления модуля Юнга справедлива формула (1). Для выяснения этого обстоятельства используется следующая процедура. Микрометрический винт приводится в контакт со стержнем и производится отсчет показаний микрометра. Используя все имеющиеся грузы, создается максимально возможная (для данной работы) нагрузка стержня. Затем грузы снимаются, микровинт вновь приводится в контакт со стержнем и вновь производится отсчет показаний микрометра. Если показания микрометра до и после нагружения стержня совпадают в пределах погрешности измерений, можно говорить, что форма стержня восстановилась и, тем самым, утверждать, что при проведении экспериментов возникающие деформации будут упругими.
Стрела прогиба в данной установке определяется как разность показаний микрометра до нагружения стержня n0 и при нагрузке стержня n , т.е. =n0 –n , а нагрузка рассчитывается по формуле Р=mg . Используя эти соотношения можно несколько изменить формулы (4) так, чтобы в них входили результаты прямых измерений
или
= n
0
–
n
=
B
m
,
где
.
(5)
Определив коэффициент пропорциональности В по экспериментальной зависимости стрелы прогиба от массы груза теперь нетрудно рассчитать значение модуля Юнга.
Экспериментальная зависимость от m при увеличении нагрузки снимается следующим образом. В отсутствие нагрузки отсчитывается показание микрометра n 0 . Подвешивается груз массой m 1 и отсчитывается показание микрометра n 1 . Очевидно, 1 = n 0 – n 1 . Добавляется груз массой m 2 . Суммарная масса нагрузки будет составлять m 1+ m 2 . Отсчитывается показание микрометра n 2 , определяется 2 . Добавляется следующий груз и т.д.
Аналогичным образом определяется экспериментальная зависимость от m при разгрузке. Отсчитывается показание микрометра при максимальной подвешенной массе, убирается один груз, вновь отсчитывается показание микрометра и так до тех пор, пока не будут сняты все грузы. В отсутствии нагрузки определяется новое значение n 0 .
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
в отсутствие нагрузке привести в контакт со стержнем стебель микрометра, произвести отсчет показания микрометра n 0 ;
взвесить одну из гирь и подвесить ее к стремени. Вращением головки микрометра восстановить контакт острия стебля микрометра со стержнем. Определить новое показание микрометра;
последовательно добавлять к подвешенным гирям остальные, предварительно взвешивая их. После подвешивания очередной гири восстанавливать контакт острия стебля микрометра со стержнем и отсчитывать показания микрометра;
результаты измерений занести в таблицу, вид которой приведен ниже, рассчитать погрешность определения стрелы прогиба, построить график экспериментальной зависимости от m при нагружении стержня.
|
№ п/п |
m, кг |
n , мм |
, мм |
, мм |
|
1 = n0-n1 |
||||
|
2 = n0-n2 |
||||
|
k = n0-n2 |
Снять зависимость величины прогиба от массы груза при разгрузке стержня. Для этого
подвесить максимальный груз, произвести отсчет показаний микрометра;
вывести стебель микрометра из контакта со стержнем, снять одну гирю, вновь привести стебель микрометра в контакт со стержнем, произвести отсчет показания микрометра;
повторять предыдущий пункт, последовательно снимая гири;
сняв последнюю гирю, снова определить величину n 0 ;
результаты измерений занести в таблицу, аналогичную вышеприведенной (ее удобно заполнять снизу вверх), рассчитать погрешность определения стрелы прогиба, построить график экспериментальной зависимости от m при разгрузке стержня.
По результаты измерений методом наименьших квадратов определить значения коэффициента В и рассчитать величины модуля Юнга при нагружении и разгрузке стержня.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Измерения геометрических размеров стержня являются прямыми измерениями, поэтому погрешности величин а ,b и L определяются стандартными методами обработки прямых измерений. Прямыми являются и измерения массы. Однако при этом будем считать, что случайная погрешность определения массы много меньше систематической, так что полная погрешность определения массы равна систематической погрешности, составляющей 1г .
Стрела прогиба
определяется косвенным образом по
формуле
=n0
–n
, где n0
и n
, прямые
измерения, производимые по микрометру
с точностью
0,01мм
.
Погрешность
определяется по формуле
.
Очевидно, что
n
0=
n
=
0,01мм
,
так что
=
0,014мм
. Итак,
абсолютная погрешность измерения стрелы
прогиба во всех опытах будет одинакова
и равна 0,014мм
.
Согласно формуле (5) существует линейная связь между стрелой прогиба и массой груза, т.е. =В m . Коэффициент В по данным эксперимента можно было бы определить так. Каждый опыт дает определенное значение B i :
Вi = i / m i , (7)
где i и mi - значения величин и m , полученные в i -том опыте. Индекс i у величины B показывает, что это значение соответствует i -тому опыту. Из значений B i можно образовать среднее
Здесь следует отметить, что это простой, но не самый лучший способ определения B . В самом деле, m есть величина, характеризующая условия опыта, которую мы знаем практически точно, а есть результат опыта, известный с погрешностью. Погрешность одинакова во всех измерениях. Тогда ошибка в величине B , равная i /mi , тем больше, чем меньше mi . Иначе можно сказать, что значение B , вычисленное по формуле (8), не является наилучшей оценкой истинного B . Это является следствием того, что величины B i неравноточные.
Строго задача о нахождении наилучшей оценки истинного значения B по данным эксперимента и известной зависимости типа Y=aX (в данном случае =B m ) ставится так. Необходимо найти такое значение B , при котором функция =B m наилучшим образом соответствует опытным данным (смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).
Выберем за меру отклонения функции от экспериментальных данных для i -го опыта величину ( i-Bmi)2 . Если бы за меру отклонения была взята просто величина i-Bmi , то сумма отклонений в нескольких опытах могла бы оказаться весьма малой за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но имеющих разные знаки. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что функция =Bm хороша. Очевидно, что такого взаимного уничтожения не будет, если мера отклонения выбрана в виде ( i-Bmi)2 .
Итак, в качестве меры общего отклонения S в описании опытных данных функцией =Bm необходимо взять сумму мер отклонений для всех опытов, то есть:
.
(9)
Таким образом, наша функция будет наилучшим способом описывать опытные данные, если S , то есть сумма квадратов отдельных отклонений, минимальна. Метод определения констант, входящих в формулу, из требования минимальности S , называется методом наименьших квадратов.
Величина S является функцией B , т.е. S=S(B) . Чтобы найти такое значение B, которое доставляет минимум функции S (наилучшее значение B ), необходимо, как известно, решить уравнение dS/dB=0 . Используя (9), получаем:
что дает
.
(10)
Итак, подставляя в формулу (10) экспериментальные значения mi и i , рассчитывается значение величина, являющееся наилучшей оценкой истинного B . Среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:
.
(11)
Для расчета доверительного интервала о B выбирается доверительная вероятность и определяется коэффициент Стьюдента t ,k-1 , т.е. для числа на единицу меньше числа проделанных опытов. Тогда, как обычно, о B=t ,k-1SB .
Методом наименьших квадратов следует обработать экспериментальные точки, полученные как при нагружении стержня, так и при его разгрузке. Следует также на экспериментальных графиках провести "наилучшие" прямые, используя значение рассчитанные значения В .
После расчета коэффициента пропорциональности В можно рассчитать по формуле (6) значение модуля Юнга. Погрешности, входящих в эту формулу величин, известны. Естественно, что значения этих погрешностей определяют и погрешность определения величины E . Величина E является результатом косвенного измерения. Значение E определяется по формуле погрешности косвенных измерений. Предполагая при этом, g =0 , можно записать:
Взяв производные и поделив обе части (12) на величину E= g L3/4ab3 B , получим выражение, которое удобно использовать для расчета погрешности
.
(13)
Подставляя в формулу (6)
вначале случайные, а затем систематические
погрешности, можно определить
соответственно случайную
и систематическую (С
Е
) погрешности
измерения модуля Юнга. Полная погрешность
единичного измерения модуля Юнга
определяется по формуле
.Таким
образом, будут получены два значения
модуля Юнга (из экспериментов при
нагружении и разгрузке стержня). Их надо
сравнить друг с другом и с табличными
значениями.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что такое механическое напряжение и относительная деформация? Какова связь между ними (на примере деформации сжатия-растяжения)? Что такое механическое напряжение и относительная деформация с молекулярной точки зрения?
В чем состоит закон Гука? Каков физический смысл модуля Юнга, модуля сдвига? Что такое коэффициент Пуассона?
Почему модуль Юнга может быть определен из наблюдений деформаций изгиба?
Каковы основные этапы вывода формулы (1)? Что такое «момент инерции сечения» I ?
Определите относительную погрешность величины A , вычисляемой по формуле A=B-C , если B=100, C=99 и относительные погрешности их определения составляют 1%.