Система с ограниченной длиной очереди . Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .
Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал, остальные свободны;
Заняты каналов, остальные нет;
Заняты все каналов, свободных нет;
есть очередь:
Заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n каналов, r заявок в очереди;
Заняты все n каналов, m заявок в очереди.
ГСП приведен на рис. 5.9. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.
Многоканальная экспоненциальная СМО
отличается от одноканальной следующим. Число каналов в ней более одного. Приходящая заявка становится в очередь, если все каналы заняты. В противном случае заявка занимает свободный канал. 
(5.56)
Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (см.5.45)
Вероятность отказа . Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n каналов и все m мест в очереди:
(5.57)
Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:
Абсолютная пропускная способность СМО:
(5.58)
Среднее число занятых каналов . Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.
Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:
Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:
(5.59)
Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (5.50), (5.51)-(5.53)), используя соотношение для нее, получаем:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время ожидания заявки в очереди . Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.
Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все п каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена).
Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:
(5.60)
Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (5.59) только множителем , т. е.
Среднее время пребывания заявки в системе , так же, как и для одноканальной СМО , отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:
Системы с неограниченной длиной очереди .
Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m заявок.
Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .
Вероятности состояний получим из формул (5.56) предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при > 1. Допустив, что < 1 и устремив в формулах (5.56) величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(5.61)
Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:
Среднее число заявок в очереди получим при из (5.59):
а среднее время ожидания - из (5.60):
Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:
Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):
Усложнение структур и режимов реальных систем затрудняет применение классических методов теории массового обслуживания ввиду возрастающей размерности решаемых задач, что особенно характерно для систем с сетевой структурой. Одним из возможных путей преодоления размерности является использование моделей в форме сетей массового обслуживания (СеМО).
СеМО представляет собой совокупность конечного числа обслуживающих узлов, в которой циркулируют заявки, переходящие в соответствии с маршрутной матрицей из одного узла в другой. Узел всегда является разомкнутой СМО . При этом отдельные СМО СМО − структуру системы, а требования, циркулирующие по СеМО , − составляющие материальных потоков (сообщения (пакеты) в коммуникационной сети, задания в мультипроцессорных системах, контейнеры грузопотоков и т.п.).
В свою очередь, СеМО используют для определения важнейших системных характеристик информационных систем: производительности; времени доставки пакетов; вероятности потери сообщений и блокировки в узлах ; области допустимых значений нагрузки, при которых обеспечивается требуемое качество обслуживания и др.
В теории СеМО фундаментальным является понятие состояния сети. Важнейшая характеристика сетей МО − вероятности их состояний. Для определения вероятностей состояний СеМО исследуют протекающий в сети случайный процесс. В качестве моделей протекающих в СеМО процессов также наиболее часто используют марковские и полумарковские.
3.3. Система массового обслуживания как модель
1.5. Сети массового обслуживания
Марковским процессом с непрерывным временем описывают функционирование экспоненциальных СеМО.
Сеть называется экспоненциальной, если входящие потоки требований в каждую СМО пуассоновские , а времена каждого этапа обслуживания, реализуемого на любой СМО сети, имеют экспоненциальное распределение. Это позволяет считать, что этапы обслуживания независимы между собой и не зависят ни от параметров входящего потока, ни от состояния сети, ни от маршрутов следования требований.
Теория экспоненциальных СеМО наиболее разработана, и ее широко применяют как для исследования сетей ПД так и для исследования мультипроцессорных вычислительных систем (ВС). Разработаны практические формулы расчета вероятностно-временных характеристик (ВВХ) таких сетей и систем.
Попытки глубокого анализа немарковских моделей сетевых систем наталкиваются на значительные трудности, которые обусловлены в частности отсутствием независимости длительностей пребывания требований в различных узлах моделей сетевых систем с нестандартными дисциплинами. Так, например, при достаточно реалистическом предположении о том, что длина требования остается постоянной в процессе его передачи через узлы сети, необходимо прослеживать путь каждого требования, что делает невозможным аналитический расчет характеристики для сети с числом узлов М>2.
Анализ работ, посвященных исследованию или расчету немарковских моделей, показывает, что решения, как правило, получены алгоритмически путем сложных численных расчетов с использованием преобразований Лапласа-Стилтьеса, реализуются программно, отличаются большой трудоемкостью, либо значительными погрешностями в оценке показателей производительности информационных систем (ИС) в области средней и большой нагрузки. Поэтому для моделирования СеМО, выходящих из класса мультипликативных, используют приближенные методы.
Сравнительный анализ приближенных методов моделирования СеМО и примеры, приведенные в показывают, что пользоваться приближенными методами расчета СеМО необходимо с большой осторожностью, что при расчете конкретных СеМО, в процессе решения различных прикладных задач представляется необходимым проведение исследований в целях оценки точности и чувствительности применяемого метода, а также проведение эксперимента по имитационному моделированию исходной СеМО для достаточно большого множества значений варьируемых параметров.
Аналитические методы расчета характеристик ИС базируются, как правило, на анализе экспоненциальных СеMO. При использовании этого математического аппарата удается получить аналитические модели для решения широкого круга задач исследования систем. CеМО − это, прежде всего, совокупность взаимосвязанных систем массового обслуживания. Поэтому необходимо вспомнить основные особенности этих систем.
Сеть массового обслуживания представляет собой совокупность конечного числа N обслуживающих узлов, в которой циркулируют заявки, переходящие в соответствии с маршрутной матрицей из одного узла в другой. Узел всегда является разомкнутой СМО (причем СМО может быть любого класса). При этом отдельные СМО отображают функционально самостоятельные части реальной системы, связи между СМО - структуру системы, а требования, циркулирующие по СеМО, - составляющие материальных потоков (сообщения (пакеты) в коммуникационной сети, задания в мультипроцессорных системах, контейнеры грузопотоков и т.п.).
Для наглядного представления СеМО используется граф, вершины которого (узлы) соответствуют отдельным СМО , а дуги отображают связи между узлами.
Переход заявок между узлами происходит мгновенно в соответствии с переходными вероятностями 
, p ij
- вероятность того, что заявка после обслуживания в узле i
перейдет в узел j
. Естественно, если узлы непосредственно не связаны между собой, то p ij
= 0. Если из i-
го узла переход только в один какой-либо узел j
, то p ij
= 1.
СеМО классифицируют по нескольким признакам (рис. 4).
Сеть называется линейной , если интенсивности потоков заявок в узлах связаны между собой линейной зависимостью
l j = a ij l i ,
где a ij - коэффициент пропорциональности, или относительно источника
l j = a j l 0 ,.
Коэффициент a j называют коэффициентом передачи, он характеризует долю заявок, поступающих в j- й узел от источника заявок, либо - среднее число прохождений заявкой через данный узел за время нахождения заявки в сети.
Если интенсивности потоков заявок в узлах сети связаны нелинейной зависимостью (например, 
), то сеть называется нелинейной
..
Сеть всегда линейна, если в ней заявки не теряются и не размножаются.
Разомкнутая сеть – это такая отрытая сеть, в которую заявки поступают из внешней среды и уходят после обслуживания из сети во внешнюю среду. Другими словами, особенностью разомкнутой СеМО (РСеМО) является наличие одного или нескольких независимых внешних источников, которые генерируют заявки, поступающие в сеть, независимо от того, сколько заявок уже находится в сети. В любой момент времени в РСеМО может находиться произвольное число заявок (от 0 до ¥).
Рис. 4. Классификация сетей массового обслуживания
В замкнутой СеМО (ЗСеМО) циркулирует фиксированное число заявок, а внешний независимый источник отсутствует. Исходя из физических соображений, в ЗСеМ О выбирается внешняя дуга, на которой отмечается псевдонулевая точка, относительно которой могут измеряться временные характеристики.
Комбинированная сеть – это сеть, в которой постоянно циркулирует определенное число заявок и есть заявки, поступающие от внешних независимых источников.
В однородной сети циркулируют заявки одного класса. И, наоборот, в неоднородной сети могут присутствовать заявки нескольких классов. Заявки относятся к разным классам, если они различаются хотя бы одним из следующих атрибутов:
Законом распределения длительности обслуживания в узлах;
Приоритетами;
Маршрутами (путями движения заявок в сети).
В экспоненциальной сети длительности обслуживания во всех узлах распределены по экспоненциальному закону, и потоки, поступающие в разомкнутую сеть, простейшие (пуассоновские). Во всех остальных случаях сеть является неэкспоненциальной.
Если хотя бы в одном узле осуществляется приоритетное обслуживание, то это – приоритетная сеть. Приоритет – это признак, определяющий очередность обслуживания. Если обслуживание заявок в узлах осуществляется в порядке поступления, то такая сеть бесприоритетная.
Таким образом, экспоненциальной будем называть СеМО , отвечающую требованиям:
Входные потоки СеМО пуассоновские;
Во всех N СМО время обслуживания заявок имеет экспоненциальную функцию распределения вероятностей, и заявки обслуживаются в порядке прихода;
Переход заявки с выхода i -й СМО на вход j -й является независимым случайным событием, имеющим вероятность p ij ; p i0 - вероятность ухода заявки из CeМО.
Если заявки приходят в сеть и уходят из нее, то сеть называется разомкнутой. Если заявки не приходят в сеть и из нее не уходят, сеть называется замкнутой. Число заявок в замкнутой сети постоянное.
2.2 Многоканальная СМО с ожиданием
Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .
Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал, остальные свободны;
Заняты -каналов, остальные нет;
Заняты все -каналов, свободных нет;
есть очередь:
Заняты все n-каналов; одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n-каналов, r-заявок в очереди;
Заняты все n-каналов, r-заявок в очереди.
ГСП приведен на рис. 17. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.
Рис. 17. Многоканальная СМО с ожиданием
Граф типичен для процессов размножения и гибели, для которой решение ранее получено. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).
Таким образом, все вероятности состояний найдены.
Определим характеристики эффективности системы.
Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и все m-мест в очереди:
(18)
Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:
Абсолютная пропускная способность СМО:
(19)
Среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.
Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А-заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:
Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:
(20)
Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) - (14)), используя соотношение для нее, получаем:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.
Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» -каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m-заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:
(21)
Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (20) только множителем , т. е.
.
Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:
.
Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.
Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .
Вероятности состояний получим из формул предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при >1. Допустив, что <1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:
Среднее число заявок в очереди получим при из (20):
,
а среднее время ожидания - из (21):
.
Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:
.
Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):
Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин с интенсивностью =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:
В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.
Поскольку<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
и т. д.
Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО А==0,8 на интенсивность обслуживания =0,5:
Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:
Среднее число машин в очереди:
Среднее число машин на АЗС:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания машины на АЗС:
СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).
Рассмотрим СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.
Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой случайной величиной со средним значением, таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:
Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе - как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал;
Заняты два канала;
Заняты все n-каналов;
есть очередь:
Заняты все n-каналов, одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n-каналов, r-заявок стоят в очереди и т. д.
Граф состояний и переходов системы показан на рис. 23.
Рис. 23. СМО с ограниченным временем ожидания
Разметим этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна .
Как видно из графа, имеет место схема размножения и гибели; применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний в этой схеме (используя сокращенные обозначения , запишем:
(24)
Отметим некоторые особенности СМО с ограниченным ожиданием сравнительно с ранее рассмотренными СМО с «терпеливыми» заявками.
Если длина очереди не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае (при соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ).
Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд для в знаменателе формулы (24) сходится при любых положительных значениях и .
Для СМО с «нетерпеливыми» заявками понятие «вероятность отказа» не имеет смысла - каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.
Относительная пропускная способность, среднее число заявок в очереди. Относительную пропускную способность q такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:
На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью . Значит, из среднего числа -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:
Среднее число занятых каналов по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на :
(26)
Среднее число заявок в очереди. Соотношение (26) позволяет вычислить среднее число заявок в очереди , не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем:
а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями ,:
В заключение заметим, что если в формулах (24) перейти к пределу при (или, что то же, при ), то при 
Очередь длины k, остается в ней с вероятностью Pk и не присоединяется к очереди с вероятностью gk=1 - Pk,". именно так обычно ведут себя люди в очередях. В системах массового обслуживания, являющихся математическими моделями производственных процессов, возможная длина очереди ограничена постоянной величиной (емкость бункера, например). Очевидно, это частный случай общей постановки. Некоторые...
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые простейшие СМО и выведем выражения для их характеристик (показателей эффективности). При этом мы продемонстрируем основные методические приемы, характерные для элементарной, «марковской» теории массового обслуживания. Мы не будем гнаться за количеством образцов СМО, для которых будут выведены конечные выражения характеристик; данная книга - не справочник по теории массового обслуживания (такую роль гораздо лучше выполняют специальные руководства). Наша цель - познакомить читателя с некоторыми «маленькими хитростями», облегчающими путь сквозь теорию массового обслуживания, которая в ряде имеющихся (даже претендующих на популярность) книг может показаться бессвязным набором примеров.
Все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, в данном параграфе мы будем считать простейшими (не оговаривая это каждый раз специально). В их числе будет и так называемый «поток обслуживаний». Под ним разумеется поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом.
В этом потоке интервал между событиями, как и всегда в простейшем потоке, имеет показательное распределение (во многих руководствах вместо этого говорят: «время обслуживания - показательное», мы и сами в дальнейшем будем пользоваться таким термином). В данном параграфе показательное распределение времени обслуживания будет само собой разуметься, как всегда для «простейшей» системы.
Характеристики эффективности рассматриваемых СМО мы будем вводить по ходу изложения.
1. n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга).
Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания; эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале нашего века датским математиком Эрлангом. Задача ставится так: имеется каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью К. Поток обслуживаний имеет интенсивность (величина, обратная среднему времени обслуживания ). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:
А - абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
Ротк - вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
к - среднее число занятых каналов.
Решение. Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):
В СМО нет ни одной заявки,
В СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),
В СМО находится к заявок каналов заняты, остальные свободны),
В СМО находится заявок (все каналов заняты).
Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения (рис. 20.1). Разметим этот граф - проставим у стрелок интенсивности потоков событий, Из систему переводит поток заявок с интенсивностью X (как только приходит заявка, система перескакивает из ).
Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее, правое (см. верхние стрелки на рис. 20.1).
Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии (работает один канал). Он производит обслуживании в единицу времени. Проставляем у стрелки интенсивность Теперь представим себе, что система находится в состоянии (работают два канала). Чтобы ей перейти в нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживаний равна проставляем ее у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживаний, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность к каналами - Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 20.1.
А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (19.7), (19.8) для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (19.8) получим:
Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для
Заметим, что в формулы (20.1), (20.2) интенсивности Яиц входят не по отдельности, а только в виде отношения Обозначим
и будем называть величину «приведенной интенсивностью потока заявок». Ее смысл - среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (20.1), (20.2) в виде:
Формулы (20.4), (20.5) для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга - в честь основателя теории массового обслуживания. Большинство других формул этой теории (сегодня их больше, чем грибов в лесу) не носит никаких специальных имен.
Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы все каналов были заняты, значит,
Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:
Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок X на
Осталось только найти среднее число занятых каналов к. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями и вероятностями этих значений
Подставляя сюда выражения (20.5) для и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы верную формулу для к. Но мы выведем ее гораздо проще (вот она, одна из «маленьких хитростей»!) В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность А. Это - не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно
И какая доля каналов при этом будет простаивать?
Тут уже проглядывает некоторый намек на оптимизацию. В самом деле, содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход. Умножая этот доход на среднее число заявок А, обслуживаемых в единицу времени, мы получим средний доход от СМО в единицу времени. Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и раеходы, связанные с содержанием каналов. Что перевесит - увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции, от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величины, можно найти оптимальное число каналов, наиболее эффективное экономически. Мы такой задачи решать не будем, предоставляя все тому же «неленивому любопытному читателю» придумать пример и решить. Вообще, придумывание задач больше развивает, чем решение уже поставленных кем-то.
В системе сетевого планирования и управления строительным производством приняты следующие понятия и терминология.
Под понятием проект обобщается круг организационных и технических задач, решаемых для достижения конечных результатов строительного производства. К ним относятся: разработка технико-экономического обоснования намечаемого строительства, выбор строительной площадки, проведение инженерно-геологических изысканий, оформление территории для застройки, разработка и утверждение технической документации, необходимой для осуществления строительства, включая графики и схемы производства строительно-монтажных работ до сдачи возводимых объектов в эксплуатацию.
Комплекс работ, выполняемых для достижения определенной цели, обусловливающей определенную часть проекта, называется функцией проекта. Например, работы, связанные с подготовкой строительного производства (разработка рабочих чертежей зданий и сооружений, проекта производства работ; размещение заказов на изготовление оборудования, конструкций и поставка их на строительную площадку и т. п.) или с производством строительно-монтажных работ, с возведением фундаментов, (устройство обноски, разбивка осей, рытье котлованов, заготовка и установка опалубки и арматуры, приготовление бетонной смеси, подвозка и укладка ее в опалубку, распалубка и захватка грунтом пазух забетонированных фундаментов), являются функциями в проекте сооружения.
Важнейшими показателями эффективности проекта являются себестоимость и продолжительность строительства, которые находятся в прямой зависимости от аналогичных показателей отдельных функций проекта. Если установлен перечень всех функций проекта и определены по каждой из них последовательность выполнения и затраты времени, то, изобразив указанные функции в виде графической сети, можно увидеть, какие из них определяют сроки выполнения остальных функций и всего проекта в целом.
Отсюда вытекает, что сетевой график отражает логическую взаимосвязь и взаимообусловленность всех организационных, технических и производственных операций по осуществлению проекта, а также определенную последовательность их выполнения.
Основными параметрами сетевого графика являются работа и событие, а производными - сеть, критический путь и резервы времени.
Под работой подразумевается любой процесс, требующий затраты времени. В сетевых графиках этот термин обусловливает не только те или иные производственные процессы, требующие затраты материальных ресурсов, но и ожидаемые процессы, связанные с соблюдением технологических перерывов, например, для твердения уложенного бетона.
Событие - это промежуточный или окончательный результат одной или нескольких работ, необходимый для начала других работ. Событие совершается после выполнения всех работ, входящих в него. Причем момент свершения события является моментом окончания последней (Входящей в него работы. Таким образом, событие - это конечные результаты тех или иных работ и в то же время - исходные позиции для начала последующих. Событие, не имеющее предшествующих работ, называется начальным; событие, не имеющее последующих работ, называется конечным.
Работу на сетевом графике изображают одной сплошной стрелкой. Продолжительность работы в единицах времени (дни, недели) проставляют под стрелкой, а наименование работ над стрелкой. Каждое событие изображается кружком и нумеруется (рис. 115).
Рис. 115. Обозначение событий и работы м - n.
Рис. 116. Обозначение зависимости событий технологического характера.
Рис. 117. Обозначение зависимости событий организационного характера.
Продолжительность той или иной работы, устанавливаемая в зависимости от принятого способа ее осуществления по ЕНИР или калькуляциям трудовых затрат, называется временной оценкой. Зависимость между отдельными событиями, не требующая затраты времени и ресурсов, называется фиктивной работой и на сетевом графике изображается пунктирной стрелкой.
Указанные зависимости или фиктивные работы можно подразделить на три группы: технологические, организационные, условные.
Зависимость технологического характера означает, что выполнение одной работы зависит от завершения другой, например, кладку стен последующего этажа нельзя производить до установки панелей перекрытий нижнего этажа (рис. 116).
Зависимость организационного характера показывает переходы бригад рабочих, переброску механизмов с одного участка на другой и т. д. Они возникают преимущественно нри выполнении работ поточными методами (рис. 117).
При наличии нескольких конечных событий (например, ввод в действие нескольких объектов, входящих в пусковой комплекс предприятия) их следует связать условными зависимостями или фиктивными работами воедино - ввод предприятия в действие (рис. 118, б).
Начальное событие должно быть одно. В тех случаях, когда начальных событий несколько (например, независимо друг от друга начинаются работы по отрывке котлованов нескольких объектов), их следует условно соединить обозначением фиктивных работ с единым начальным событием (рис. 118, а).
Если сроки фактических начальных событий отдельных объектов комплекса различные, следует ввести понятие зависимостей с затратой реального времени, сходящихся в одном начальном узле.
Продолжительность, устанавливаемая с учетом односменной, а для ведущих машин двухсменной работы и оптимальной насыщенности фронта работ, называется нормальной продолжительностью работы. Если продолжительность работы обусловлена максимальной загрузкой фронта работ при двух, трехсменной работе, то она считается минимальной.
Рис. 118. Обозначение условных зависимостей.
Срок работы различается терминами:
самый ранний срок начала работы - первый день, когда может начаться работа;
самый ранний срок окончания работы - день окончания работы, если она начата в самый ранний срок начала;
самый поздний срок начала работы - последний день начала работы без задержки общего срока строительства;
самый поздний срок окончания работы - день, когда работа должна быть закончена без задержки строительства, т. е. без срыва общего срока строительства.
Разница между самым поздним и самым ранним сроками начала работы определяет частный резерв времени, т. е. время, на которое можно отложить работу без увеличения продолжительности строительства. Время, на которое можно отложить работу без задержки выполнения любой последующей работы, определяет полный (общий) резерв времени, который является разницей между полными резервами времени рассматриваемой и последующей работами. В случае нескольких последующих работ выбирается такая работа, которая имеет наименьшую величину полного резерва времени.
Непрерывная последовательность работ и событий от начального до конечного, требующая наибольшего времени для ее выполнения, определяет критический путь, обусловливающий общую продолжительность строительства, так как лежащие на нем критические работы не имеют резервов времени.
В сетевых графиках направление стрелок, изображающих работы, может выбираться произвольно. Обычно такие графики строятся слева направо. Однако стрелки отдельных видов работ могут идти вверх, вниз или справа налево.
При составлении сетевого графика каждую работу следует рассматривать с точки зрения ее связи с другими работами и отвечать на следующие вопросы:
какую работу следует завершить перед началом данной работы;
какая другая работа может быть завершена одновременно с выполнением данной работы;
какую работу нельзя начать до завершения данной работы. Рассмотрим некоторые примеры графического изображения связей и последовательности работ в сетевых графиках.
Рис. 119. Схемы связи между работами (а, б, в, г, д, е, ж - случаи 1,2,3,4,5,6,7).
Случай 1 (рис. 119, а). Зависимость между работами А (1-2) и Б (2-3). Работа Б не может быть начата до окончания работы А.
Случай 2 (рис. 119,6). Зависимость двух работ от одной. Работы Д (7-8) и Е (7-9) не могут быть начаты до тех пор, пока не закончена работа Г (6-7).
Случай 3 (рис. 119, в). Зависимость одной работы от окончания двух работ. Работа Е (10-11) не может начаться до тех пор, пока не закончатся работы Г (8-10) и Д (9-10).
Случай 4 (рис. 119, г). Начало двух работ зависит от окончания также двух работ. Работы Е (15-16) и Д (15-17) могут начаться только после окончания работ Б (13-15) и В (14-15).
Случай 5 (рис. 119, 6). Зависимость двух групп работ. Работа Б (15-16) зависит только от окончания работы А (14-15), а работа Г (21-22) зависит от окончания работ А (14-45) и В (19-21). Увязка сети ведется путем включения фиктивной работы Д (15-21).
Случай 6 (рис. 119, е). Работа Г (47-48) не может быть начата до окончания работы В (46-47). В свою очередь работа Б (50-51) не может быть начата до окончания работ В (46-47) и А (49-50). Работа Е (47-50) фиктивная, определяющая логическую увязку сети путем сдерживания начала работы Б (50-51) до тех пор, пока не будет закончена работа В (46-47).
Случай 7 (рис. 119,ж). Работа Г (8-14) не может быть начата до окончания работ А (2-8) и Б (4-6); работа Ж (12-16) не может быть начата до свершения Рис. 120. Схема сетевого графика, работ Д (10-12), Б (4-6); зависимость между этими работами обозначена фиктивной работой Е (6-12). Так как работа Ж (12-16) не зависит от окончания работы А (2-8), то она отделена от последней фиктивной работы В (6-8).
Рис. 120. Схема сетевого графика.
С целью уяснения методики построения сетевых графиков рассмотрим случай, когда на строительстве какого-либо объекта возникли следующие условия:
в начале строительства работы А и Б должны выполняться параллельно;
работы В, Г и Д могут быть начаты до окончания работы А;
работа Б должна быть закончена до начала работ Е и Ж;
при этом работа Е также зависит от окончания работы А;
работа 3 не может быть начата до окончания работ Д и Е;
работа И зависит от окончания работ Г и 3;
работа К следует за окончанием работы Ж;
работа Л следует за работой К и зависит от окончания работ Г и 3;
конечная работа М зависит от окончания работ В, И и Л.
На рис. 120 показано одно из нескольких возможных решений задачи, определяемой приведенными условиями строительства. Все решения должны базироваться на одной и той же логической концепции, независимо от вида сетки. Сетку необходимо рассматривать с точки зрения логической последовательности производства работ. Для этой цели ее обзор следует начать с последнего события на объекте и идти назад от события к событию, проверяя такие положения: каждая ли работа, начинающаяся на событии, зависит от всех работ, ведущих к событию; все ли работы, от которых должна зависеть рассматриваемая работа, входят в событие. Если на оба вопроса можно получить положительный ответ, то сетевой график удовлетворяет требования запроектированной технологии строительства объекта.
При построении сетевого графика под понятием «работа» в зависимости от степени желаемой точности можно подразумевать отдельные виды работ или комплексы производственных процессов, выполняемых на данном объекте одной из участвующих в строительстве организаций. Например, главному инженеру треста нужно знать меньше подробностей, чем производителю работ. Поэтому для обеспечения руководства строительством на уровне треста сетевой график может быть составлен на основе более укрупненных показателей.