Многомерный
регрессионный анализ позволяет
разграничить влияние факторных признаков.
Параметр регрессии
при каждом факторном признаке
дает оценку его влияния на величину
результативного признака
в случае изменения
на единицу при постоянстве всех
остальных факторов.
Прогнозирование на основе полученной модели выполняется аналогично прогнозам парной линейной регрессии.
Точечный
прогноз
получается при подстановке
прогнозных значений факторных признаков
в уравнение регрессии. Полученное
значение
является
точечным прогнозом
результативного признака
.
Интервальный
прогноз
указывает нижнюю и верхнюю
границу промежутка, в котором находится
истинное значение прогнозируемого
показателя
.
Доверительный интервал определяется
выражением
т.е. истинное значение
прогнозируемого показателя
с вероятностью 1 -принадлежит доверительному интервалу.
Пример 3.9. По данным таблицы 3.17 записать уравнение регрессии и выполнить анализ полученной модели.
Решение. Так как инструмент «Регрессия» может выполнять только линейный регрессионный анализ, то в итоге имеем следующее уравнение многомерной линейной регрессии
Таблица 3.17. Результаты работы инструментаРегрессия
Выполним анализ полученной модели регрессии:
Следовательно, модель регрессии пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозирования.
Проанализируем наличие парной корреляционной связи между факторными признаками, входящими в модель регрессии, по корреляционной матрице (рис.3.8):
Рис.3.8. Корреляционная матрица
Обозначения
к корреляционной матрице:
-
производительность труда (среднегодовая
выработка продукции на одного работника),
тыс. грн.;
-
трудоемкость единицы продукции;
-
удельный вес рабочих в составе
промышленно-производственного персонала;
-коэффициент
сменности оборудования;
-
премии и вознаграждения на одного
работника, %;
-
непроизводственные расходы, %.
Следовательно, на основе исследуемой многомерной выборки можно сделать вывод, что из рассматриваемых факторных признаков на производительность труда оказывают влияние трудоемкость единицы продукции и премии. Эти факторные признаки следует включить в модель многомерной нелинейной регрессии.
Так как коэффициент детерминации сравнительно мал, то при разработке модели регрессии следует рассмотреть дополнительные неучтенные факторные признаки.
В
таблице 3.18 приведены результаты работы
инструмента «Регрессия» для модели
регрессии без факторного признака
Выполните
анализ этой модели регрессии.
Экономическая интерпретация коэффициентов регрессии в целом является завершающим этапом эконометрического моделирования на основе совокупности исходных данных. В данном случае экономическая интерпретация - это объяснение смысла, содержания полученных коэффициентов регрессии. На экономическую интерпретацию коэффициентов регрессии оказывают влияние такие факторы, как сфера экономики, для которой строится эконометрическая модель, количество исходных данных (объем совокупности) для анализа изучаемого явления и т.п. Одним из важнейших факторов интерпретации коэффициентов регрессии является вид полученной модели.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Коэффициент множественной регрессии bj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y , если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом.
Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора: V < V. и наоборот.
В линейной множественной регрессии коэффициенты при хi характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменных значениях других факторов, закреплённых на среднем уровне.
При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функция потребления Сt имеет вид Сt = b0 + b1* Rt + b2* Rt-1 +epsilont, то потребление за t-й период времени зависит от дохода того же периода Rt и от дохода предшествующего периода Rt-1. Соответственно, коэффициент b1 характеризует эффект от единичного возрастания дохода Rt при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b1 обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на величину b = b1+b2. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная предельная склонность к потреблению.
Уравнение парной степенной модели имеет вид: у = а х^b
В уравнении парной степенной регрессии параметр b показывает: на сколько процентов изменится результативный показатель, при изменении фактора на /%, то есть является коэффициентом эластичности. Знак при коэффициенте регрессии указывает направление связи между фактором и результативным показателем: если Ь>0, следовательно, связь прямая и с увеличением значения фактора (х) возрастает и значение результативного показателя (у); если Ь<0, следовательно, связь обратная и с увеличением значения фактора (х) снижается значение результативного показателя.Таким образом, при увеличении расходов на конечное потребление на 1 %, в среднем доля расходов на питание снижается на 0,5.
Таким образом, получили, что показатели степени при переменных в мультипликативной степенной модели являются соответствующими коэффициентами эластичности. Это важное свойство степенных моделей.
Уравнение регрессии
Уравнение регрессии - это математическая формула, определяющая, каким будет среднее значение у при том или ином значении х, если все остальные факторы, влияющие на у, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них.
Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью которой можно наиболее точно отразить зависимость между х и у, - первая задача регрессионного анализа. Виды уравнений:
1) линейная зависимость ;
2) парабола 
;
3) гипербола ;
4) показательная функция ;
5) степенная функция и т.д.
Главным основанием для выбора типа функции должен быть содержательный анализ природы изучаемого явления. Полезно отразить зависимость графически.
Метод наименьших квадратов
Далее необходимо определить параметры уравнения регрессии а 0 и а 1 , (для параболы еще и а 2 ). Для этого используют метод наименьших квадратов. В его основу положена идея минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений у от их выравненных (теоретических) значений, т.е.
где у i - фактические значения результативного признака;
y i (x i) - значения у, найденные по уравнению регрессии.
Если регрессия линейная , то
Рассматривая сумму в качестве функции параметров а 0 и а 1 , определяют частные производные по а 0 и а 1 и приравнивают их к нулю, поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю:
Система уравнений для разных типов зависимости между признаками
Если связь между признаками линейная, то система уравнений для нахождения параметров уравнения регрессии примет вид:
После решения системы относительно а 1 и а 1 составляют уравнение регрессии .
Если связь между признаками у их описывается уравнением параболы , то система нормальных уравнений примет вид:
Экономический смысл параметров уравнения линейной регрессии
В уравнении линейной регрессии параметр а 0 определяет среднее значение y которое складывается под влиянием всех факторов, кроме х .
Параметр а 1 называется коэффициентом регрессии, он определяет, на сколько в среднем изменится у при изменении факторного признака на единицу. Чем больше величина а 1 , тем значительнее влияние данного факторного признака на моделируемый результативный. Знак коэффициента регрессии говорит о характере влияния фактора на результативный признак.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результативный признаку при изменении факторного признака на 1%. Общая формула для расчета коэффициента эластичности выглядит следующим образом:
,
где у"(х) - первая производная уравнения регрессии у(х) по х .
При различных значениях факторного признака х коэффициент эластичности принимает различные значения.
Для линейного уравнения регрессии коэффициент эластичности примет вид:
Для параболической связи коэффициент эластичности равен:
.
Для гиперболической связи коэффициент эластичности равен:
3. Корреляционный анализ. Показатели тесноты связи между признаками
В случае линейной зависимости между признаками для оценки тесноты связи применяют линейный коэффициент корреляции :
Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Если |r| <0,3, то связь слабая. Если 0,3 <|r| < 0,7, то связь средняя. Если 0,7 < |r| < 0,9, то связь выше средней или тесная. Если |r| > 0,9, то связь сильная или весьма тесная. Если , то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между х и у.
1. Построим уравнения степенной нелинейной регрессии вида для пар переменных y, x.
Нахождение модели парной регрессии сводится к оценке уравнения в целом и по параметрам (b0, b1). Для оценки параметров однофакторной модели используют метод наименьших квадратов (МНК). В МНК получается, что сумма квадратов отклонений фактических значений показателя у от теоретических ух минимальна
Сущность нелинейных уравнений заключается в приведении их к линейному виду и как при линейных уравнениях решается система относительно коэффициентов b0 и b1.
Рисунок 3 Линия регрессии на корреляционном поле. Ось ординат - значения y(Производительность труда), ось абсцисс -значения x (Удельный вес рабочих в составе ППП)
Рисунок 4 Линия регрессии на корреляционном поле. Ось ординат - значения y(степ.функция), ось абсцисс -значения x (Удельный вес рабочих в составе ППП)
Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:
Полученное значение между 20% и 50%, что свидетельствует о существенности удовлетворительного отклонения расчетных данных от фактических, по которым построена эконометрическая модель.
Исследование статистической значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера. Расчетное значение критерия находится по формуле:
Для парного уравнения p = 1.
Табличное (теоретическое) значение критерия находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости по уровню значимости б и двум числам степеней свободы k1 = p = 1 и k2 = n - p - 1 = 51.
Если Fрасч то гипотеза принимается, а уравнение линейной регрессии в целом считается статистически незначимым (с вероятностью ошибки 5%).Для уравнения Fрасч = 0,01609). Неравенство выполняется. Уравнение в целом статистически незначимо. Теснота нелинейной корреляционной связи определяется с помощью корреляционных отношений (индекс корреляции). И корреляция 1.1.
Понятие регрессии Парной регрессией называется уравнение связи двух переменных у и х вида y
= f
(x
), где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор). Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия описывается уравнением: y
= a
+ b
× x
+e .
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Примеры регрессий, нелинейных по объясняющим переменным,
но ли- нейных по оцениваемым параметрам: · полиномы разных степеней · равносторонняя гипербола: Примеры регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам: · степенная · показательная · экспоненциальная Наиболее часто применяются следующие модели регрессий: – прямой – гиперболы – параболы – показательной функции – степенная функция 1.2.
Построение уравнения регрессии
Постановка задачи.
По имеющимся данным n
наблюдений за совместным изменением двух параметров x
и y
{(xi
,yi
), i=1,2,...,n} необходимо определить аналитическую зависимость ŷ=f(x)
, наилучшим образом описывающую данные наблюдений. Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа (предполагает решение двух задач): – спецификация модели (определение вида аналитической зависимости ŷ=f(x)
); – оценка параметров выбранной модели. 1.2.1.
Спецификация модели Парная регрессия применяется, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной. Применяется три основных метода выбора вида аналитической зависимости: – графический (на основе анализа поля корреляций); – аналитический, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи; – экспериментальный, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии D
ост или средней ошибки аппроксимации , рассчитанных для различных
моделей регрессии (метод перебора). 1.2.2.
Оценка параметров модели Для оценки параметров регрессий, линейных по этим параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК).
МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений ŷx
при тех же значениях фактора x
минимальна, т. е. В случае линейной регрессии параметры а и b
находятся из следующей системы нормальных уравнений метода МНК: Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x
, y
) → (x’
, y’
), система нормальных уравнений имеет вид (1.1) в преобразованных переменных x’
, y’
. Коэффициент b
при факторной переменной x
имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина y
при изменении фактора x
на 1 единицу измерения . Гиперболическая регрессия
:
x’ = 1/x
; y’ = y
. Уравнения (1.1) и формулы (1.2) принимают вид Экспоненциальная регрессия:
Линеаризующее преобразование: x’ = x
; y’ = lny
. Модифицированная экспонента
: Линеаризующее преобразование: x’ = x
; y’ = ln
│y –
К│. Величина предела роста K
выбирается предварительно на основе анализа поля корреляций либо из качественных соображений. Параметр a
0 берется со знаком «+», если y
х > K
и со знаком «–» в противном случае. Степенная функция:
Линеаризующее преобразование: x’ = ln x
; y’ = ln y
. Показательная функция:
Линеаризующее преобразование: x’ = x
; y’ = lny
. https://pandia.ru/text/78/146/images/image026_7.jpg" width="459" height="64 src="> Парабола второго порядка
: Парабола второго порядка имеет 3 параметра a
0, a
1, a
2, которые определяются из системы трех уравнений 1.3.
Оценка тесноты связи
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции rxy
для линейной регрессии (–1 ≤ r xy
≤ 1) и индекс корреляции ρxy
для нелинейной регрессии Имеет место соотношение Долю дисперсии, объясняемую регрессией
, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации r2xy
(для линейной регрессии) или индекс детерминации
(для нелинейной регрессии). Коэффициент детерминации
– квадрат коэффициента или индекса корреляции. Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать показатель (коэффициент, индекс) детерминации R
2 либо среднюю ошибку аппроксимации. Чем выше показатель детерминации или чем ниже средняя ошибка аппроксимации, тем лучше модель описывает исходные данные. Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение расчетных значений от фактических Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если значение не превышает 10–12 %.
1.4.
Оценка значимости уравнения регрессии, его коэффициентов,
коэффициента детерминации
Оценка значимости всего уравнения регрессии в целом осуществляется с помощью F
-критерия Фишера. F-
критерий Фишера заключается в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии.
Для этого выполняется сравнение фактического F
факт и критического (табличного) F
табл значений F-
критерия Фишера.
F
факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы где n
– число единиц совокупности; m
– число параметров при переменных. Для линейной регрессии m
= 1 .
Для нелинейной регрессии вместо r
2 xy
используется R
2. F
табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы k1 = m
, k2 = n – m
– 1 (для линейной регрессии m
= 1) и уровне значимости α. Уровень значимости α –
вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно величина α принимается равной 0,05 или Если F
табл < F
факт, то Н0
-гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F
табл > F
факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии. Для оценки статистической значимости коэффициентов линейной регрессии
и линейного коэффициента парной корреляции применяется
t-
критерий Стьюдента и рассчитываются доверительные интервалы каждого из показателей. Согласно t-
критерию выдвигается гипотеза Н0
о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия t
факт для оцениваемых коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки
Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам t
табл и t
факт принимают или отвергают гипотезу Но. t
табл
– максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данной степени свободы k = n–
2 и уровне значимости α. Связь между F-
критерием Фишера (при k
1 = 1; m
=1) и t-
критерием Стьюдента выражается равенством Если t
табл < t
факт, то Но отклоняется, т. е. a, b
и не случайно отличаются
от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х.
Если t
табл > t
факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b
или https://pandia.ru/text/78/146/images/image041_2.jpg" width="574" height="59"> F
табл определяется из таблицы при степенях свободы k
1 = 1, k
2 = n
–2 и при заданном уровне значимости α. Если F
табл < F
факт, то признается статистическая значимость коэффициента детерминации. В формуле (1.6) величина m
означает число параметров при переменных в соответствующем уравнении регрессии. 1.5.
Расчет доверительных интервалов
Рассчитанные значения показателей (коэффициенты a
, b
, ) являются
приближенными, полученными на основе имеющихся выборочных данных. Для оценки того, насколько точные значения показателей могут отличаться от рассчитанных, осуществляется построение доверительных интервалов. Доверительные интервалы определяют пределы, в которых лежат точные значения определяемых показателей с заданной степенью уверенности, соответствующей заданному уровню значимости α. Для расчета доверительных интервалов для параметров a
и b
уравнения линейной регрессии определяем предельную ошибку
Δ для каждого показателя: Величина t
табл представляет собой табличное значение t-
критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при степени свободы k
= n
–2 и заданном уровне значимости α. Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид: https://pandia.ru/text/78/146/images/image045_3.jpg" width="188" height="62"> где t
γ – значение случайной величины, подчиняющейся стандартному нормальному распределению, соответствующее вероятности γ = 1 – α/2 (α – уровень значимости); z’ = Z (rxy)
– значение Z-
распределения Фишера, соответствующее полученному значению линейного коэффициента корреляции rxy
. Граничные значения доверительного интервала (r–
, r+
) для rxy
получаются из граничных значений доверительного интервала (z–
, z+
) для z
с помощью функции, обратной Z-
распределению Фишера 1.6.
Точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной
регрессии
Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения уp
, которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии
соответствующего (прогнозного Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ уpmin,
уpmax
интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения https://pandia.ru/text/78/146/images/image050_2.jpg" width="37" height="44 src=">
и затем строится доверительный интервал прогноза
, т. е. определяются нижняя и верхняя границы интервала прогноза
Контрольные вопросы:
1. Что понимается под парной регрессией? 2. Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии? 3. Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии? 4. Какие функции чаще всего используются для построения уравнения парной регрессии? 5. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае линейной регрессии? 6. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае гиперболической, показательной регрессии? 7. По какой формуле вычисляется линейный коэффициент парной корреляции r xy
? 8. Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции? 9. Как вычисляется индекс корреляции? 10. Как вычисляется и что показывает индекс детерминации? 11. Как проверяется значимость уравнения регрессии и отдельных коэффициентов? 12. Как строится доверительный интервал прогноза в случае линейной регрессии? Лабораторная работа № 1
Задание.1 На основании данных табл. П1 для соответствующего варианта (табл. 1.1): 1. Вычислить линейный коэффициент парной корреляции. 2. Проверить значимость коэффициента парной корреляции. 3. Построить доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции. Задание. 2 На основании данных табл. П1 для соответствующего варианта (табл. 1.1): 1. Построить предложенные уравнения регрессии, включая линейную регрессию. 2. Вычислить индексы парной корреляции для каждого уравнения. 3. Проверить значимость уравнений регрессии и отдельных коэффициентов линейного уравнения. 4. Определить лучшее уравнение регрессии на основе средней ошибки аппроксимации. 5. Построить интервальный прогноз для значения x
= x
max для линейного уравнения регрессии. Требования к оформлению результатов
Отчет о лабораторной работе должен содержать разделы: 1. Описание задания; 2. Описание решения лабораторной работы (по этапам); 3. Изложение полученных результатов. Таблица П1
Исходные данные к лабораторным работам № 1, 2
Наличие предметов длительного пользования в домашних хозяйствах по регионам Российской Федерации (европейская часть территории без республик Северного Кавказа) (по материалам выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств; на 100 домохозяйств; штук)
(1.1)
(1.2)
, (0 < a
1 < 1).
Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-
статистики
) значения x
p
