Здравствуйте! В этой публикации рассмотрим задачи на сплавы. Это типовые задания, входят в открытый банк задач. На блоге уже опубликованы – (обязательно посмотрите вступление, там общие рекомендации для решения задач на смеси, сплавы, растворы), задачи .
Многие ребята очень не любят задания такого рода. Но при структурированном размещении данных в табличной форме решение приходит как бы само собой. Рассмотрим задачи:
99575. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть «х» это масса первого сплава, «у» масса второго. Составим таблицу и внесём данные:
Решим систему, выражаем х=200–у. Подставляем во второе уравнение системы:
Значит х=200–у=200–150=50.
*Другой подход к решению.
Пусть масса первого сплава равна «х» кг, а масса второго равна «у» кг. В результате получили сплав массой х+у=200 кг. Построим эскиз:
Первое уравнение - масса получившегося сплава, второе - выражает массу никеля. Решив систему получим: у=150 х=50.
Таким образом, масса первого сплава меньше массы второго на 100 кг.
Решите самостоятельно:
Имеется два сплава. Первый содержит 20% никеля, второй - 60% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 400 кг, содержащий 50% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение: Примем массу первого сплава за х кг, а массу второго сплава за у кг. Так как сказано, что из них получили третий, то можно составить уравнение х+у=400. Также запишем данные в следующем виде в таблицу:
Получаем второе уравнение:
Можем решить систему:
Значит масса первого сплава равна 100 кг, второго 300 кг. Масса первого меньше массы второго на 200 килограмм.
99576. Первый сплав содержит 10% меди, второй- 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Обозначим массу первого сплава как «х» кг, второго «у» кг. Запишем данные:
По условию «Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг », значит:
Можем записать систему из двух уравнений:
Первое уравнение для количества меди, во втором выразили разность между массами сплавов, оговоренную в условии. Решаем, выражаем: х=у–3, тогда
Получили х=3 у=6.
Таким образом, масса полученного сплава равна 3 + 6=9.
*Другой подход к решению.
Пусть масса первого сплава равна «х» кг, масса второго равна «у» кг. В результате получили сплав массой (х+у) кг. Строим эскиз:
Можем записать систему из двух уравнений:
Решаем. Получим х=3 у=6.
Таким образом, масса полученного сплава равна 3+6=9 кг.
Материал предоставил репетитор по математике и информатике из Челябинска .
С уважением, Александр.
Решение:
Вот так выглядит краткое условие в рисунке:
Пусть в сосуде изначально было л некоторого вещества.
Составляем пропорцию:
Откуда л.
После того, как в сосуд долили 7 литров воды, воды стало 14 л, а некоторого вещества по-прежнему л.
Составим очередную пропорцию:
Откуда процент некоторого вещества в сосуде есть
Задача 2.
Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
Пусть – вес первого раствора.
В нем некоторого вещества:
Второго вещества по весу взяли столько же, – . В нем того же некоторого вещества, что и в первом:
Тогда в смешанном растворе будет по весу некоторого вещества.
Наконец, составляя последнюю пропорцию, получаем:
Концентрация раствора: %.
Задача 3.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение:
Пусть кг – масса первого сплава. Тогда согласно условию кг – масса второго сплава.
В первом сплаве кг никеля, во втором – кг никеля.
Тогда в новом сплаве кг никеля.
Стало быть,
Значит, масса второго сплава – кг, что на кг больше массы первого сплава.
Задача 4.
Смешав 54-процентный и 61-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение:
Пусть вес первого расвора литров. В нем согласно условию л кислоты.
Пусть вес второго раствора литров. В нем согласно условию л кислоты.
При смешивании двух растворов и добавлении 10 л воды, мы получим раствор весом л и кислоты в нем будет .
Составим пропорцию:
Рассмотрим второй случай.
При смешивании двух растворов и добавлении 10 л 50%-го раствора кислоты, мы получим раствор весом л и кислоты в нем будет .
Составим пропорцию:
Итак, нам предстоит решить систему уравнений:
Вычитая строки, получаем:
Задача 5.
Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй - 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение:
Ситуация 1.
Пусть % – концентрация кислоты в первом растворе, % – концентрация кислоты во втором растворе.
Ситуация 2.
Пусть вес каждого смешиваемого раствора – кг.
Итак, нам предстоит работать с системой уравнений:
Складывая уравнения системы, получаем:
Тогда в первом растворе содержится кг кислоты.
Задача 6.
Виноград содержит 90% влаги, а изюм - 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 40 килограммов изюма?
Решение:
Рисунок наглядно иллюстрирует условие задачи:
Обратите внимание! Что очень важно понимать для решения данной задачи?
«Твердая часть винограда» = «твердая часть изюма»!
Начнем с изюма .
Обозначим за кг твердую часть винограда (изюма). Она составляет 95% веса изюма.
Итак, в изюме массой 40 кг, также как и в винограде, из которого он получен, твердая часть – кг.
Переходим к винограду .
Твердая часть в винограде занимает 10% веса. Обозначим за кг массу винограда.
Итак, необходимо взять 380 кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма) .
Ответ: 380.
Задача 7.
В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 1%, а в 2010 году - на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Решение:
1) 1% (то есть сотая часть) от 40000 жителей – это 400 человек.
Значит, в 2009 годы число жителей составило человек.
2) Найдем 9% от 40400 жителей: (человек).
Итак, в 2010 году в квартале стало проживать человек.
Ответ: 44036.
Задача 8.
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение:
1) Пусть в понедельник акции компании подорожали на %, а до повышения цены стоимость акций обозначим за .
Итак, в понедельник цена акций будет составлять % по отношению к стоимости акций до повышения.
Поэтому новая цена акций на понедельник: .
2) Вторник. Цена акций будет составлять % по отношению к стоимости акций в понедельник.
Поэтому новая цена акций на вторник: .
3) Что мы имеем? На открытие торгов в понедельнки стоимость акций – , во вторник стоимость акций – при этом последняя стоимость акций составляет % от стоимости на открытие торгов.
Перед нами пропорция:
Откуда получаем, что %.
Задача 9.
Шесть рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять рубашек дороже куртки?
Решение:
Согласно условию цена 6 рубашек составляет 98% по отношению к цене куртки.
А значит, 1 рубашка составляет % по отношению к цене куртки.
Стало быть, 9 рубашек составляют % по отношению к цене куртки.
То есть 9 рубашек дороже куртки на 47 %.
Задачу, аналогичную задаче №9, можно посмотреть и в видеоформате:
Задача 10.
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 65%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение:
Пусть зарплата мужа – рублей, жены – , стипендия дочери – .
Тогда общий доход семьи –
Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, то есть стала бы , то общий доход семьи увеличился бы на рублей.
То есть, согласно условию, рублей составляет % от общего дохода семьи (до повышения зарплаты мужа).
Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, то есть стала бы , то общий доход семьи уменьшился бы на рублей, что соответствует, согласно условию, 2% от первоначального общего дохода семьи. Значит, стипендия дочери () составляет 4% от дохода семьи.
Выясним, наконец , сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены:
Задача 11.
Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Дима внес 26% уставного капитала, Андрей - 55000 рублей, Гриша - 0,16 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.
Решение:
Найдем процент уставного капитала Андрея:
А так как проценты уставного капитала Димы и Гриши % и % соответственно, то уставной процент Коли – %.
А значит, от прибыли в 1000000 рублей он получит рублей.
Ответ: 305000.
Задача 12.
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20700 рублей, через два года был продан за 16767 рублей.
Решение:
Пусть цена холодильника ежегодно уменьшаетя на процентов.
Тогда через год после выставления на продажу он будет стоить рублей.
Еще через год цена на холодильник будет такой:
А поскольку холодильник через два года был продан за 16767 рублей, то составим уравнение:
Откуда %.
Прототип Задания B14 (№99576 )
Первый сплав содержит 10% меди, второй - 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава . Ответ дайте в килограммах.
Решение
Пусть x (кг) - масса первого сплава, тогда (x+3) (кг) - масса второго сплава.
Так как первый сплав содержит 10% меди, то в нем 0,1x (кг) меди. Во втором сплаве - 0,4(x+3) (кг) меди.
Масса полученного сплава равна x+x+3 = 2x+3 (кг).
Так как из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди, то составим и решим уравнение:
0,1x+0,4(x+3) = 0,3(2x+3),
0,1x+0,4x+1,2 = 0,6x+0,9,
0,6x-0,5x = 1,2-0,9,
Тогда масса третьего сплава равна 2*3+3 = 6+3 = 9.
Прототип Задания B14 (№99575 )
Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение
x+y = 200. (уравнение 1)
В первом сплаве содержится 10 % никеля, т.е. 0,1x (кг) никеля, а во втором сплаве - 30% никеля, т.е. 0,3y (кг) никеля. Третий сплав содержит 25% никеля, т.е. 0,25*200 = 50 (кг) никеля. Получаем уравнение:
x+3y = 500. (уравнение 2)
x+3y - (x+y) = 500 - 200,
x = 200 - 150 = 50.
Тогда y-x = 150 - 50 = 100 (кг), т.е. масса первого сплава меньше массы второго сплава на 100 кг.
Ответ: 100.
Задание B14 (ЕГЭ 2014 )
Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй – 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора меньше массы второго?
Решение
Пусть x (кг) - масса первого раствора, y (кг) - масса второго раствора. Тогда масса третьего раствора равна
x+y = 200. (уравнение 1)
В первом растворе содержится 10 % соли, т.е. 0,1x (кг) соли, а во втором растворе - 30% соли, т.е. 0,3y (кг) соли. Третий раствор содержит 25% соли, т.е. 0,25*200 = 50 (кг) соли. Получаем уравнение:
Умножим последнее уравнение на 10, получим:
x+3y = 500. (уравнение 2)
Вычтем из уравнения 2 уравнение 1:
x+3y - (x+y) = 500 - 200,
x = 200 - 150 = 50.
Тогда y-x = 150 - 50 = 100 (кг), т.е. масса первого раствора меньше массы второго раствора на 100 кг.
Ответ: 100.
Задание B14 (ЕГЭ 2014 )
Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго сплава?
Решение
Пусть x (кг) - масса первого сплава, y (кг) - масса второго сплава. Тогда масса третьего сплава равна
x+y = 225. (уравнение 1)
В первом сплаве содержится 10 % никеля, т.е. 0,1x (кг) никеля, а во втором сплаве - 35% никеля, т.е. 0,35y (кг) никеля. Третий сплав содержит 30% никеля, т.е. 0,3*225 = 67,5 (кг) никеля. Получаем уравнение:
0,1x+0,35y = 67,5.
Умножим последнее уравнение на 10, получим:
x+3,5y = 675. (уравнение 2)
Вычтем из уравнения 2 уравнение 1:
x+3,5y - (x+y) = 675 - 225,
x = 225 - 180 = 45.
Тогда y-x = 180 - 45 = 135 (кг), т.е. масса первого сплава меньше массы второго сплава на 135 кг.
Ответ: 135.
Задание B14 (ЕГЭ 2014 )
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 25 км. Путь из А в В занял у туриста 6 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть x (км/ч) - скорость туриста на спуске. Тогда скорость туриста на подъеме равна x-1 (км/ч).
Путь на подъеме занял 6-1 = 5 часов. Составим уравнение:
x = 5 (км/ч) - скорость туриста на спуске.
Задание B14 (ЕГЭ 2014 )
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 38 км. Путь из А в В занял у туриста 8 часов, из которых 6 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске , если она больше скорости на подъёме на 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть x (км/ч) - скорость туриста на спуске. Тогда скорость туриста на подъеме равна x-5 (км/ч).
Путь на подъеме занял 8-6 = 2 часа. Составим уравнение:
x = 6 (км/ч) - скорость туриста на спуске.
Прототип задания B14 (№ 99574 )