Расчет временных параметров сетевой модели. Расчет временных параметров сетевого графика

Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках выполнения отдельных операций и их резервах времени.

Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.

Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.

Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.

Следующий за событием путь - путь от данного события до завершающего.

Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, равна критическому времени выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной линией.

Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.

Пусть продолжительности выполнения операций известны (Рис. 3.5; продолжительности операций расположены у соответствующих дуг графика).

Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно, . Событие (2) свершится, очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно, . Событию (3) предшествуют два пути: и
. Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени, так как . Продолжительность второго пути можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполнения операции (2,3), т. е.
. Поскольку событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то

В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемый срок свершения события (4)

Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и (7). Значения , приписаны соответствующим событиям.

Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:

где – подмножество дуг сети, входящих в событие .

Напротив, увеличение времени выполнения или задержка с выполнением некритических операций может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так, например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего комплекса операций.

Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения. Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика через . Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события совпадают тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по формуле

где – подмножество дуг сети, исходящих из события .

В нашем примере
. Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно, . Аналогично . Из события (4) исходят три операции, поэтому

Аналогично
(на Рис. 3.4 предельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.

Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени события равен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:

Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции равен ожидаемому сроку свершения - го события поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности

Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрами: Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее важными являются полный и свободный резервы.

Полный резерв времени операции показывает, насколько можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле

Свободный резерв времени операции показывает, насколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции , при условии, что начальное и конечное ее события свершаются в ожидаемое время:

Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 3.5).

В табл. 1 приведены основные временные параметры сетевых графиков.

Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

Начнем с параметров событий. Как уже отмечалось, событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок свершения 1-го события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

где - любой путь, предшествующий i - му событию, т.е. путь от исходного до i-го события сети.

Если событие имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события у удобно находить по формуле

Таблица 1.

Элемент сети, характеризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозначение параметра
Событие i	Ранний срок свершения события Поздний срок свершения события Резерв времени события
Работа (i , j )	Продолжительность работы Ранний срок начала работы Ранний срок окончания работы Поздний срок начала работы Поздний срок окончания работы Полный резерв времени работы Частный резерв времени работы первого вида Частный резерв времени работы второго вида или свободный резерв времени работы Независимый резерв времени работы
ПутьL	Продолжительность пути Продолжительность критического пути Резерв времени пути

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

Поэтому поздний (или предельный) срок свершения 1-го события равен

где - любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующий путей, а следовательно, несколько последующих событий j , то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

Резерв времени i-го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а, выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Пример 1. Определить временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис. 6.

Решение. Найденные параметры сведем в табл. 2.

При определении ранних сроков свершения событий двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1) и (2).

Для = 0 (нулевого события), очевидно, что = 0. Для = 1 = 0+8 = 8 (суток), так как для события 1 существует только один предшествующий путь . Для = 2 = 8+9 = 17 (суток), так как для события 2 существует только один предшествующий путь . Для=3 == 13 (суток), так как для события 3 существуют два предшествующих пути и и два предшествующих события 0 и 1.

Таблица 2.

Номер события	Сроки свершения события, сутки		Резерв времени , сутки
Номер события		поздний	Резерв времени , сутки

Аналогично:

23 (суткам);

20 (суткам);

29 (суткам) и т.д.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11 (см. табл. 2):

(суткам).

При определении поздних сроков свершения событий двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево, и используем формулы (3) и (4).

Для =11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): (сутки).

Для = 10 (суток), так как для события 10 существует только один последующий путь .

Для = 9 (суткам), так как для события 9 существуют два последующих пути и и два последующих события 10 и 11.

Аналогично:

(суткам);

(суткам) и т.д.

По формуле (5) определяем резервы времени -го события:

= 0; = 9 - 8 = 1; = 40 - 17 = 23 и т.д.

Резерв времени, например, события 2 - = 23 - означает, что время свершения события 2 может быть задержано на 23 суток без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя табл. 2, видим, что не имеют резервов времени события 0, 3, 5, 6, 9, 11. Эти события и образуют критический путь.

Примечание. Если сетевой график имеет единственный критический путь, то этот путь проходит через все критические события, т.е. события с нулевыми резервами времени. Если критических путей несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруднено, так как через часть критических событий могут проходить как критические, так и некритические пути. В этом случае для определения критических путей рекомендуется использовать критические раб оты.

Теперь перейдем к параметрам работ .

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок начала работысовпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i , т.е.

Тогда ранний срок окончания работы определяется по формуле

Ни одна работа не может окончиться позже позднего допустимого срока своего конечного события i . Поэтому поздний срок окончания работы определяется соотношением

а поздний срок начала этой работы - соотношением

Таким образом, в рамках сетевой модели моменты начала иокончания работы тесно связаны с соседними событиями ограничениями (6) - (9). ;

Прежде чем рассматривать резервы времени работ, обратимся к резерву времени пути. Такие резервы имеют все некритические пути. Резерв времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем , то критический путь переместится на путь L .

Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени работы показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв определяется по формуле

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок (рис. 8 д).

Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, лежащих на других (не максимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва.

Остальные резервы времени работы являются частями ее полного резерва.

Частный резерв времени первого вида работы есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжи тельность работы, не изменив при этом позднего срока ее начальног о события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки (см. рис. 8 б).

Рис. 8.

находится по формуле

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени работы представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки (см. рис. 8 в). Д. находится по формуле

(14)(15)

Свободным резервом времени можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени работы - часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки (см. рис. 8 г)

Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле (16) или (17), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение не имеет реального смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Следует отметить, что резервы времени работы , показанные на рис. 8, могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работы занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями, изображенными на графиках.

Таким образом, если частный резерв времени первого вида может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а свободный резерв времени - на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

Если на критическом пути лежит начальное событие i , то

Если на критическом пути лежит конечное событие j , то

Если на критическом пути лежат начальное и конечное события i и j , но сама работа не принадлежит этому пути, то

Соотношения (18) - (20) можно использовать при проверке правильности расчетов резервов времени отдельных работ.

С помощью критических работ, т.е. работ, не имеющих резервов времени, может быть определен критический путь сетевого графика. Этот способ определения критического пути целесообразно использовать тогда, когда сеть содержит несколько критических путей.

Пример 2. Вычислить временные параметры работ для сетевого графика, изображенного на рис. 6.

Результаты расчетов сведем в табл. 2.

Вычисление временных параметров работы покажем на примере работы (1 ,4):

ранний срок начала работы (по формуле (6)): (суток),

ранний срок окончания работы (по формуле (7)): (суток);

поздний срок начала работы (по формуле (9)): (суток), где ;

поздний срок окончания работы (по формуле (8)): (суток).

Таким образом, работа (1, 4) должна начаться в интервале (суток) и окончиться в интервале (суток) от начала выполнения проекта.

Полный резерв работы (7,4) (по формуле (11)): (суток), т.е. срок выполнения данной работы можно увеличить на 12 суток, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится.

Таблица 3.

Продолжительность работы	Сроки начала и окончания работы	Резервы времени работы
Продолжительность работы

Продолжительность работы	Сроки начала и окончания работы	Резервы времени работы
	Сроки начала и окончания работы	Резервы времени работы

Покажем на примере работы (1, 4), что полный резерв времени работы равен продолжительности максимального из путей, проходящих через данную работу.

Через работу (1 , 4) проходят семь полных путей (см. рис. 6):

	Продолжительность, сутки

Отсюда максимальным из путей, проходящих через работу (1, 4), является путьпродолжительностью 49 (суток), резерв времени которого (по формуле (9))=61-49=12 (суток).

Как видим, полный резерв времени работы (1, 4) оказался равным резерву пути -максимального из путей, проходящих через эту работу. Если увеличить продолжительность выполнения работы t (1, 4) на 12 суток, т.е. с 6 до 18 суток, то полностью будет: исчерпан резерв времени пути , т.е. этот путь станет также критическим, а резервы времени других путей уменьшатся соответственно на 12 суток.

Частный резерв времени работы (1, 4) первого вида определим по формуле (10) (или по формуле 12): (суток) или 12-1 = 11 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта на 11 суток может быть задержано выполнение работы (1, 4) и последующих работ (по любому из путей) без затрат резерва времени предшествующих ей работ (в данном случае без затрат резерва времени одной предшествующей работы (0,1)).

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени, работы (7, 4) найдем по формуле (12) (или 13)): = 23 – 8 - 6 = 9 (суток) или = 12 - 3 = 9 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта на 9 суток может быть задержано выполнение работы (1, 4) и предшествующих ей работ (в данном случае работы (0,1)) без нарушения резерва времени последующих работ.

Независимый резерв времени работы (1, 4) определим по формуле (16) (или (17)): = 23-9-6 = 8 (суток) или = 12-1-3 = 8 (суток), т.е. на 8 суток может быть увеличена продолжительность работы (/, 4) без изменения резервов времени всех остальных работ.

Обратим внимание на то, что независимые резервы работ (1, 2), (2, 7) и (4, 7) отрицательны (в табл. 14.3 они обозначены прочерком). Например, = 33 – 40 - 3 = -10. Это означает, что работа (2, 7) продолжительностью 3 (суток) должна закончиться на 33-и сутки после начала комплекса работ, а начаться на 40-е сутки, что, естественно, невозможно.

Подчеркнем, что резервы критических работ (0, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9, 10), (10, II ), так же как и резервы критических событий, равны нулю.

Рис. 9.

Следует отметить, что в случае достаточно простых сетевых графиков результаты расчета их временных параметров можно фиксировать прямо на графике. Параметры событий записываются в кружках, разделенных на четыре части, а параметры работ - над соответствующими стрелками (рис. 9). При этом отпадает необходимость составления таблиц.

Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью , оперирующая сторона должна располагать количественными параметрами элементов сети. К таким параметрам относятся: продолжительность выполнения всего комплекса операций, сроки выполнения отдельных операций и их резервы времени. Важнейшим параметром сетевого графика является также критический путь. Различают такие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.

Путь сетевого графика называется полным , если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.

Предшествующий событию путь – это путь от исходного события до данного.

Следующий за событием путь есть путь от данного события до завершающего.

Критическим называется полный путь, имеющий наибольшую продолжительность по времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями . Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, составляет критическое время t кр выполнения комплекса операций в целом. На графике критический путь, как правило, выполняется жирной линией.

Расчет параметров сетевого графика может осуществляться различными методами. Рассмотрим один из них.

Предположим, что продолжительности t ij , выполнения операций(i , j ) известны и обозначены у соответствующих дуг графика (рис. 6 ).

Определим, прежде всего, ожидаемые (ранние) сроки t i свершения событий (i ) сетевого графика.

Рис. 6.

Ожидаемый (ранний) срок совершения данного события (j ) сетевого графика равен продолжительности максимального пути, предшествующего этому событию. Расчет t j свершения j -го события ведется слева направо, начиная с исходного события и заканчивая событием j . Общая формула для нахождения ожидаемых сроков свершения событий:

;

где – подмножество дуг сети, входящих в событие(j ).

Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно, t 1 = 0. Событие (2) свершится спустя 2 единицы времени после свершения события (1), т.к. время выполнения операции (1,2) равно 2. Значит, Событию (3) предшествуют два пути
и
. Значит,

Расчеты приведены в табл. 4.2.

Значения t i ,
, приписаны соответствующим событиям нарис. 6 .

Ожидаемый срок свершения события (7) t 7 =11 совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь от завершающего события к исходному, можно выделить операции, принадлежащие критическому пути. Критический путь в нашем примере выделен жирной линией. Увеличение времени выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению выполнения комплекса операций. Для некритических операций есть резервы времени.

Для событий, не лежащих на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения
. Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события(n ) совпадают
. Тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций

;

где – подмножество дуг сети, исходящих из события(i ).

В нашем примере
.

, т. к. из события (5) исходит одна операция.

Из события (4) исходят три операции, поэтому

и т. д. (см. табл. 4.2 ).

На рис. 6 предельные сроки свершения событий указаны в скобках. Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.

Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени R i события (i ) равен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения

Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в диалектическом единстве со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции (i , j ) равен ожидаемому сроку свершения события (i )
;поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события
;поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью
;ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности
.

Сроки выполнения операций находятся на границах, определяемых параметрами
. Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают четыре разновидности резервов времени операций: полный, свободный, частный первого вида и частный второго вида.

Полный резерв времени операции показывает, на сколько можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность. не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле:

Свободный резерв времени операции R показывает, на сколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции (i , j ), при условии, что начальное и конечное события свершаются в ожидаемое время:

Частный резерв времени первого вида i , j ) в предположении, что начальное и конечное события свершаются в предельные сроки:

Частный резерв времени второго вида – это запас времени, которым можно располагать при выполнении операции (i , j ) в предположении, что ее начальное событие свершится в предельное, а конечное – в ожидаемое время. Для некоторых операций интервал времени между предельным сроком свершения начального события и ожидаемым сроком свершения конечного события может быть меньше их продолжительности. В этом случае принимается равным нулю. Определяется частный резерв времени второго вида по формуле:

Найдем резервы времени операции (4, 6) сетевого графика (рис. 6 ):

Перечисленные параметры сетевого графика служат для оценки его пригодности в качестве плана выполнения комплекса операций. В случае, когда критическое время выполнения комплекса операций превышает срок, заданный оперирующей стороной, необходим анализ сетевого графика и его оптимизация, под которой понимают любое улучшение структуры сети или ее параметров. Такого рода оптимизационные задачи могут быть решены методами линейной или нелинейной оптимизации.

Для примера определим ранний и предельный сроки свершения всех событий, их резервы времени, критический путь. Расчеты поместим в табл. 4.2 .

Таблица 4.2

Сроки свершения событий		Резерв времени, R i
Ранний, t i	Предельный,	Резерв времени, R i

Критический путь проходит через события с нулевыми резервами времени через следующие операции:
. Длина критического пути равна 11 ед. времени.

Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.

Следующий за событием путь - путь от данного события до завершающего.

Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.

Пусть продолжительности выполнения операций известны (Рис. 5.5; продолжительности операций расположены у соответствующих дуг графика).

Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно,
. Событие (2) свершится, очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно, . Событию (3) предшествуют два пути:
и
. Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени, так как
. Продолжительность второго пути можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполнения операции (2,3), т. е.
. Поскольку событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то

Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и (7). Значения ,
приписаны соответствующим событиям.

Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:

где
– подмножество дуг сети, входящих в событие
.

Ожидаемый срок свершения события (7)
совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь теперь от завершающего события к исходному, выделим операции, принадлежащие критическому пути. Из трех операций, входящих в событие (7),
определила операция (5,7), выполнение которой начинается после свершения события (5) и продолжается 3 ед. времени. Момент свершения события (5) определила операция (3,5), так как
. В свою очередь момент свершения события (3) определила операция (2,3), а события (2) – операция (1,2). Эти операции на рис. 5.6 выделены жирной линией. Таким образом, критический путь. Увеличение времени выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению времени выполнения всего комплекса операций. Напротив, увеличение времени выполнения или задержка с выполнением некритических операций может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так, например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего комплекса операций.

Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения. Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика через
. Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события
совпадают
тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по формуле

где
– подмножество дуг сети, исходящих из события.

В нашем примере
. Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно,
. Аналогично
. Из события (4) исходят три операции, поэтому

Аналогично
(на Рис. 5.4 предельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.

Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени событияравен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:

Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции
равен ожидаемому сроку свершения- го события
поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события
поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью
ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности

Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрами:
Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее важными являются полный и свободный резервы.

Свободный резерв времени операции показывает, насколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции
, при условии, что начальное и конечное ее события свершаются в ожидаемое время:

Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 5.5):

Поэтому поздний (или предельный) срок свершения 1-го события равен

Популярное