Предприниматель должен принять решение о приобретении d единиц продукции, которую выпускают две фирмы. Известно, что если он закажет первой фирме х изделий, то ему придется заплатить ей
f 1 (x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 (руб.),
а при выполнении этого заказа второй фирмой его затраты составят
f 2 (x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 (руб.).
Нужно найти оптимальное распределение заказа между фирмами, при котором общие затраты будут минимальными, а также определить максимальный уровень затрат, соответствующий самому неудачному решению предпринимателя.
Исходные значения параметров представлены в таблице:

Решение.
1 . Построение математической модели
В данной задаче следует определить
х 1 - число изделий, заказанное первой фирме;
х 2 - число изделий, заказанное второй фирме.
Эти величины являются переменными модели. Ясно, что они должны принимать неотрицательные значения, т.е. х 1 ≥ 0 и х 2 ≥ 0; причем их сумма должна равняться общему числу заказанных изделий, т.е. х 1 + х 2 = 100.
Цель предпринимателя - минимизировать суммарные затраты на выполнение заказа. Так как стоимость х 1 изделий, заказанных первой фирме составляет
f 1 (x 1) = 25 + 2 x 1 + 0.2,
а стоимость х 2 изделий, заказанных второй фирме, составляет
f 2 (x 2) = 15 + 6 x 2 + 0.3,
то суммарные затраты Z на выполнение всего заказа равны
Z = f (x 1 , x 2) = f 1 (x 1) + f 2 (x 2) = 25 + 2 x 1 + 0.2 + 15 + 6 x 2 + 0.3 (руб.).
Таким образом, целевая функция (ЦФ) имеет вид:
f (x 1 , x 2) = 40 + 2 x 1 + 0.2 + 6 x 2 + 0.3.
Математическая модель задачи может быть записана в таком виде: найти неизвестные значения переменных х 1 и х 2 , доставляющие минимальное значение ЦФ
Z = 40 + 2 x 1 + 0.2 + 6 x 2 + 0.3 → min (1)
и удовлетворяющие ограничениям
х 1 + х 2 = 100, (2)
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0. (3)
2. Нахождение графическим методом распределений заказа с минимально и максимально возможными уровнями затрат .
а) Построение ОДР
ОДР состоит из точек плоскости с неотрицательными координатами, которые лежат на прямой, задаваемой уравнением (2). Следовательно, ОДР представляет собой отрезок прямой АВ (см. рис. 1).
б) Построение и анализ линий уровня ЦФ
Приведем ЦФ к более удобному для анализа виду, выделив полные квадраты по каждой ее переменной:
f (х 1 , х 2) = 40 + 2 x 1 + 0.2 + 6 x 2 + 0.3 =
0.2( + 10x 1 + 25) + 0.3( + 20 x 2 + 100) + 5 =
0.2(х 1 + 5) 2 + 0.3(x 2 + 10) 2 + 5.
Пусть С - некоторое фиксированное число. Тогда линия уровня функции
f (х 1 , х 2) = С
состоит из всех точек х = (х 1 , х 2) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
0.2(х 1 + 5) 2 + 0.3(x 2 + 10) 2 + 5 = С
или 0.2(х 1 + 5) 2 + 0.3(x 2 + 10) 2 = С – 5. (4)
Так как левая часть этого уравнения неотрицательна при любых значениях х 1 и х 2 , то ясно, что должно выполняться неравенство С ≥ 5, поскольку при С < 5 это уравнение не имеет решений.
Если С = 5, то линия уровня целевой функции содержит единственную точку О = (-5, -10), так как левая часть уравнения (4) равна нулю лишь при х 1 = -5 и х 2 = ‑10.
При С > 5 линии уровня являются эллипсами с общим центром в точке О, размеры которых увеличиваются с ростом параметра С (см. рис. 1).


Рис. 1. Графическое решение задачи 1
в) Нахождение точки минимума ЦФ
С ростом параметра С линии уровня ЦФ становятся все ближе к ОДР задачи - отрезку АВ. Сначала они не имеют с ним общих точек, но при определенном значении С = С min линия уровня коснется этого отрезка в некоторой точке х * = (). Эта точка соответствует наименьшему значению С , при котором линия уровня имеет общие точки с АВ. Значит, точка х * является решением задачи, так как в ней ЦФ достигает минимума на этом отрезке.
Для определения ее координат воспользуемся следующим фактом. Если прямая
х 1 + х 2 = 100,
касается в некоторой точке линии уровня ЦФ, задаваемой уравнением
f (х 1 , х 2) = С ,
то градиент Ñf = , вычисленный в точке касания, перпендикулярен этой прямой. Это означает, что координаты ее вектора нормали прямой, т.е. вектора а = (1, 1), пропорциональны координатам вектора Ñf. Таким образом, выполняется соотношение
или .
Поскольку = 0.4х 1 + 2, а = 0.6х 2 + 6, то из равенства частных производных получаем, что координаты точки касания удовлетворяют уравнению
.
Значит, точку минимума ЦФ можно найти, решив систему уравнений

или (5)
Ее решение: = 64, = 36. Вычислим значение ЦФ в этой точке:
Z * = f () = 0.2(64 + 5) 2 + 0.3(36 + 10) 2 + 5 = 1592 (руб.).
Итак, получено решение задачи (1) – (3): предприниматель должен заказать первой фирме 62 изделия, а второй фирме - 36 изделий. В этом случае его затраты будут минимальными и составят 1592 руб.
г) Нахождение точки максимума ЦФ
При дальнейшем увеличении параметра С линии уровня будут пересекать ОДР в точках, которым соответствуют все возрастающие значения ЦФ. Поэтому последняя точка пересечения является точкой максимума ЦФ на отрезке АВ. Из рис. 1 видно, что в нашей задаче ЦФ достигает максимума в точке А = (0, 100). В этой точке значение ЦФ равно
Z max = f (0, 100) = 0.2(0 + 5) 2 + 0.3(100 + 10) 2 + 5 = 3635 (руб.).
Таким образом, самым неудачным решением предпринимателя будет выбор второй фирмы в качестве единственного исполнителя заказа. В этом случае его затраты будут максимальными и составят 3635 руб.
Замечание. Графический анализ показывает, что ЦФ достигает своего максимума в одной из крайних точек отрезка АВ. Поэтому для определения точки максимума проще всего сравнить значения ЦФ в точках А и В. Та точка, в которой это значение больше, будет искомой. Если же значения ЦФ в этих точках равны, то это означает, что обе они являются точками максимума.
3. Нахождение оптимального решения методом множителей Лагранжа
Сначала убедимся в том, что задача (1) – (3) является задачей ВП. Проверим, что ЦФ - выпуклая функция. Для этого вычислим ее гессиан.
Найдем первые частные производные ЦФ:
и ,
а затем ее вторые частные производные:
;
;
.
Следовательно, гессиан Н функции f имеет следующий вид:
.
Главные миноры первого порядка равны 0.4 и 0.6, а главный минор второго порядка равен
= 0.4·0.6 – 0· 0 = 0.24.
Значения всех главных миноров не зависят от точки х = (x 1 , x 2) и положительны. Поэтому ЦФ - строго выпуклая функция (см. теорему 1). Так как ограничения модели линейны, то это означает, что задача (1) – (3) является задачей ВП и имеет единственное оптимальное решение.
Чтобы применить метод множителей Лагранжа для решения задачи, следует отбросить условие неотрицательности переменных (3). Тогда исходная задача может быть переформулирована следующим образом: найти неизвестные значения переменных х 1 и х 2 , доставляющие минимальное значение функции
Z = 40 + 2 x 1 + 0.2 + 6 x 2 + 0.3 → min (6)
и удовлетворяющие условию
х 1 + х 2 = 100. (7)
Ясно, что эта задача также является задачей ВП. Отказ от условия (3) приводит к расширению ОДР, так что оптимальное решение задачи (6) – (7) может оказаться недопустимым в исходной задаче (1) – (3). Однако очевидно, что если оптимальное решение задачи (6) – (7) удовлетворяет условию неотрицательности, то это решение будет оптимально и в исходной задаче.
Построим функцию Лагранжа задачи (6) – (7) по формуле (8). Она имеет вид
L (x 1 , x 2 , λ ) = 40 + 2 x 1 + 0.2 + 6 x 2 + 0.3 + λ (100 – х 1 – х 2). (8)
Найдем частные производные функции L по x 1 , x 2 и λ , а затем приравняем их к нулю. Получим следующую систему уравнений:
(9)
Исключим переменную λ , вычтя из первого уравнения второе. Тогда получим систему уравнений:
(10)
Она фактически совпадает с системой (5) и, значит, имеет такое же решение: = 64 и = 36. Поскольку задача (6) – (7) является задачей ВП, то из теоремы 6 следует, что вектор х * = (,) = (64, 36) является ее оптимальным решением. Так как найденное решение удовлетворяет условию неотрицательности, то оно будет оптимальным в исходной задаче (1) – (3).
Итак, методом множителей Лагранжа получено оптимальное решение, совпадающее с решением, полученным ранее графическим методом: предприниматель должен распределить заказ между фирмами следующим образом: заказать первой фирме 62 изделия, а второй фирме - 36 изделий. В этом случае его затраты будут минимальными и составят 1592 руб.
Из первого уравнения в системе (9) легко найти оптимальное значение множителя Лагранжа: λ * = 0.4×64 + 2 = 27.6 (руб./ед.).
Множитель Лагранжа λ * имеет такую экономическую интерпретацию: его величина приближенно показывает насколько возрастут минимальные общие затраты Z * (d ), если величина заказа d увеличится на единицу, т.е.
λ * ≈ ΔZ * (d ) = Z * (d + 1) – Z * (d ).
Таким образом, при увеличении заказа от 100 ед. до 101 ед. затраты возрастут примерно на 27.6 руб.
Замечание 1. Точное значение прироста затрат несколько выше: оно равно 27.72 руб. Его можно получить, решив задачу 1 для d = 101. Для этого достаточно найти решение системы, аналогичной (10), в которой второе уравнение имеет следующий вид: 101 – х 1 – х 2 = 0.
Замечание 2. Решение задачи 1 можно свести к отысканию минимума функции одной переменной на заданном отрезке. Для этого достаточно выразить одну из переменных через другую, используя уравнение (2), а затем подставить полученное выражение в формулу (1), определяющую ЦФ. Однако этот упрощающий прием возможен лишь потому, что ограничение в задаче имеет очень простой вид, и не применим в общем случае. Универсальным способом решения оптимизационных задач с ограничениями типа равенства является метод множителей Лагранжа.

При формировании системы распределения применяется следующая последовательность действий:

1. Изучается конъюнктура рынка, и определяются стратегические цели системы распределения.

2. Прогнозируется величина МП, проходящего через систему распределения;

3. Прогнозируется необходимая величина запасов по всей системе и на ее отдельных участках.

4. Изучается транспортная сеть региона обслуживания, составляется схема МП.

5. Разрабатываются различные варианты построения систем распределения, оцениваются соответствующие расходы для каждого их вариантов.

6. Выбирается один из вариантов по критерию минимума приведенных затрат

где – приведенные затраты по варианту; – годовые эксплуатационные затраты; – годовые транспортные расходы; K – капитальные вложения в строительство РЦ; T – срок окупаемости варианта.

ОБЗОР ВАРИАНТОВ ОРГАНИЗАЦИИ СБЫТОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Сбыт продукции по прямым связям

При сбыте продукции по прямым связям она доставляется потребителям непосредственно с предприятий-изготовителей.

Это приносит эффект в случаях:

· обслуживания близко расположенных потребителей;

· когда значительная ее часть продукции производственно-технического назначения с потребителями закупается крупными партиями;

· закупок уникальной продукции.

Прямые поставкипозволяют:

· свести до минимума транспортные издержки;

· свести до минимума затраты на промежуточное хранение товаров;

· предоставлять дополнительные формы обслуживания и льгот (например, снижение отгрузочных цен);

· использовать передачу товара по графикам поставки;

· снизить уровень производственных запасов;

· снизить потребности в дополнительной емкости складов;

· укрепить производственные связи при работе по долгосрочным контрактам;

· увеличить общую надежности сбыта.

В большинстве фирм стран Западной Европы, где уровень производственной кооперации и концентрации производства чрезвычайно высок, прямые поставки товаров , минуя склады и хранилища, по системе «от двери до двери » являются весьма распространенной формой доведения товара до потребителя.

Доставка через склады (центры).

Сбытовые агенты, принимая заказ, отправляют его не в центральную сбытовую контору, откуда он пересылается на одно из предприятий фирмы, а непосредственно в ближайший распределительный центр.

Продажа продукции из центров фирм-поставщиков позволяет:

· сократить сроки выполнения заказов;

· ускорить доставку заказов потребителям;

· снизить величину отпускной партии товара;

· увеличить ассортимент предлагаемой продукции;

· предложить покупателям удобную расфасовку, упаковку, комплектацию и др. формы сервиса.

Использование услуг оптовых посредников

В промышленно развитых странах мира большое число фирм наряду с прямыми связями с потребителями своей продукции производственно-технического назначения широко пользуются услугами оптовых посредников. Количество оптовых предприятий в рассматриваемых странах постоянно растет и составляет внушительную величину. Например, во Франции в период с середины 1960-х до начала 1980-х годов их количество возросло почти в два раза и достигло более 50 тыс. предприятий.

Использование услуг оптовых посредников приносит эффект в случаях:

· обслуживания территориально разбросанного рынка;

· организации дополнительного канал реализации одного и того же товара на отдельных (новых) рынках;

· когда в большом количестве поставляются товары (производственно-технического назначения) стандартного качества, не требующие со стороны потребителя специальной подготовки;

· стремления к сокращению издержек за счет уменьшения производственных запасов посредством передачи товара на хранение оптовым посредникам.

Основная цель использования услуг посреднических оптовых предприятий – расширение рынков сбыта товаров и снижение издержек . В случаях территориальной разбросанности рынка товаров фирме-поставщику из-за существенных расходов по сбыту своей продукции невыгодно поставлять ее по линии прямых связей с потребителями. Оптовик же, аккумулируя поступающие товары различной номенклатуры, сбывает их, получая часть прибыли от совместной продажи. В результате такой организации сбыта товаров поставщики получают возможность реализовать свою продукцию более широкому кругу потребителей.

Промышленные фирмы прибегают к услугам посредников, и когда им нужно организовать дополнительный канал реализации одного и того же товара на отдельных рынках. Так, ведя борьбу с конкурентами на новых рынках через посредников, фирма может установить цены ниже, чем на своем традиционном рынке. Тем самым она увеличивает объем сбыта продукции и получает за счет этого прибыль в большем размере.

Техническое обслуживание оборудования посредниками-оптовиками

В странах Запада получает распространение и такая форма отношений оптовиков и промышленных фирм, когда за первыми закрепляются операции по техническому обслуживанию оборудования, уже находящегося у конечных потребителей. Такая форма связей выгодна как для поставщиков, так и для посредников. Фирмы-изготовители освобождаются от необходимости иметь у себя персонал для выполнения таких операций. В свою очередь посредники, имея собственный штат работников по техническому обслуживанию, уже не зависят от фирм-поставщиков.

Потребители продукции производственно-технического назначения тоже заинтересованы в услугах оптовых посреднических предприятий. В результате более быстрой доставки товаров у потребителя не только сокращается время от момента заказа до получения товара. Он получает также возможность планировать прибытие продукции и зачастую направлять ее непосредственно в производственный процесс, минуя склад, что существенно уменьшает расходы по формированию запасов, их хранению и издержки, связанные с нахождением товара на складе. Потребитель может покупать нужную ему продукцию крупными партиями у сравнительно небольшого количества посредников, чем значительно сокращает свои расходы на материально-техническое обеспечение, включая затраты на обработку документации по закупке товаров. По этой же причине покупатель может надеяться на скидку в цене товара, что обычно и наблюдается в случаях закупки продукции в больших объемах. Одновременно он экономит и на транспортных расходах.

Критерии выбора посредника по сбыту

При выборе оптовых посреднических предприятий промышленные фирмы принимают во внимание целый ряд соображений. К основным из них относятся:

· уверенность поставщика в заинтересованности посредников установить с ним взаимоотношения по сбыту товаров;

· хорошее знание оптовиком товара поставщика;

· достаточная степень надежности положения того или иного оптового предприятия в определенной отрасли промышленности;

· наличие у посредника складских емкостей и его готовность хранить у себя запасы-продукции поставщика;

· прочность финансового положения посредника и обоснованность проводимой им политики цен и др.

Процессы интеграции

В последние 20 лет в западных странах меняется характер взаимоотношений в оптовой торговле. Получает широкое распространение процесс создания оптовых предприятий с использованием горизонтальной и вертикальной интеграции. Одно из принципиальных отличий между ними состоит в следующем: горизонтальная интеграция охватывает только оптовые предприятия, а вертикальная – оптовиков и промышленные фирмы и даже розничных торговцев, что приводит к диверсификации торговых функций.

Создание крупных оптовых предприятий на контрактной и корпоративной основе осуществляется с целью увеличить прибыль и получить дополнительный экономический эффект от укрупнения закупаемых партий товаров и упрощения отношений между производителями продукции и оптовиками.

Сбытовая деятельность имеет свои особенности в каждой стране. Так, например, в Италии наибольший интерес для поставщиков представляют северные области с высокоразвитым промышленным производством. В основном организация сбытовой деятельности в Италии, так же как и в других западных странах, ориентируется на использование различных каналов сбыта с привлечением специализированных служб и агентов по сбыту. Для организации сбыта промышленного оборудования, сырьевых товаров и полуфабрикатов фирмам других стран рекомендуется пользоваться услугами брокеров, оптовых торговцев и независимых агентов.

Необходимо отметить, что существуют и поддерживаются чисто национальные традиции в организации сбыта. Так, наиболее выгодной формой сбыта продукции для зарубежного поставщика в Италии является заключение соглашения со сбытовой итальянской фирмой, предусматривающего сбыт товаров от имени последней. В этом случае итальянская сторона принимает на себя определенные обязательства по продаже, выражающиеся в частном распределении риска между компанией-экспортером и сбытовой фирмой. Выгодность такой торговли состоит в значительном сокращении разнообразных налогов и финансовых сборов. Характерная черта сбыта на итальянском рынке – осуществление, в достаточно чистом виде, прямого акта покупки товаров, когда крупные учреждения или сбытовые фирмы производят оптовые закупки продукции через своих торговых агентов в стране производителя.

В Германии первоначальный массовый сбыт под воздействием дифференцированного спроса и растущих коммуникационных издержек уступил место сегментированному сбыту. Он позволяет предусмотреть локализацию групп потребителей и их дифференциацию. В связи с этим появилась возможность создать широкую базу данных, характеризующих индивидуальные потребности потребителей.

Перспективы

Механизмы сбытовой деятельности постоянно видоизменяются в зависимости от складывающихся внешних условий. Следует ожидать, что в ближайшие 15 лет на западном рынке процесс структурных преобразований в области сбытовой деятельности продолжится, а именно:

· централизация систем распределения, позволяющая повысить надежность поставок при сокращении уровня запасов на предприятиях и одновременно обеспечить доступ к рынкам сбыта мелким поставщикам;

· концентрация объема заказов на поставку продукции по большинству товаров;

· действия поставщиков по сочетанию стимулирования сбыта выпускаемой ими продукции с рекламой предприятий торговли.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ №6

1. Что такое распределительная логистика, два аспекта ее рассмотрения.

2. Каковы задачи распределительной логистики на микро- и макроуровнях?

3. Что отличает распределительную логистику от маркетинга?

4. Каковы общие и отличительные черты понятий логистического канала и логистической цепи?

5. Какие существуют варианты каналов распределения товаров народного потребления?

6. Какие существуют выгоды от использования производителями каналов распределения?

7. Какие функции выполняют организации или лица, составляющие логистический канал?

8. Уровень канала.

9. Горизонтальные и вертикальные каналы распределения.

10. По каким признакам проводят классификацию посредников?

11. Нарисуйте схему классификации посредников.

12. Дилеры (от чьего имени и за чей счет работают, у кого право собственности на товар, сроки работы с производителем, риск порчи товара, обеспечение сохранности товара, форма вознаграждения).

13. Дистрибьюторы (от чьего имени и за чей счет работают, у кого право собственности на товар, сроки работы с производителем, риск порчи товара, обеспечение сохранности товара, форма вознаграждения).

14. Комиссионеры (от чьего имени и за чей счет работают, у кого право собственности на товар, сроки работы с производителем, риск порчи товара, обеспечение сохранности товара, форма вознаграждения).

15. Агенты (от чьего имени и за чей счет работают, у кого право собственности на товар, сроки работы с производителем, риск порчи товара, обеспечение сохранности товара, форма вознаграждения).

16. Виды агентов.

17. Брокеры(от чьего имени и за чей счет работают, у кого право собственности на товар, сроки работы с производителем, риск порчи товара, обеспечение сохранности товара, форма вознаграждения).

18. Виды распределения, их суть.

19. Нарисуйте и поясните схему, иллюстрирующую варианты организации распределения материальных потоков с различным количеством складов.

20. Дальние и ближние перевозки.

21. Охарактеризуйте зависимость затрат на транспортировку от количества складов (содержательно и графически).

22. Охарактеризуйте зависимость затрат на содержание запасов от количества складов (содержательно и графически).

23. Охарактеризуйте зависимость затрат на эксплуатацию складского хозяйства от количества складов (содержательно и графически).

24. Охарактеризуйте зависимость затрат на управление распределительной системой от количества складов (содержательно и графически).

25. Охарактеризуйте графически зависимость общих затрат от количества складов.

26. Нарисуйте и поясните схему, иллюстрирующую варианты размещения распределительных центров на обслуживаемой территории.

27. Какие факторы должны учитываться при выборе участка под распределительный центр?

28. Каковы этапы формирования системы распределения?

29. Какой критерий выбора варианта системы распределения?

30. В каких случаях приносит эффект сбыт продукции по прямым связям?

31. Плюсы прямых поставок.

32. Плюсы продажа продукции из распределительных центров.

33. В каких случаях приносит эффект использование услуг оптовых посредников.

34. Какая основная цель использования услуг посреднических оптовых предприятий?

35. Критерии выбора посредника по сбыту.