В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.
Навигация по странице.
Модуль числа – определение, обозначение и примеры
Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .
Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .
Определение.
Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .
Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде 
, эта запись означает, что , если a>0
, , если a=0
, и , если a<0
.
Запись можно представить в более компактной форме 
. Эта запись означает, что , если (a
больше или равно 0
), и , если a<0
.
Также имеет место и запись 
. Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0
. В этом случае имеем , но −0=0
, так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.
Приведем примеры нахождения модуля числа
с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15
и . Начнем с нахождения . Так как число 15
– положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу 
. Таким образом, .
В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.
Модуль числа как расстояние
Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .
Определение.
Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.
Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.
Например, модуль числа 9
равен 9
, так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9
равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25
находится от точки O
на расстоянии 3,25
, поэтому 
.
Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.
Определение.
Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .
То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.
Определение модуля числа через арифметический квадратный корень
Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .
Для примера вычислим модули чисел −30
и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: 
.
Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a
– положительное число, при этом число −a
– отрицательное. Тогда 
и 
, если же a=0
, то 
.
Свойства модуля
Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.
Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.
Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.
Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.
Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.
Модуль частного от деления a
на b
равен частному от деления модуля числа a
на модуль числа b
, то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем 
. Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.
Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: 
, a
, b
и c
– произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника
. Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a)
, B(b)
, C(c)
на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС
, у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ
, - длине отрезка АС
, а - длине отрезка СВ
. Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство 
, следовательно, справедливо и неравенство .
Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде 
. Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел
». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b
положить −b
, и принять c=0
.
Модуль комплексного числа
Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.
В гл. I этой книги неравенство было определено, как мы помним, в терминах множества положительных чисел. Напомним также, что для справедливости отдельных результатов гл. II, например теоремы 5, касающейся умножения неравенств, было необходимо потребовать положительности некоторых чисел, фигурирующих в условиях теоремы. В теореме 7 той же главы появляются степени с дробными показателями, которые иногда могут не оказаться даже действительными числами, если не оговорить положительности числа, возводимого в дробную степень; чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть, например, для Многие из основных неравенств, которые выводятся в гл. IV, содержат такие степени с дробными показателями. Естественно, что и далее мы часто будем ограничиваться рассмотрением положительных чисел или неотрицательных чисел (т. е. положительных чисел и числа нуль).
В прикладных проблемах, в которых приходится рассматривать неравенства, часто имеют дело с весом, объемом и т. п., с модулем или абсолютной величиной таких математических объектов, как действительные числа, комплексные числа, векторы. Все эти величины измеряются неотрицательными числами. Так, если даже условиться обозначать выигрыши положительными числами, а проигрыши отрицательными числами, то все же будет естественно сказать, что проигрыш в три доллара больше, чем проигрыш в два доллара - и это несмотря на то, что число -3 меньше, чем -2. При этом мы имеем в виду,
что абсолютная величина числа -3 больше абсолютной величины числа -2.
В этой главе мы дадим определение абсолютной величины действительного числа и изучим некоторые ее свойства для применения их к неравенствам в следующих главах. Мы также приведем графики некоторых интересных и достаточно часто встречающихся функций, содержащих абсолютную величину, и изложим некоторые относящиеся к ним новые идеи.
§ 2. Определение
Абсолютная величина действительного числа а, обозначаемая через может быть определена различными способами. Мы здесь рассмотрим некоторые из возможных определений этого понятия.
Определение. Абсолютная величина действительного числа а определяется как число а, если а положительно или равно нулю, и как число , если а отрицательно.
Так, например,
Принципиальная невыгодность только что приведенного определения заключается в том, что оно не подходит для алгебраических преобразований. Так, например (см. теорему 2 настоящей главы), для любых чисел
что можно проверить, рассматривая отдельно различные возможные случаи: числа оба положительны, одно из чисел положительно, а второе отрицательно; оба числа отрицательны; одно из чисел равно нулю, а второе положительно; одно из чисел равно нулю, а второе отрицательно; оба числа равны нулю. Однако предпочтительнее дать единый вывод, охватывающий все случаи и имеющий чисто алгебраический характер; такой вывод будет дан в § 8 после того, как будут приведены различные определения абсолютной величины, эквивалентные данному выше определению. Эти новые определения будут основываться на понятиях квадрата числа и квадратного корня из числа.
Приведенное выше определение абсолютной величины можно перефразировать следующим образом:
Абсолютная величина действительного числа а равна 0, если во всех же остальных случаях есть положительный элемент множества .
Так, если то есть положительный элемент множества т.е. 2. Если то есть положительный элемент множества т. е. снова 2. Однако этой характеристике символа присущи те же неудобства, что и предыдущей.
§ 3. Специальные символы
Последующие два определения числа связаны с двумя специальными символами: Значение этих символов мы сейчас и объясним.
Символ обозначает наибольший элемент множества действительных чисел.
Если множество содержит только один или только два элемента, мы все же будем говорить о "наибольшем" из его элементов. Если наибольшее значение имеют несколько элементов множества, то любой из них считается наибольшим. Так,
После некоторой тренировки можно научиться производить те или иные арифметические операции над выражениями, содержащими символ
Так, например,
В частности, рассмотрим если то
и т. д. Таким образом, для любых а
так что соотношение (3.1) можно принять за еще одно определение
Перейдем теперь ко второму специальному символу. Символ обозначает наибольший элемент множества если по крайней мере один из его элементов неотрицателен; если же все элементы множества отрицательны, то этот: символ означает число 0. Так,
Как и в случае символа можно производить арифметические действия с выражениями, содержащими символ хотя это и представляет известные неудобства. Так, например,
Как показывают рассмотренные примеры, символы не эквивалентны. Действительно, легко можно видеть, что
Отсюда следует, что
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда множество содержит по крайней мере один неотрицательный элемент.
А так как множество при любом значении а содержит неотрицательный элемент, то при любом значении а
Таким образом, равенство
также можно рассматривать как определение величины
Упражнения
(см. скан)
(см. скан)
§ 4. Графические рассмотрения
Графическое изображение может дать поразительно яркую картину поведения функции независимо от того, имеем ли мы дело со средней суточной температурой, колебаниями рынка сбыта, величиной или с чем-нибудь еще. Самым важным здесь является то, что график позволяет нам с одного взгляда усмотреть некоторые общие свойства функции, которые при иных способах ее изучения могли бы остаться скрытыми.
Например, значение символов становится более понятным при рассмотрении изображенных на рис. 2 и 3 графиков функций
Пунктирными линиями на рис. 2 и 3 продолжены графики функций
Построим теперь график функции который дает наглядную характеристику понятия абсолютной величины. Для наших целей достаточно ограничиться неполным графиком, отвечающим интервалу
Рис. 2. График функции
Рис. 3. График функции
При построении этого графика сначала полезно и интересно рассмотреть график функции т. е. множество упорядоченных пар действительных чисел где а также график функции Эти графики изображены на рис. 4 и 5. Из этих графиков и определения
сразу следует, что график функции совпадает с графиком как это показано на рис. 6. Мы должны выбирать на рис. 4 и 5 большую из ординат отвечающих данной абсциссе Эта большая
ордината и служит ординатой у на графике, изображенном на рис. 6. Например, при большей ординатой будет при большей ординатой будет
Рис. 4. График функции
Рис. 5. График функции
На рис. 7 изображен график функции Рассматривая четыре графика, изображенные на рис. 4-7, мы заметим, что для любого значения абсциссы все четыре ординаты не меньше - и не больше
Рис. 6. График функции
Рис. 7. График функции
Поэтому из рис. 4, 6 и 7 можно сделать следующий вывод, который вы, безусловно, смогли бы заметить и доказать вообще без рассмотрения графиков:
Теорема 1. Для каждого действительного числа а
При этом первый знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда а второй - тогда и только тогда, когда .
Cтраница 1
Абсолютное число хронически голодающих менялось следующим образом (млн чел. Однако к последней цифре следует добавить еще 80 млн голодающих, появившихся в странах с переходной экономикой.
Абсолютное число р-распадов довольно велико - около 30 р-распадов в секунду или 1800 р-распадов на 1 г калия в минуту (стр.
Абсолютное число посещенинй (как и доля их) участковых врачей также неуклонно возрастало, превысив половину всех посещений. Увеличивалось и в абсолютном, и в относительном исчислении число посещений врачей подросткового кабинета, функции которых по обеспечению медицинской помощью подростков мало чем отличаются от функций участковых врачей. Что же касается посещений специалистов, то при незначительных изменениях абсолютных чисел их доля в структуре всех посещений снижалась, что вполне понятно при общем росте числа посещений. Эти данные указывают на ведущую и возрастающую роль участковых врачей и врачей подростковых кабинетов в оказании терапевтической амбулаторно-поликлинической помощи населению и на известные пределы, которых достигает потребность в специализированной терапевтической помощи.
Абсолютное число образцов является хорошей возможностью появления образцов с различной прс ицаемостью только в сравнительном варианте. Однако само по себе число образцов в том или ином интервале изменения проницаемости не может служить мерой возможности. Это число будет зависеть от общего числа испытаний и может изменяться с изменением этого общего числа испытаний.
Абсолютное число бактериальных спор в начале опыта также возросло, но его увеличение сильно отставало от темпа развития общей массы бактерий. В силу этого процент спор, вычисленный по отношению к общему количеству бактерий в загрязненных почвах, первоначально сильно упал.
Абсолютное число наемных рабочих у таких хозяев оказалось очень велико - 1 6 миллиона, болъшо трети всего числа наемных рабочих. Очевидно из всей массы (2 1 млн.) крестьянских хозяйств имеется немало капиталистических предприятий. Мы увидим ниже, каково приблизительно их число и их значение, теперь же остановимся подробнее на соотношении сзмейного и наемного труда.
Абсолютное число отказов ПГА каждого вида за определенный период времени не может объективно характеризовать их распределение, так как оно связано с абсолютным числом испытанных или подконтрольных изделий каждого вида.
Абсолютное число профессиональных заболеваний в нефтеперерабатывающей промышленности невелико и постоянно уменьшается. Из общего их числа около 45 % приходится на хронические интоксикации углеводородами у работников, долгое время контактирующих с нефтепродуктами: сливщиков, наливщиков, замерщиков, пробоотборщиков, рабочих по чистке емкостей. Наблюдаются также случаи пневмокониоза и силикоза (заболевания легких) у лиц, занятых работами с катализаторами, отбеливающими глинами, размолом гумбрина.
Абсолютное число профессиональных заболеваний в нефтеперерабатывающей и нефтехимической промышленности невелико и постоянно уменьшается.
Абсолютные числа переменных расходов газа удобно заменять относительными.
Поскольку абсолютное число свободных электронов и дырок на квадратный сантиметр поверхности окисного катализатора входит в предэкспоненциальный множитель в выражении для скорости реакции, становится понятной причина падения скорости окисления после длительного спекания катализатора при высоких температурах. Такая предварительная обработка уменьшает величину поверхности катализатора и число дырок.
Сравнивая абсолютные числа жителей данных возраста и группы в 1890 и 1900 гг., видно, что за 10 лет прирост везде велик, и хотя для цветных рас он немного более (32 %), чем для белых (около 21 % за 10 лет), но разность не велика. При этом нельзя не заметить, что, несмотря на преобладающую пропорцию детей у цветных жителей, цветные расы представляют медленно убывающий процент всех жителей Штатов: 12.2 и 12.1. Причину этого составляют, конечно, прибывающие белые переселенцы. Уверенность в том, что черная раса не получит в Штатах большого значения в будущем, увеличивается на основании того, что процент цветных детей за последние 20 лет у них все еще остается большим, чем у белых, но все же сильно убывает.
Если абсолютное число крупных и мелких частиц в воде будет настолько велико, что фильтрующаяся вода не может перемещать их по трещинам и поровым каналам в глубь пласта, происходит резкое снижение приемистости скважины.
Cтраница 1
Относительное число годных по существу, но забракованных при поверке мер значительно превышает число негодных, но аттестованных при поверке мер.
Относительное число таких медленных вторичных нейтронов, несомненно, пренебрежимо мало. Метод Хальбана и др. не будет изложен здесь подробно. Он несколько похож на метод Брадта.
Относительное число их составляет от 1: 102 до 1: 103, что значительно превышает частоту спонтанных мутаций.
Относительное число таких разговоров равно 1 - х и есть, как мы знаем, малая второго порядка, а так как суммарная длительность таких разговоров получается умножением их числа на Ту то она есть п (1 - х) Т следовательно, она (а тем более и не превышающая ее величина Я (1)) есть малая третьего порядка.
Относительное число обрывов в средней трети колонны также довольно близко к ожидаемому в соответствии с нормальным распределением.
| Влияние величины зерна d на межзеренное проскальзывание по границам околошовной зоны при сварке сплава композиции ХН70МВТЮ. |
Относительное число границ, по которым зафиксирован сдвиг, и его средняя величина резко снижаются при уменьшении диаметра исходного зерна от 300 до 100 мкм.
Относительное число цепей, которые могут расположиться в аморфных областях, определяется отношением Ак / Аа. Если цепи в кристаллическом состоянии развернуты и имеют конформа-цию плоского зигзага, например в полиэтилене, и ориентации связей в аморфном состоянии не скоррелированы, то отношение площадей поперечных сечений должно совпадать с отношением соответствующих удельных объемов.
Относительное число гирь, значения масс которых могут оказаться вне допустимых пределов, можно найти в соответствии с указаниями, изложенными на стр.
Относительное число капелек, взрывающихся при низких температурах, растет вместе с интенсивностью излучения, но не замечено зависимости нижней границы чувствительности от энергии у-квантов. По тепловой теории инициирования определяющее значение в образовании зародышевых пузырьков пара имеют 6-электроны с энергией меньше или порядка 1 кэв.
Относительное число радикалов с гетероатомами существенно влияет на свойства олигомеров. Однако при одинаковом общем содержании хлора в олигомерах заметно влияние числа атомов хлора в С6Н5 - группах на ряд свойств.
Относительное число связей, разорвавшихся под влиянием приложенной силы (Nz - Nj) / N0, принимается пропорциональным относительному размеру дефекта, который Кнаусс принимает равным отношению площадей дефекта и сечения образца. Если предположить, что эти отношения не равны, а пропорциональны, то значение коэффициента пропорциональности войдет в константу В.
Относительное число дырок и электронов в электрохимической реакции зависит от условий проведения электролиза: дырочная составляющая электронного тока возрастает с увеличением инъекции дырок в полупроводник.
Относительное число дисплеев на одного специалиста, участвующего в разработке КП, совместно с предшествующим фактором определяет оперативную доступность средств вычислительной техники для реализации заданий в процессе разработки программ. Для этого необходимо, чтобы число дисплеев соответствовало коллективу разработчиков и совместно с другими ресурсами ЭВМ обеспечивало каждому специалисту неоднократный доступ к средствам автоматизации в течение рабочего дня. ЭВМ в течение рабочего дня, то профессиональные возможности разработчиков используются практически полностью.
Относительное число возбужденных атомов невелико, как это можно видеть из кривых на рис. 20, на котором показано, какая часть атомов различных элементов находится в возбужденном состоянии. Даже для наиболее легко возбуждаемого элемента цезия число это не превышает 1 %, для остальных же элементов с большей энергией возбуждения оно ничтожно мало. Из этого следует, что все наблюдаемые в пламени спектральные линии атомов должны появляться главным образом в результате переходов электрона на основной уровень.
Определение
.Абсолютной величиной
(илимодулем
) действительного
числа(обозначается
)
называется неотрицательное число,
удовлетворяющее условиям:
Ясно, что всегда
.
(3.1)
Свойства абсолютных величин:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Доказательство.
1) Если
,
тов силу (3.1). Если
,
то.
Первое свойство доказано.
2) Имеем
,
отсюда
.
Второе свойство доказано.
3) , третье свойство доказано.
Четвертое свойство доказывается так же, как свойство 3).
Замечание . Свойство 1) распространяется на любое число слагаемых, свойство 3) – на любое число сомножителей.
Отметим также, что
,
т.е.х
удовлетворяет неравенству
тогда и только тогда, когда принадлежит
интервалу
.
Геометрический смысл модуля действительного
числа состоит в том, что
равен расстоянию от точких
на
числовой прямой до нуля.
§ 4. Понятие числовой последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, их свойства
Определение
1. Если каждому значениюn
из множества
натуральных чисел
ставится в соответствие по определенному
закону некоторое действительное число
,
то множество занумерованных действительных
чисел называетсячисловой
последовательностью
.
– члены последовательности,
–
сокращенная запись последовательности.
Например,
.
Определение
2. Пусть даны две
последовательности
и
.
Последовательностиназываются соответственно суммой,
разностью, произведением и частным
последовательностей
и
.
Определение
3. Последовательность
называетсяограниченной
, если
множество ее членов ограничено, т.е.
существует число
,
такое, что
.
Последовательность
называетсяограниченной сверху
(снизу
)
, если существует
числоМ
, такое, что.
Если последовательность
неограниченна, то для любого числа
найдется номерn
такой, что
.
Ясно, что если последовательность
ограничена только снизу или только
сверху, то она неограниченна. Среди
неограниченных последовательностей
выберем бесконечно большие
последовательности.
Определение
4. Последовательность
называетсябесконечно большой
,
если для любого
найдется номерN
,
такой, что
для всех
.
Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, но не всякая неограниченная последовательность бесконечно большая. Примером этого может служить последовательность .
Определение
5. Последовательность
называетсябесконечно малой
,
если для любого
найдется номерN
,
такой, что
для всех
.
Установим основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство
. Пусть
и
– бесконечно малые последовательности.
Возьмем
произвольно и положим
.
По определению 5 для
найдутся номера
и
,
такие, что
для всех
и
для всех
.
Положим
.
Тогда для всех
и по определению 5 последовательность
бесконечно
малая. Теорема доказана.
Аналогично доказываются
Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Следствие . Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
(Можно поручить студентам доказать теоремы 2, 3 и следствие самостоятельно ).
Теорема 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство
. Пусть
– бесконечно малая последовательность.
Положим
N
,
такой, что
для всех
.
Обозначим.
Тогда
для всехn
. Теорема
доказана.
Следствие теорем 3и 4. Произведение двух (любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема
5. Если все члены бесконечно
малой последовательности равны одному
и тому же числус
, то
.
Доказательство
. Предположим
противное, т.е. что
.
Возьмем
.
По определению 5 найдется номерN
,
такой, что
для всех
,
т.е.
для всех
,
а этого не может быть, так как
для всехn
. Противоречие
доказывает утверждение теоремы.
Теорема
6. Если
– бесконечно большая последовательность,
то
–
бесконечно малая последовательность.
Доказательство
. Возьмем
произвольно и положим
.
Тогда по определению 4 найдется номерN
, такой, что
для всех значений
.
Отсюда
для всех
,
т.е.
–
бесконечно малая последовательность
по определению 5. Теорема доказана.
Теорема
7. Если
–
бесконечно малая последовательность
и все члены этой последовательности
отличны от нуля, то последовательность
–
бесконечно большая (доказать
самостоятельно
).