Для записи результатов расчета принимают одну из следующих форм (рис. 41)
Рис. 41. Изображение событий для расчета на графике:
а - секторный способ; б - метод дроби
1 - раннее свершение события i (раннее начало работы ij);
2 - номер события i;
3 - позднее свершение события i (позднее окончание работы hi;
4 - код предшествующего события, через которое проходит путь максимальной продолжительности к данному событию.
3. 6. 1. Секторный способ расчета сетевого графика
При этом способе сетевой график вычерчивают с кружками больших размеров.
Порядок расчета:
1) у исходного события в левом секторе ставят нуль;
2) при движении слева направо от исходного события к конечному для каждого следующего события в левом секторе записывают число, равное сумме значения раннего срока свершения предыдущего события и продолжительности работы.
Если в событие входит две или более работ, то рассчитывают значение каждой из них, но в левый сектор переносят только максимальное значение из всех полученных 
;
3) в завершающем событии значение, записанное в левом секторе, определяющее длину критического пути, переносят в правый сектор;
4) ходом справа налево от завершающего события к исходному находим значение позднего окончания работы 
путем вычитания из значения поздних сроков свершения конечного события (правый сектор) продолжительности предшествующих им работ. Результат записываем в правый сектор. В отличие от расчета ранних сроков (левый сектор), если из события выходит две или более работ, принимают не максимальное, а минимальное значение;
5) общий резерв времени для любой работы определяют вычитанием из значения правого сектора конечного события данной работы (куда работа входит), суммы значений левого сектора начального события данной работы (откуда работа выходит) и ее продолжительности;
6) частный резерв для любой работы определяют вычитанием из значения левого сектора конечного события данной работы (куда входит работа), суммы значений левого сектора начального события (откуда работа выходит) и продолжительности данной работы;
7) критический путь проходит через события в которых значения в левом и правом секторах совпадают. Полный и частный резерв времени для работ критического пути равен нулю;
8) резерв времени события равен разности значений правого и левого секторов.
Рис. 42. Сетевой график с результатами расчета секторным методом
3. 6. 2. Расчет параметров сетевого графика методом дроби
Осуществляется точно так же, как и расчет параметров секторным способом, только результаты записи вместо левого сектора записываются в числитель, а вместо правого - в знаменатель. Таким образом, на графике около каждого события проставляется два значения:
1) числитель - раннее начало последующей работы, равное наибольшей из сумм ранних начал и продолжительностей предшествующих работ. Раннее начало исходных работ графика принимают равным нулю. Расчет ведут слева направо;
2) знаменатель - позднее окончание предшествующих работ, равное наименьшей из разностей поздних окончаний последующих работ и их продолжительностей. Расчет ведут справа налево.
Работы критического пути при методе дроби определяют по событиям, ранние и поздние сроки свершения которых (числа числителя и знаменателя) равны между собой.
Полный резерв времени - это знаменатель у конца стрелки минус числитель у начала стрелки минус продолжительность работы.
Свободный резерв времени - это числитель у конца стрелки минус числитель у начала стрелки минус продолжительность работы.
Значение резервов времени записывают в отдельной таблице или непосредственно на графике рядом с конечным событием соответствующей работы.
Рис. 43. Сетевой график с результатами расчета методом дроби
Преимущества методов расчета на графике по сравнению с табличным способом следующие:
1) для расчета на графике не обязательна строгая упорядоченность событий;
2) исключаются ошибки, возникшие при записи в таблицу исходных данных для расчета;
3) арифметические вычисления более просты, не требуют каждый раз пересмотра ряда цифр, их переноса в другую колонку, что сокращает трудоемкость и уменьшает вероятность ошибок при расчете;
4) расчет на графике производится быстрее, чем в таблице.
Недостатки графического расчета:
1) записываемые на графике параметры работ в ходе строительства часто меняются, и в результате исправлений график быстро приходит в негодность;
2) не представляется возможности накапливать результаты предыдущих расчетов и, таким образом, отразить или исследовать динамику строительства.
3. 6. 3. Расчет сетевого графика по потенциалам событии
Потенциал Пi события i - максимальное время от данного события i до завершающего события сетевого графика - определяется величиной наиболее продолжительного пути между этими событиями. Потенциал первого (исходного) события равен общей продолжительности строительства, ограниченной завершающим событием, а потенциал завершающего события равен нулю.
Сетевой график по методу потенциалов рассчитывается двумя проходами: прямым - слева направо от исходного события последовательно по всем путям графика до завершающего и обратным -справа налево от завершающего события до исходного.
При прямом расчете определяют ранние сроки свершения событий. Эта часть расчета выполняется аналогично графическому методу (по секторам или в виде дроби). Результаты расчета записывают в X -образный знак около события. В левый сектор записывается раннее время свершения события (величина раннего начала работ), в нижний номер предшествующего события, через которое к данному проходит максимальный путь.
При обратном расчете определяют потенциалы событий. Расчет выполняют так же, как и расчет ранних сроков свершения событий, но точкой отсчета является завершающее событие графика (а не исходное). Таким образом, получаем данные о максимальной продолжительности работ от данного события до завершающего и тем самым, отвечаем на вопрос, который чаще всего возникает при обсуждении хода строительства: сколько дней осталось до конца, сколько дней имеется в резерве.
Потенциал событий вычисляется по формуле
При обратном расчете в правый сектор записывается потенциал данного события, а в верхний - номер последующего события, через которое от данного проходит максимальный путь к завершающему.
При анализе хода работ по графику для определения потенциала начального или промежуточного события какой-либо работы достаточно к имеющемуся потенциалу конечного события работы прибавить оставшуюся продолжительность. Преобразования, происшедшие в ходе изменений той или иной работы, не влияют на продолжительность пути от конечного до завершающего события. В связи с этим оперативный пересчет графика вручную занимает мало времени.
Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.
Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.
Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.
События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.
В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ.
Рассмотрение основных понятий и положений МКП будем вести на основе следующего примера. Пусть задана следующая последовательность работ с их временными характеристиками:
Построим сетевой график так, чтобы все дуги работы были
направлены слева направо (рис.2). Над дугами проставлены длительности работ.
Рис. 2. Сетевой график примера
Критический путь представляет собой путь от начальной до конечной работы, имеющий наибольшую длительность. Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к срыву выполнения всего комплекса работ, поэтому критическому пути и уделяется столько внимания.
Рассмотрим основные понятия, связанные с критическим путём .
Ранний срок наступления события
(ЕТ).
Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Для начального события ЕТ = 0. Для других определяется по формуле, где ЕТ 1 – ранний срок наступления события i, предшествующего событию j; t ij – продолжительность работы (ij).
Поздний срок наступления события
(LТ) – это наиболее поздний срок, в который может наступить событие без задержки выполнения всего комплекса работ. Определяется он при движении по сети справа налево от конечного события к начальному по формуле:
Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают. Для конечного события эта величина равна длине критического пути. Расчёт показателей сетевого графика можно производить непосредственно по вышеприведённым формулам. Сначала надо найти ранние сроки наступления событий (при движении по сети слева направо, от начала к концу), (остальное выполнить самостоятельно).
Затем расчёты выполнить в обратном направлении и найти поздние сроки наступления событий.
Положить ЕТ 10 = LT 10 .
LT 9 = LT 10 – t 9,10 = 51 –11 = 40.
LT 8 = LT 10 – t 89 = 51 – 9 = 42, и т.д.
Возможен и другой способ вычисления показателей – табличный.
События отмечаются в квадратах "главной" диагонали. Работы отмечаются дважды в верхних и нижних "побочных" квадратах относительно главной диагонали таблицы. В верхних "побочных" квадратах таблицы номер строки соответствует предыдущему событию, номер столбца – последующему. В нижних "побочных" квадратах наоборот.
Порядок заполнения таблицы
1. Сначала заполняются числители верхних и нижних побочных квадратов. В них записываются продолжительности соответствующих работ.
2. Заполняются знаменатели верхних "побочных" квадратов как суммы числителя главного квадрата и числителя верхнего "побочного" в той же строке.
3. Числитель первого главного квадрата принимается равным нулю, числители остальных главных квадратов равны максимуму знаменателей верхних "побочных" квадратов в том же столбце.
4. Знаменатель последнего главного квадрата принимается равным числителю этого квадрата. Знаменатели нижних "побочных" квадратов равны разности знаменателя главного и числителя "нижнего" побочного в той же строке.
5. Знаменатели главных квадратов равны минимуму знаменателей "нижних" побочных в том же столбце.
Расчёт показателей сетевого графика
Из таблицы находятся показатели графика:
1. Ранние сроки наступления событий (числители главных квадратов).
2. Поздние сроки наступления событий (знаменатели главных квадратов).
3. Резервы времени событий (разность между знаменателем и числителем главного квадрата). В нашем случае критическими событиями (не имеющими резервов) являются 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10. Они составляют критический путь. Продолжительность критического пути равна 51 (числитель или знаменатель последнего главного квадрата).
4. Ранний срок окончания работ (знаменатели верхних "побочных" квадратов).
5. Поздний срок наступления работ (знаменатели соответствующих нижних "побочных" квадратов).
6. Общие резервы времени работ (разность между знаменателем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" в том же столбце).
7. Свободные резервы времени работ (разность между числителем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" квадрата в том же столбце).
Воспроизведём график сети, проставив над каждым событием слева – ранний, а справа – поздний сроки наступления события (рис.3).
Рис. 3. Сетевой график с временными характеристиками
Итак, критический путь проходит вдоль работ 1–3–4–6–7–8–10, и его длительность равна 51.
Резерв времени события определяется как разность между их LT и ET. Ясно, что резервы времени событий вдоль критического пути равны нулю. Для нашего примера резерв времени, например, события 2 равен 28–10 = 18, а события 9 равен 40–36 = 4. На эти промежутки времени может быть задержано выполнение соответствующих работ без риска задержать проект в целом.
Это были временные характеристики событий. Рассмотрим временные характеристики работ. К ним относятся свободный и общий (полный) резервы времени работ.
Общий резерв времени работы (ТS) определяется из соотношения
TS ij = LT j – ET i – t ij
и показывает, на сколько можно увеличить продолжительность работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.
Свободный резерв времени работы (FS) определяется из соотношения
FS ij = ET j – ET i – t ij
и показывает часть полного резерва времени, на которое можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её конечного события.
Если свободный резерв времени работ может быть использован по всем работам сети одновременно (тогда все работы становятся критическими), то для полных резервов этого сказать нельзя; его можно использовать или для одной работы пути полностью, или для разных работ частями.
Для критических работ ТS и FS равны нулю. ТS и FS могут быть использованы при выборе календарных сроков выполнения некритических работ и для частичной оптимизации сетевых графиков.
Окончательно имеем: Временные характеристики работ
| Некритические работы | Продолжительность | Общий | Свободный резерв FS |
| 1-2 | 10 | 18 | 0 |
| 1-4 | 6 | 5 | 5 |
| 2-5 | 9 | 18 | 0 |
| 4-5 | 3 | 23 | 5 |
| 3-6 | 8 | 9 | 9 |
| 4-7 | 4 | 15 | 15 |
| 5-8 | 5 | 18 | 18 |
| 6-9 | 7 | 12 | 8 |
| 7-9 | 6 | 4 | 0 |
| 7-10 | 8 | 13 | 13 |
| 9-10 | 11 | 4 | 4 |
Задачи для контрольных заданий №4
По следующим данным построить сеть, аналогичную рассмотренной в примере, определить временные характеристики ее работ и событий, критический путь и его длину. При выполнении данной задачи подставьте вместо n номер своего варианта и полученное число округлить до целого.| Работа | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (2,5) | (2,4) | (3,4) | (3,6) | (4,5) | (4,6) |
| Продолжительность | 5+n/3 | 6+n/3 | 7+ n/3 | 4+n | 8+ n/3 | 3+n | 4+n/2 | 10+ n/3 | 2+n |
| (4,7) | (5,7) | (5,8) | (6,7) | (6,9) | (7,8) | (7,9) | (7,10) | (8,10) | (9,10) |
| 8+ n/3 | 9+n/2 | 10+ n/3 | 12+n/2 | 9+n | 7+ n/3 | 5+n | 9+n | 11+n/2 | 8+ n/3 |
- ранний срок свершения события , поздний срок свершения события, ранний срок начала работы, ранний срок окончания работы, поздний срок начала работы, поздний срок окончания работы;
- резерв времени на свершение события, полный резерв времени, свободный резерв времени;
- продолжительность критического пути;
Инструкция . Решение в онлайн режиме осуществляется аналитически и графически. Оформляется в формате Word (см. пример). Ниже представлена видеоинструкция.
Пример . Описание проекта в виде перечня выполняемых операций с указанием их взаимосвязи приведено в таблице. Построить сетевой график, определить критический путь, построить календарный график.
| Работа (i,j) | Количество предшествующих работ | Продолжительность t ij | Ранние сроки: начало t ij Р.Н. | Ранние сроки: окончание t ij Р.О. | Поздние сроки: начало t ij П.Н. | Поздние сроки: окончание t ij П.О. | Резервы времени: полный t ij П | Резервы времени: свободный t ij С.В. | Резервы времени: событий R j |
| (0,1) | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 |
| (0,2) | 0 | 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| (1,3) | 1 | 1 | 8 | 9 | 8 | 9 | 0 | 0 | 0 |
| (2,3) | 1 | 5 | 3 | 8 | 4 | 9 | 1 | 1 | 0 |
| (2,4) | 1 | 2 | 3 | 5 | 13 | 15 | 10 | 10 | 0 |
| (3,4) | 2 | 6 | 9 | 15 | 9 | 15 | 0 | 0 | 0 |
Критический путь: (0,1)(1,3)(3,4) . Продолжительность критического пути: 15.
Независимый резерв времени работы
R ij Н - часть полного резерва времени, если все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.
Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать, если окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если R ij Н ≥0, то такая возможность имеется. Если R ij Н <0 (величина отрицательна), то такая возможность отсутствует, так как предыдущая работа ещё не оканчивается, а последующая уже должна начаться (показывает время, которого не хватит у данной работы для выполнения ее к самому раннему сроку совершения ее (работы) конечного события при условии, что эта работа будет начата в самый поздний срок ее начального события). Фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.
Практическое занятие №2
Параметры сетевой модели
1. Порядок сетевого планирования
1. Установление полного перечня работ, которые необходимо выполнить при планировании комплекса работ.
2. Составление топологии сети - четкой последовательности и взаимосвязей всех работ и построение сетевого графика.
3. Оценка продолжительности выполнения отдельных работ.
4. Расчет параметров сетевого графика.
5. Анализ и оптимизация сетевого графика.
6. Управление ходом работ по сетевому графику.
Параметры сетевой модели
В системах СПУ применяются различные типы сетевых моделей, отличающиеся составом информации о комплексе работ.
Встречаются модели с детерминированной и вероятностной структурой сети, с детерминированными и вероятностными оценками продолжительности работ сети. При выборе модели руководителю проекта приходится принимать компромиссное решение: с одной стороны, сетевая модель должна быть простой, а с другой – адекватной объекту.
Широкое применение получила сетевая модель ПДВ (простейшая детерминированная временная), которая характеризуется следующими тремя моментами:
а) имеется сеть с единственным исходным и единственным завершающим событием;
б) продолжительности всех работ t ij известны, однозначно определены (вспомните из математики: детерминант – определитель) и указаны на графике (обычно в днях, в зарубежной практике – чаще в неделях);
в) задан момент начала выполнения комплекса Т 0 , а также задается (но не обязательно) директивный срок Т дир наступления завершающего события.
Рассмотрим временные параметры этой модели.
По известным продолжительностям работ легко определить продолжительность каждого пути – t(L) . Продолжительность любого пути равна сумме продолжительностей работ, его составляющих:
Для пояснения обратимся к рис.1. На графике над стрелками указаны продолжительности работ в днях (напомним, что продолжительность фиктивной работы равна нулю).
 |
Найдем на графике полные пути и определим их продолжительность (по номерам событий):
L 1 1 – 2 – 5 – 7 – 8 t(L 1) = 14 дн.
L 2 1 – 2 – 4 – 5 – 7 – 8 t(L 2) = 12 дн.
L 3 1 – 3 – 4 – 5 – 7 – 8 t(L 3) = 13 дн.
L 4 1 – 3 – 6 – 7 – 8 t(L 4) = 16 дн.
Всегда найдется путь, имеющий наибольшую продолжительность, он называется критическим – L кр . Его продолжительность получила особое обозначение:
t(L кр) = Т кр.
Понятие критического пути является центральным понятием в системе СПУ. Значение L кр , во-первых, состоит в том, что он является самым длинным путем в сети и, таким образом, является единственным путем, который определяет полную продолжительность процесса. Поэтому, если мы хотим определить полную продолжительность процесса, нужно определить Т кр , а определять для этой цели все остальные t(L) не имеет смысла. Во-вторых, если мы хотим сократить продолжительность процесса, нужно прежде всего сокращать продолжительность работ, принадлежащих L кр . Таким образом, логика сетевого планирования приводит нас к необходимости находить в сетях критические пути и определять их продолжительность.
На графике рис. 1 путь L 4 имеет наибольшую продолжительность, равную 16 дням, и потому является критическим. Обычно критический путь на графиках выделяется (цветными, двойными, жирными и т.п. стрелками).
Обратим внимание, что в сети может быть несколько критических путей (с точки зрения использования ресурсов – чем больше критических путей в графике, тем лучше).
Обычно к L кр принадлежит 10-15 % работ. Чем сложнее сеть, тем таких работ меньше (считается, что в сети средней сложности количество работ в 1,7 раза превышает количество событий).
Другие полные пути рассматриваемого сетевого графика могут либо полностью проходить вне критического пути (L 1 и L 2 ), либо частично с ним совпадать (L 3 ). Эти пути называются ненапряженными : на участках, не совпадающих с критической последовательностью работ, они имеют резервы времени. Задержка в наступлении событий, лежащих на этих участках, до определенного момента не влияет на срок завершения всего комплекса.
Из ненапряженных путей наибольшее внимание привлекают наименее напряженные и подкритические. Подкритические пути имеют продолжительность, близкую к Т кр (отличаются от Т кр на определенную величину, устанавливаемую руководителем проекта). Эти пути могут стать критическими в результате задержки выполнения их работ или в результате сокращения продолжительности работ, лежащих на критическом пути, и, следовательно, являются потенциально опасными с точки зрения соблюдения сроков завершения проекта.
Например, при увеличении времени выполнения работы 2-5 (рис. 1) на 2 дня это приведет к тому, что t(L 1) = 16 дн. = Т кр . Тогда L 1 тоже станет критическим и будет определять срок выполнения всего комплекса.
Наименее напряженные пути могут рассматриваться с точки зрения возможности использования ресурсов (рабочей силы, оборудования, денежных средств). Возможное удлинение этих путей, вызванное переброской ресурсов, до определенных пределов не опасно для сроков проекта.
Работы, принадлежащие критическому и подкритическим путям, составляют критическую зону комплекса (15-20 % всех работ).
Зная продолжительность всех работ, можно также определить сроки наступления всех событий сети. Для каждого события определяют ранний и поздний сроки его наступления.
Ранний срок наступления события – это минимальный из возможных моментов его наступления, когда будут выполнены все работы, предшествующие данному событию. Он определяется максимальной из продолжительностей всех путей, предшествующих данному событию:
где - путь, предшествующий данному событию i ;
Поясним это на примере рис. 1. Событию 5 предшествуют три пути: 1-2-5 с продолжительностью 7 дн., 1-2-4-5 с продолжительностью 5 дн. и 1-3-4-5 с продолжительностью 6 дн. Событие 5 не может наступить ранее 7 дней, т.к. только в течение этого периода будут выполнены все предшествующие ему работы 2-4, 3-4 и 2-5.
Легко увидеть, что для события 3 ранний срок его наступления = 4 дн., т.к. ему предшествует только один путь 1-2, состоящий из одной работы.
Поздний срок наступления события - это максимальный из допустимых моментов его наступления, при котором еще не изменяется общий срок выполнения всего комплекса. Поздний срок определяется разностью между Т кр и наибольшей из продолжительностей путей, следующих за событием i :
(3)
где - путь, следующий за событием i ;
Максимальный из этих путей.
Продолжим рассмотрение рис. 1. За событием 5 следует только один путь 5-7-8 продолжительностью 7 дней. Следовательно,
16 – 7 = 9 дн.
За событием 3 следуют два пути: 3-4-5-7-8 с продолжительностью 9 дн. и 3-6-7-8 с продолжительностью 12 дн. Следовательно, = 16 – 12 = 4 дн., т.е. событие 3 не может наступить позже 4 дней от начала работ, иначе это скажется на изменении срока всего комплекса.
Так как по определению критического пути
, (4)
то для всех событий, принадлежащих критическому пути, справедливо равенство:
В справедливости этого мы уже убедились из рассмотренного примера для события 3. Оно лежит на критическом пути, поэтому
Зная сроки наступления событий, можно для каждой работы сети определить сроки ее начала и окончания, выявив тем самым возможности смещения сроков. Применительно к каждой работе рассматриваются четыре срока:
Ранний срок начала работы ; (6)
Ранний срок окончания работы ; (7)
Поздний срок начала работы ; (8)
Поздний срок окончания работы . (9)
С учетом равенства (5) для событий, лежащих на критическом пути, можно сделать вывод, что у работ критического пути ранние и поздние сроки начала или окончания совпадают:
Следующим важным параметром является резерв времени – применительно к пути, событию и работе.
Критический путь является самым продолжительным в сети. Разность между продолжительностью критического пути Т кр и продолжительностью любого другого пути t(L) называется резервом времени пути L и обозначается :
(11)
Чем короче путь L , чем больше он по времени не совпадает с критическим, тем у него больше резерв времени. Физический смысл этого параметра таков: резерв времени пути показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности работ, принадлежащих пути L , чтобы при этом не изменился общий срок выполнения всего комплекса работ.
Так, L 1 (см. рис. 1) не совпадает с критическим на участке сети между 1 и 7 событиями. Его продолжительность, как было показано выше, составляет 14 дней, и, следовательно, резерв равен двум дням. Только двумя днями располагают руководители всех трех работ при непредвиденной задержке в их выполнении.
Все события, не лежащие на критическом пути, обладают резервом времени, который определяется как разность между поздним и ранним сроками его наступления:
Резерв времени события показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. При большей задержке критический путь переместится на максимальный из путей, проходящих через данное событие i .
Так, для события 5 (рис.1) = 9 – 7 = 2 дн. При задержке этого события на 2 и более дней критический путь переместится на максимальный путь L 1 , проходящий через событие 5.
События, лежащие на критическом пути, имеют нулевой резерв времени , в том числе исходное и завершающее события.
Для работ сетевой модели определяются два резерва времени: полный и свободный.
Полный резерв времени работы - это резерв максимального из путей, проходящих через работу i,j
, (13)
где - поздний срок наступления конечного события этой работы;
Ранний срок наступления начального события этой работы;
Продолжительность выполнения работы.
Физический смысл этого параметра таков: этот резерв показывает, на сколько можно задержать начало или увеличить продолжительность отдельной работы, не изменяя директивного (или раннего, если директивный не задан) срока наступления завершающего события. В последнем случае (если директивный срок не задан) – не изменяя Т кр .
Обратим внимание на следующий важный момент: полный резерв принадлежит не одной работе, а всем путям, которые проходят через данную работу. Поэтому использование его полностью на одной из работ пути L аннулирует полные резервы времени всех работ , принадлежащих этому пути.
Например, = 2 дн. (см. рис.1), т.к. он определяется резервом пути L 1 . Если использовать его полностью на работе 5-7, то другие работы этого пути (1-2, 2-5) останутся без резервов времени.
Полные резервы времени принимают минимальное значение у работ, лежащих на критическом пути. Это свойство является необходимым и достаточным условием принадлежности работы критическому пути и используется для его нахождения при расчете сети. Минимальное значение полного резерва равно нулю, если Т дир не задан или превышает момент начала работ Т 0 на величину Т кр . В общем случае оно равно разности (Т кр - Т дир ).
Свободный резерв времени работы представляет собой максимальное время, на которое можно задержать начало или увеличить продолжительность работы i,j при условии, что все события сети наступают в свои ранние сроки:
. (14)
Свободный резерв образуется не у всех работ, а только у работ, непосредственно принадлежащих событиям, через которые проходят пути с различной продолжительностью. Это надо понимать так: если событию предшествует одна работа (например, работа 1-2 на рис.1), то для нее свободный резерв равен нулю по определению ( = 0), в других случаях – 0.
Свободный резерв является частью полного, и потому чаще на практике применяется другая формула:
где – резерв конечного события работы i,j .
Свободный резерв показывает, какая часть полного резерва времени работы может быть использована для увеличения ее продолжительности при условии, что это не вызовет изменения раннего срока наступления ее конечного события. Свободный резерв является независимым резервом, т.е. использование его на одной из работ не изменяет величины свободных резервов времени остальных работ сети. Используя свободный резерв времени, ответственный исполнитель может маневрировать в его пределах временем начала данной работы, ее окончания или ее продолжительностью, не затрагивая интересов других руководителей работ.
Практическое занятие №3
Расчет параметров сетевых графиков.
«Графический» способ
Для расчета параметров сетевых графиков предложен ряд способов:
а) непосредственно на самом графике (так называемый «графический» способ);
б) табличный способ;
в) матричный способ;
г) на основе машинных алгоритмов.
В средних и крупных комплексах такую работу выполняют специально выделенные работники, входящие в службу СПУ. В настоящее время на многих предприятиях и в организациях имеются стандартные и собственной разработки программы расчета параметров сети на ЭВМ.
«Графический» способ
Расчет параметров и запись результатов осуществляются на самом графике. Для этого сетевой график, желательно не имеющий пересечений, вычерчивается в укрупненном масштабе: диаметр кружков, изображающих на графике события, равен 15-25 мм. Кружки делятся на 4 сектора.
«Ключ» к чтению такого графика показан на рис. 2: в нижних секторах будем изображать номер события; в левых секторах – ранние сроки наступления событий; в правых – поздние сроки наступления событий; в верхних – резервы времени событий; в квадратных скобках под стрелкой – полный и свободный резерв каждой работы; над стрелкой – продолжительность работы.
Вначале график перечерчивается в укрупненном масштабе (рис. 4). Напомним, что продолжительность фиктивной работы равна нулю. И еще: не имеет значения, в какой сектор кружка направлена стрелка.
Параметры графика рассчитываются в следующем порядке.
1. Определение раннего срока наступления каждого события .
Для исходного события 1 имеем = 0 и это указывается в левом секторе. Для остальных событий 
в соответствии с формулой (2).
 |
Это означает, что если в событие входит одна стрелка (например, событие 2), то к раннему сроку наступления предыдущего события 1 прибавляется продолжительность работы 1-2, а результат записывается в левом секторе события 2.
В событие 3 входит две работы: 1-3 и 2-3. Поэтому вначале получаем два значения: 0 + 4 = 4 и 2 + 7 = 9. Большее значение (9 дней) является ранним сроком наступления события 3, что и отмечается в его левом секторе.
Поскольку завершающее событие всегда лежит на критическом пути, можно сказать, что = = 19 дней. Через какие работы и события пройдет критический путь, мы не знаем, но его продолжительность уже определена при расчете первого параметра сети.
2. Определение поздних сроков наступления событий .
Расчет ведется от завершающего события (с конца графика) в строго обратном порядке. Поскольку у событий, лежащих на критическом пути, ранние и поздние сроки совпадают, то для завершающего события = = 19 дней, что и отмечено в правом секторе (рис. 5).
 |
Для остальных событий в соответствии с формулой (3) можно записать . Для события 5 имеем = 19 – 4 = 15 дней, для события 6 = 19 – 2 = 17 дней, для события 4 = 15 – 0 = = 15 дней.
В эти события, идя с конца графика, можно попасть только одним путем, поэтому нет необходимости определять минимальное значение, как, например, для события 3. Из него выходят работы 3-4 и 3-6, поэтому вначале получаем два значения: 15 – 6 = 9 и 17 – 3 = 14. Меньшее значение (9 дней) является поздним сроком наступления события 3, что и отмечено в его правом секторе.
3. Определение резервов времени событий .
Расчет можно вести или с начала графика, или с его конца. Для любого события . Это значит, что для каждого события из значения его правого сектора надо вычесть значение левого сектора, а результат поставить в его верхний сектор (рис. 6).
 |
4. Нахождение критического пути на графике, т.е. находятся события и работы, лежащие на критическом пути.
Процедуру можно осуществлять с начала или конца графика.
а) Необходимое условие принадлежности события критическому пути: , т.е. отыскивают последовательно события с нулевыми резервами времени.
б) Если из события с нулевым резервом выходит несколько работ, имеющих нулевой резерв конечного события, то проверяется достаточное условие принадлежности работы критическому пути:
5. Определение полного резерва времени работы .
Находим полные резервы только для работ, не лежащих на критических путях и не являющихся фиктивными, по формуле (13) 
. Результат записывается в квадратных скобках под стрелкой или рядом с ней. Так, для работы 1-3 полный резерв времени равен 9 – 4 – 0 = 5 дней, для работы 2-5 имеем 15 – 6 – 2 = 7 дней и т.д.
Напомним, что если у работы , то она обязательно лежит на критическом пути (это для самопроверки).
6. Определение свободного резерва времени работы .
Свободный резерв времени является частью полного, поэтому его определяют у тех же работ, не лежащих на критическом пути и не являющихся фиктивными, по формуле (15) . Расчет по этой формуле проще, чем по формуле (14), т.к. к этому времени полные резервы работ и резервы событий уже рассчитаны. Так, для расчета надо взять значение полного резерва работы 2-5 (7 дней) и вычесть из него резерв конечного события этой работы (0 дней), результат указать под стрелкой и закрыть квадратную скобку. Аналогично быстро рассчитываются свободные резервы других работ.
Практические советы:
б) для ускорения процесса расчета параметров этап 6 целесообразно совмещать с этапом 5, т.к. в сложных сетях каждый раз отыскивать на графике одну и ту же работу затруднительно.
Практическое занятие №4
Расчёт сетевого графика табличным способом производится по формулам, ранее изложенным в разделе 4 (1-10). При определении параметров сетевых моделей аналитическим способом расчёт выполняется в форме таблицы. Рассмотрим особенности расчёта сетевых моделей данным способом (приожениие 1) на примере расчёта параметров сетевого графика, изображенного в задании к данной курсовой работе (вариант 15).
На начальном этапе необходимо описать исходную сетевую модель. При этом в первую графу таблицы заносятся шифры всех работ и зависимостей, начиная с работы, выходящей из первого события. Шифры работ должны быть включены в таблицу последовательно, произвольный порядок включения работ и зависимостей в таблицу недопустим. Во вторую графу таблицы вносятся продолжительности всех работ и зависимостей.
Расчёт сетевого графика начинается с определения значений ранних параметров работ. Раннее начало работы 1-2 равно нулю (формула 1), а её раннее окончание по формуле 2.
Раннее начало работ 2-6 и 2-7 (в соответствии с формулой 3) равно раннему окончанию работы 1-2.
Максимальное значение раннего окончания работы 19-21, равное 36, определяет продолжительность критического пути и, следовательно, общую продолжительность выполнения всех работ по исходной сетевой модели. Полученное значение раннего окончания данной работы 19-21 = 36 переносится в графу позднего окончания завершающей работы 20-21.
Позднее начало работы 20-21 определяется в соответствии с формулой 5 (= 34)
Позднее начало работы 20-21 является поздним окончанием предшествующей ей работы 15-20 (=).
Далее расчёт поздних параметров выполняется аналогично, за исключением случаев, когда у работы имеется несколько последующих работ (например, у работы 6-9 имеется две последующих - 9-10 и 9-14). В этом случае, в соответствии с формулой 4, позднее окончание работы 6-9 равно минимальному значению поздних начал последующих работ 9-10 и 9-14.
Для нахождения положения критического пути необходимо определить значения общего и частного резервов времени для каждой работы и зависимости сетевого графика и занести их значения соответственно в 7 и 8 графы расчётной таблицы.
Общий резерв времени работ, согласно формулам 8-9, определяется как разность позднего и раннего окончания либо как разность позднего и раннего начал соответствующих работ. Полезно определить значение общего резерва времени обоими способами, совпадение полученных значений может рассматриваться как дополнительная проверка. Например, для работы 6-7:
Частный резерв времени работы, согласно формуле 10, определяется как разность значения раннего начала последующей работы и значения раннего окончания для данной работы. Например, для работы 6-7:
Критический путь характеризуется равенством нулю резервов времени. Сопоставление параметров сетевой модели, полученных секторным и табличным способами должно выявить их полную идентичность, наличие расхождений свидетельствует об ошибочности расчётов.
Графический метод расчета сетевых графиков
Расчёт сетевого графика графическим способом ведется аналогично табличному методу (формулы 1-10) , однако графический или секторный способ расчёта параметров сетевого графика предполагает их запись непосредственно на модели (приложение 2). При этом каждое событие (кружок) делится на четыре сектора. Обозначение секторов приведено на следующем рисунке:
Для работ критического пути значения общего и частного резерва времени равны нулю, он выделяется на сетевом графике двойной линией.
Для проверки правильности выполненных расчётов следует убедиться в том, что:
- * выявлен непрерывный критический путь;
- * рассчитанные резервы времени имеют неотрицательное значение;
- * значение частного резерва времени для всех работ меньше или равно значению общего резерва времени для данных работ;
- * хотя бы одно значение позднего начала работ (работы), выходящих из первого события, равно нулю.