С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным, а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.
Введение
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.
1.1 Конспект.
Эквивалентные преобразования рациональных неравенств
1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.
Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.
Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.
Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.
Для обозначения эквивалентности используют знак
Решение системы неравенств. Эквивалентные преобразования системы
2. Решение системы неравенств
Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.
Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.
В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак
Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.
Решение первого неравенства методом интервалов
3. Решение неравенства методом интервалов
1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.
2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.
3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.
Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.
Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.
Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства
Прием сведения дробно-рационального неравенства к квадратному.
Решение первого неравенства путем сведения к квадратному
4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства
Важный факт.
При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.
Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.
Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.
Решим квадратное неравенство.
Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.
Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.
Вне интервала корней функция положительна.
Решение первого неравенства:
Решение второго неравенства
5. Решение неравенства
Введем функцию:
Найдем ее интервалы знакопостоянства:
Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.
Расставим знаки:
Запишем решение:
Пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Форма записи решения
Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.
Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.
Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.
Решение же второго неравенства изобразим под осью.
Решением системы будут те значения переменной, которые удовлетворяют как первому, так и второму неравенству. Итак, решение системы:
Заключение
- Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 2008Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010
1.3. Дополнительные веб-ресурсы
http://slovo. ws/urok/algebra -Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.
http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/
1.4. Сделай дома
Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010
Домашнее задание: 4.24; 4.28
Другие задания: 4.25; 4.26
Нужно скачать поурочный план по теме » Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств ?
Примеры:
\(\frac{9x^2-1}{3x}\) \(\leq0\)
\(\frac{1}{2x}\) \(+\) \(\frac{x}{x+1}\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}\) \(>\) \(\frac{x^2-5x}{x+1}\) .
При решении дробных рациональных неравенств используется метод интервалов. Поэтому если алгоритм, приведенный ниже, вызовет у вас затруднения, посмотрите статью по .
Как решать дробные рациональные неравенства:
Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.
Примеры:
Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:
Определяем знак в самом крайнем правом интервале - берем число с этого интервала и подставляем его в неравенство вместо икса. После этого определяем знаки в скобках и результат перемножения этих знаков;
Примеры:
Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести его в ответ (см. пример ниже).
Примеры:
Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).
Примеры:
Ответ: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪}