Введение
На разработку методов прямого поиска для определения минимума функций и переменных было затрачено много усилий. Методы прямого поиска являются методами, в которых используются только значения функции. Мы рассмотрим подробно лишь один из них. Практика показала, что этот метод эффективен и применим для широкого числа приложений. Рассмотрим функцию двух переменных. Ее линии постоянного уровня 1 на рис. 1,
а минимум лежит в точке (x 1 * ,x 2 *). Простейшим методом поиска является метод покоординатного спуска. Из точки А мы производим поиск минимума вдоль направления оси и, таким образом, находим точку В, в которой касательная к линии постоянного уровня параллельна оси. Затем, производя поиск из точки В в направлении оси, получаем точку С, производя поиск параллельно оси, получаем точку D, и т. д. Таким образом, мы приходим к оптимальной точке. Очевидным образом эту идую можно применить для функций n-переменных.
Теоретически данный метод эффективен в случае единственного минимума функции. Но на практике он оказывается слишком медленным. Поэтому были разработаны более сложные методы, использующие больше информации на основании уже полученных значений функции.
Метод Хука-Дживса
Метод Хука-Дживса был разработан в 1961 году, но до сих пор является весьма эффективным и оригинальным. Поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу. Он применяется для решения задачи минимизирования функции без учета ограничений.
Описание этой процедуры представлено ниже:
А. Выбрать начальную базисную точку b 1 и шаг длиной h 1 для каждой переменной x j , j = 1, 2,…, n. В приведенной ниже программе для каждой переменной используется шаг h , однако указанная выше модификация тоже может оказаться полезной.
Б. Вычислить f (х) в базисной точке b 1 с целью получения сведений о локальном поведении функции f (x). Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции. Функция f (x) в базисной точке b 1 , находится следующим образом:
1. Вычисляется значение функции f (b 1) в базисной точке b 1 .
2. Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага. Таким образом, мы вычисляем значение функции f (b 1 +h 1 e 1), где e 1 – единичный вектор в направлении оси x 1 . Если это приводит к уменьшению значения функции, то b 1 заменяется на b 1 +h 1 e 1 . В противном случае вычисляется значение функции f (b 1 -h 1 e 1), и если ее значение уменьшилось, то b 1 заменяем на b 1 -h 1 e 1 . Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b 1 остается неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х 2 , т. е. находится значение функции f (b 1 +h 2 e 2) и т. д. Когда будут рассмотрены все n переменные, мы будем иметь новую базисную точку b 2 .
3. Если b 2 =b 1 , т. е. уменьшение функции не было достигнуто, то исследование повторяется вокруг той же базисной точки b 1 , но с уменьшенной длиной шага. На практике удовлетворительным является уменьшение шага (шагов) в десять раз от начальной длины.
4. Если b 2 b 1 , то производится поиск по образцу.
В. При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим образом:
- Разумно двигаться из базисной точки b 2 в направлении b 2 -b 1 , поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца
P 1 =b 1 +2(b 2 -b 1) .
P i =b i +2(b i+1 -b i) .
2. Затем исследование следует продолжать вокруг точки Р 1 (Р i) .
3. Если наименьшее значение на шаге В, 2 меньше значения в базисной точке b 2 (в общем случае b i+1), то получают новую базисную точку b 3 (b i+2), после чего следует повторить шаг В, 1. В противном случае не производить поиск по образцу из точки b 2 (b i+1), а продолжить исследования в точке b 2 (b i+1).
Г. Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшена до заданного малого значения.
Модифицированный метод Хука-Дживса
Этот метод нетрудно модифицировать и для учета ограничений.Было выдвинуто предложение, что для этого будет вполне достаточно при решении задачи минимизации присвоить целевой функции очень большое значение там,где ограничения нарушаются.К тому же такую идею просто реализовать с помощью програмирования.
Нужно проверить,каждая ли точка,полученная в процессе поиска, принадлежит области ограничений.Если каждая, то целевая функция вычисляется обычным путем. Если нет, то целевой функции присваивается очень большое значение. Таким образом, поиск будет осуществляться снова в допустимой области в направлении к минимальной точке внутри этой области.
В тексте прогаммы модифицированного метода прямого поиска Хука-Дживса сделана попытка реализовать такую процедуру. Рассматриваемая задача формулируется следующим образом:
минимизировать f
Текст программы
program HuDjMody;
(*** Модифицированный метод Хука-Дживса ***)
(*** (при наличии ограничений) ***)
label 0,1,2,3,4,5,6,7;
var k,h,z,ps,bs,fb,fi:real;
i,j,n,fe:integer;
x,y,b,p:array of real;
(*** Процедура,вычисляющая функцию ***)
procedure calculate;
z:=3*sqr(x)+(4*x*x)+(5*sqr(x));
if (x<0) or (x<0) or ((x+x)<4) then
fe:=fe+1; (*** Счетчик ***)
writeln("Модифицированный метод Хука-Дживса");
writeln("(при наличии ограничений)");
writeln("Введите число переменных:");
writeln("Введите начальную точку x1,x2,…,xN");
for i:=1 to n do
writeln("Введите длину шага");
for i:=1 to n do
writeln("Начальное значение функции", z:2:3);
for i:=1 to n do
writeln(x[i]:2:3);
(*** Исследование вокруг базисной точки ***)
0: x[j]:=y[j]+k;
if z if z writeln("Пробный шаг"," ", z:2:3); for i:=1 to n do writeln(x[i]:2:3); if j=n then goto 3; 3: if fi (*** После оператора 3,если функция не уменьшилась, ***) (*** произвести поиск по образцу ***) if (ps=1) and (bs=0) then (*** Но если исследование производилось вокруг точки ***) (*** шаблона PT,и уменьшение функции не было достигнуто,***) (*** то изменить базисную точку в операторе 4: ***) (*** в противном случае уменьшить длину шага в операторе***) 4: for i:=1 to n do writeln("Замена базисной точки"," ",z:2:3); for i:=1 to n do writeln(x[i]:1:3); (*** (следует за последним комментарием) ***) (*** и провести исследование вокруг новой базисной точки ***) writeln("Уменьшить длину шага"); if k<1e-08 then goto 7; (*** Если поиск незакончен,то произвести новое ***) (*** исследование вокруг новой базисной точки ***) (*** Поиск по образцу ***) 6: for i:=1 to n do p[i]:=2*y[i]-b[i]; writeln("Поиск по образцу"," ",z:2:3); for i:=1 to n do writeln(x[i]:2:3); (*** После этого произвести исследование вокруг ***) (*** последней точки образца ***) 7: writeln("Минимум найден"); for i:=1 to n do writeln("x(",i,")=",p[i]:2:3); writeln("Минимум функции равен"," ",fb:2:3); writeln("Количество вычислений функции равно"," ",fe); repeat until keypressed; Приведенная выше программа реализует описанную процедуру. Одной или двух точек бывает недостаточно для определения начальной точки. Первая точка всегда должна выбираться осмотрительно. ЭВМ работает только с ограниченной точностью, и ошибки могут накапливаться в процессе сложных вычислений, особенно если шаг имеет “неудобную” длину. (Обычно мы будем избегать “неудобной” длины, но программа должна быть работоспособна и в таких ситуациях.) Поэтому в строке, где выясняется вопрос об изменении базисной точки, мы избегаем уменьшения длины шага из-за накапливания ошибки введением длины шага, равной
. Мы отслеживаем, где производится исследование – в базисной точке (В5 = 1, Р5 = 0) или в точке образца (В5 = 0, Р5 = 1). Как можно убедиться на практике, если не принимаются такие меры предосторожности даже программа с удовлетворительной логикой будет неработоспособна. В приведенной программе минимальная длина шага равна
, но она может быть изменена. Для контроля за выполнением процедуры в программу введена печать промежуточных результатов. Для увеличения скорости счета могут быть удалены строки вывода подсказок и пояснений. Процедура
calculate
вычисляет значение минимизируемой функции,в нашем случае:
f
(x
1
,x
2) = 3x
1
2
+4x
1
x
2
+5x
2
2
, при ограничениях x
1
x
2
x
1
+x
2
. Минимум, равный 44, достигается в точке (3;1) при ограничении x
1
+x
2
=4. Для начальной точки (4;3) и при длине шага, равной единице, программой успешно решена задача минимизации. Ниже приведена распечатка результата работы программы: Модифицированный метод Хука-Дживса (при наличииограничений) Введите число переменных Введите длину шага Начальное значение функции 141.000 Пробный шаг 108.000 Пробный шаг 71.000 Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Поиск по образцу 1.70000000000001566Е+0038 Пробный шаг 48.000 Пробный шаг 48.000 Замена базисной точки 44.000 Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Минимум найден Минимум функции равен 44.000 Количество вычислений равно 74 Для начальной точки (3;4) и длины шага, равной единице, программой также успешно решена задача минимизации. Для начальной точки (5;6) и длины шага, равной единице, задача не решена, т.к. программа остановилась в точке (1;3) , т.е. на активном ограничении, и выдала неверный результат. Распечатка результата работы программы приведена ниже: Модифицированный метод Хука-Дживса (при наличииограничений) Введите число переменных Введите начальную точку х1,х2,…,хN Введите длину шага Начальное значение функции 375.000 Пробный шаг 324.000 Пробный шаг 253.000 Поиск по образцу 155.000 Пробный шаг 124.000 Пробный шаг 81.000 Поиск по образцу 1.70000000000001566Е+0038 Пробный шаг 1.70000000000001566Е+0038 Замена базисной точки 81.000 Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Поиск по образцу 1.70000000000001566Е+0038 Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Замена базисной точки 60.000 Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Минимум найден Минимум функции равен 60.000 Количество вычислений равно 89 Аналогичные неутешительные результаты были получены для начальной точки (5;6) и длины шага, равной 0.5 .Неверное решение было найдено в точке (1.5;2.5) . Для начальной точки (4;3) и длины шага, равной 0.5 ,программа работала нормально, но было получено неверное решение в точке (2.5;1.5) . Проблема понятна. С помощью данного метода невозможно двигаться вдоль границы области ограничений и сходимость достигается в первой же точке границы, где и находится решение. Общая задача оптимизации при наличии ограничений очень сложна и для получения практического метода решения требуются более изощренные процедуры, чем приведенная выше. Литература: Стратегия поиска.
Метод представляет собой комбинацию исследующего поиска
с циклическим изменением переменных и ускоряющего поиска по образцу
. Цель исследующего поиска
– выявление локального поведения целевой функции и определение направления ее убывания. Эта информация используется при поиске по образцу вдоль направления убывания целевой функции. Исследующий поиск
начинается из некоторой начальной точки , называемой старым базисом
. В качестве множества направлений поиска выбирается множество координатных направлений. Задается величина шага, которая может быть различной для разных координатных направлений. Фиксируется первое координатное направление и делается шаг в сторону увеличения соответствующей переменной. Если значение исходной функции f(x) в пробной точке меньше значения функции в исходной точке, то шаг считается удачным. В противном случае из исходной точки делается шаг в противоположном направлении с последующей проверкой поведения функции. Если и в этом случае не происходит уменьшения функции, то происходит уменьшение шага и процедура повторяется. Исследующий поиск по данному направлению заканчивается, когда текущая величина шага становится меньше некоторой величины. После перебора всех координат исследующий поиск
завершается, полученная точка называется новым базисом.
Поиск по образцу
заключается в движении по направлению от старого базиса
к новому
. Величина ускоряющего шага задается ускоряющим множи-телем . Успех поиска по образцу определяется с помощью исследующего поиска
из полученной точки. Если значение функции в наилучшей точке меньше, чем в точке предыдущего базиса, то поиск по образцу удачен, в противном случае происходит возврат в новый базис
, где продолжается исследующий поиск с уменьшенным шагом. Обозначим через – координатные направления: Отметим, что при поиске по направлению меняется только переменная , а остальные переменные остаются зафиксированными. Алгоритм метода.
Шаг 1.
Задать начальную точку , число - для остановки алгоритма, начальные значения приращений по координатным приращениям Шаг 2.
Провести исследующий поиск
по выбранному координатному направлению: Шаг 3.
Проверить условия: а) если i < n, то положить i= i+1 и перейти к шагу 2. (продолжить исследующий поиск по оставшимся направлениям); б) если i = n, проверить успешность исследующего поиска: Если Если Шаг 4.
Провести поиск по образцу. В точке провести исследующий поиск
, в результате которого получается точка Если , то точка становится точкой нового базиса
, а - точкой старого базиса
. Перейти к шагу 5. . Если , то поиск по образцу считается неудачным, точки , аннулируются, точка остается точкой нового базиса, а - точкой старого базиса. Перейти к шагу 2. Шаг 5.
Проверить условие окончания счета: а) если все , то поиск закончить ; б) для тех i, для которых , уменьшить величину шага и перейти к шагу 2. Найти минимум функции Зададим начальную точку То шаг неудачен. , то шаг удачен. Поскольку i=1 <2=n, то положим i=2 и перейдем к шагу 2. То шаг неудачен. То шаг удачен Поскольку i=2=n и , то перейдем к шагу 4. Проведем поиск по образцу из точки Положим i=1, k= k+1=1. и перейдем к шагу 2. Выполняем исследующий поиск
из точки . , то шаг неудачен. Т.к. , то шаг удачен. Поскольку i=1 <2=n, то положим i= i+1=2 и перейдем к шагу 2. То шаг неудачен. , то шаг неудачен. Методы Хука-Дживса
1. Введение 2. Метод Хука-Дживса 4. Блок-схема данного метода 5. Блок-схема единичного исследования 6. Текст программы 7. Распечатка результатов работы программы 8. Литература Введение
На разработку методов прямого поиска для определения минимума функций и переменных было затрачено много усилий. Методы прямого поиска являются методами, в которых используются только значения функции. Мы рассмотрим подробно лишь один из них. Практика показала, что этот метод эффективен и применим для широкого числа приложений. а минимум лежит в точке (x 1
*
,x 2
*). Простейшим методом поиска является метод покоординатного спуска. Из точки А мы производим поиск минимума вдоль направления оси и, таким образом, находим точку В, в которой касательная к линии постоянного уровня параллельна оси. Затем, производя поиск из точки В в направлении оси, получаем точку С, производя поиск параллельно оси, получаем точку D, и т. д. Таким образом, мы приходим к оптимальной точке. Очевидным образом эту идую можно применить для функций n-переменных. Теоретически данный метод эффективен в случае единственного минимума функции. Но на практике он оказывается слишком медленным. Поэтому были разработаны более сложные методы, использующие больше информации на основании уже полученных значений функции. Метод Хука-Дживса
Метод Хука-Дживса был разработан в 1961 году, но до сих пор является весьма эффективным и оригинальным. Поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу. Он применяется для решения задачи минимизирования функции без учета ограничений. Описание этой процедуры представлено ниже: А. Выбрать начальную базисную точку b 1
и шаг длиной h 1
для каждой переменной x j
, j
= 1, 2,…, n. В приведенной ниже программе для каждой переменной используется шаг h
, однако указанная выше модификация тоже может оказаться полезной. Б. Вычислить f
(х) в базисной точке b 1
с целью получения сведений о локальном поведении функции f
(x). Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции. Функция f
(x) в базисной точке b 1
, находится следующим образом: 1. Вычисляется значение функции f
(b 1) в базисной точке b 1
. 2. Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага. Таким образом, мы вычисляем значение функции f
(b 1
+h 1
e 1), где e 1
– единичный вектор в направлении оси x 1
. Если это приводит к уменьшению значения функции, то b 1
заменяется на b 1
+h 1
e 1
. В противном случае вычисляется значение функции f
(b 1
-h 1
e 1), и если ее значение уменьшилось, то b 1
заменяем на b 1
-h 1
e 1
. Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b 1
остается неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х 2
, т. е. находится значение функции f
(b 1
+h 2
e 2) и т. д. Когда будут рассмотрены все n переменные, мы будем иметь новую базисную точку b 2
. 3. Если b 2
=b 1
, т. е. уменьшение функции не было достигнуто, то исследование повторяется вокруг той же базисной точки b 1
, но с уменьшенной длиной шага. На практике удовлетворительным является уменьшение шага (шагов) в десять раз от начальной длины. 4. Если b 2
b 1
, то производится поиск по образцу. В. При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим образом: 3. Разумно двигаться из базисной точки b 2
в направлении b 2
-b 1
, поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца P 1
=b 1
+2(b 2
-b 1) . В общем случае P i
=b i
+2(b i+1
-b i) . 2. Затем исследование следует продолжать вокруг точки Р 1
(Р i) . 3. Если наименьшее значение на шаге В, 2 меньше значения в базисной точке b 2
(в общем случае b i+1), то получают новую базисную точку b 3
(b i+2), после чего следует повторить шаг В, 1. В противном случае не производить поиск по образцу из точки b 2
(b i+1), а продолжить исследования в точке b 2
(b i+1). Г. Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшена до заданного малого значения. Модифицированный метод Хука-Дживса
Этот метод нетрудно модифицировать и для учета ограничений.Было выдвинуто предложение, что для этого будет вполне достаточно при решении задачи минимизации присвоить целевой функции очень большое значение там,где ограничения нарушаются.К тому же такую идею просто реализовать с помощью програмирования. Нужно проверить,каждая ли точка,полученная в процессе поиска, принадлежит области ограничений.Если каждая, то целевая функция вычисляется обычным путем. Если нет, то целевой функции присваивается очень большое значение. Таким образом, поиск будет осуществляться снова в допустимой области в направлении к минимальной точке внутри этой области. В тексте прогаммы модифицированного метода прямого поиска Хука-Дживса сделана попытка реализовать такую процедуру. Рассматриваемая задача формулируется следующим образом: минимизировать f
program HuDjMody; (*** Модифицированный метод Хука-Дживса ***) (*** (при наличии ограничений) ***) label 0,1,2,3,4,5,6,7; var k,h,z,ps,bs,fb,fi:real; i,j,n,fe:integer; x,y,b,p:array of real; (*** Процедура,вычисляющая функцию ***) procedure calculate; z:=3*sqr(x)+(4*x*x)+(5*sqr(x)); if (x<0) or (x<0) or ((x+x)<4) then fe:=fe+1; (*** Счетчик ***) writeln("Модифицированный метод Хука-Дживса"); writeln("(при наличии ограничений)"); writeln("Введите число переменных:"); writeln("Введите начальную точку x1,x2,…,xN"); for i:=1 to n do writeln("Введите длину шага"); for i:=1 to n do writeln("Начальное значение функции", z:2:3); for i:=1 to n do writeln(x[i]:2:3); (*** Исследование вокруг базисной точки ***) 0: x[j]:=y[j]+k; if z if z writeln("Пробный шаг"," ", z:2:3); for i:=1 to n do writeln(x[i]:2:3); if j=n then goto 3; 3: if fi (*** После оператора 3,если функция не уменьшилась, ***) (*** произвести поиск по образцу ***) if (ps=1) and (bs=0) then (*** Но если исследование производилось вокруг точки ***) (*** шаблона PT,и уменьшение функции не было достигнуто,***) (*** то изменить базисную точку в операторе 4: ***) (*** в противном случае уменьшить длину шага в операторе***) 4: for i:=1 to n do writeln("Замена базисной точки"," ",z:2:3); for i:=1 to n do writeln(x[i]:1:3); (*** (следует за последним комментарием) ***) (*** и провести исследование вокруг новой базисной точки ***) writeln("Уменьшить длину шага"); if k<1e-08 then goto 7; (*** Если поиск незакончен,то произвести новое ***) (*** исследование вокруг новой базисной точки ***) (*** Поиск по образцу ***) 6: for i:=1 to n do p[i]:=2*y[i]-b[i]; writeln("Поиск по образцу"," ",z:2:3); for i:=1 to n do writeln(x[i]:2:3); (*** После этого произвести исследование вокруг ***) (*** последней точки образца ***) 7: writeln("Минимум найден"); for i:=1 to n do writeln("x(",i,")=",p[i]:2:3); writeln("Минимум функции равен"," ",fb:2:3); writeln("Количество вычислений функции равно"," ",fe); repeat until keypressed; Приведенная выше программа реализует описанную процедуру. Одной или двух точек бывает недостаточно для определения начальной точки. Первая точка всегда должна выбираться осмотрительно. ЭВМ работает только с ограниченной точностью, и ошибки могут накапливаться в процессе сложных вычислений, особенно если шаг имеет “неудобную” длину. (Обычно мы будем избегать “неудобной” длины, но программа должна быть работоспособна и в таких ситуациях.) Поэтому в строке, где выясняется вопрос об изменении базисной точки, мы избегаем уменьшения длины шага из-за накапливания ошибки введением длины шага, равной . Мы отслеживаем, где производится исследование – в базисной точке (В5 = 1, Р5 = 0) или в точке образца (В5 = 0, Р5 = 1). Как можно убедиться на практике, если не принимаются такие меры предосторожности даже программа с удовлетворительной логикой будет неработоспособна. В приведенной программе минимальная длина шага равна , но она может быть изменена. Для контроля за выполнением процедуры в программу введена печать промежуточных результатов. Для увеличения скорости счета могут быть удалены строки вывода подсказок и пояснений. Процедура calculate
вычисляет значение минимизируемой функции,в нашем случае: f
(x 1
,x 2) = 3x 1
2
+4x 1
x 2
+5x 2
2
, при ограничениях x 1
x 2
x 1
+x 2
. Минимум, равный 44, достигается в точке (3;1) при ограничении x 1
+x 2
=4. Для начальной точки (4;3) и при длине шага, равной единице, программой успешно решена задача минимизации. Ниже приведена распечатка результата работы программы: Модифицированный метод Хука-Дживса (при наличииограничений) Введите число переменных Введите длину шага Начальное значение функции 141.000 Пробный шаг 108.000 Пробный шаг 71.000 Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Поиск по образцу 1.70000000000001566Е+0038 Пробный шаг 48.000 Пробный шаг 48.000 Замена базисной точки 44.000 Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 44.000 Пробный шаг 44.000 Уменьшить длину шага Минимум найден Минимум функции равен 44.000 Количество вычислений равно 74 Для начальной точки (3;4) и длины шага, равной единице, программой также успешно решена задача минимизации. Для начальной точки (5;6) и длины шага, равной единице, задача не решена, т.к. программа остановилась в точке (1;3) , т.е. на активном ограничении, и выдала неверный результат. Распечатка результата работы программы приведена ниже: Модифицированный метод Хука-Дживса (при наличииограничений) Введите число переменных Введите начальную точку х1,х2,…,хN Введите длину шага Начальное значение функции 375.000 Пробный шаг 324.000 Пробный шаг 253.000 Поиск по образцу 155.000 Пробный шаг 124.000 Пробный шаг 81.000 Поиск по образцу 1.70000000000001566Е+0038 Пробный шаг 1.70000000000001566Е+0038 Замена базисной точки 81.000 Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Поиск по образцу 1.70000000000001566Е+0038 Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Замена базисной точки 60.000 Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Пробный шаг 60.000 Пробный шаг 60.000 Уменьшить длину шага Минимум найден Минимум функции равен 60.000 Количество вычислений равно 89 Аналогичные неутешительные результаты были получены для начальной точки (5;6) и длины шага, равной 0.5 .Неверное решение было найдено в точке (1.5;2.5) . Для начальной точки (4;3) и длины шага, равной 0.5 ,программа работала нормально, но было получено неверное решение в точке (2.5;1.5) . Проблема понятна. С помощью данного метода невозможно двигаться вдоль границы области ограничений и сходимость достигается в первой же точке границы, где и находится решение. Общая задача оптимизации при наличии ограничений очень сложна и для получения практического метода решения требуются более изощренные процедуры, чем приведенная выше. Литература:
1. Б.Банди “Методы оптимизации” 2. Р.Хук, Т.А.Дживс “ Прямой поиск решения для числовых и статических проблем ”, 212-219 с., 1961 .
, ускоряющий множитель 
, перейти к шагу 4.
, перейти к шагу 5.
; число . Положим i=1, k=0.
Рассмотрим функцию двух переменных. Ее линии постоянного уровня 1
на рис. 1,
Текст программы