На станцию технического обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1 автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более 3 машин. Среднее время ремонта - 2 часа. Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.
Решение:
Определяем тип СМО. Фраза «На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для решения используем формулы для одноканальной СМО.
Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди».
Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.
Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания t обс = 2 часа.
Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
- Интенсивность потока обслуживания:
- Интенсивность нагрузки .
ρ = λ t обс = 0.5 2 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен
(доля времени простоя канала). 
Следовательно, 20% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 12 мин.
- Доля заявок, получивших отказ .
Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки, p отк = 0.
- Относительная пропускная способность .
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:
Q = 1 - p отк = 1 - 0 = 1
Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
Число заявок, получивших отказ в течение час: λ p 1 = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 2 = 0.5 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.5 / 0.5 = 100% от номинальной производительности.
Вывод: станция загружена на 100%. При этом отказов не наблюдается.
где λ – это интенсивность поступления заявок в СМО.
Пример .
Вычислить показатели обслуживания для одноканальной СМО, в которую заявки поступают с интенсивностью λ=1,2 заявки в час, время обслуживания t обс =2,5 часа. Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность нагрузки .
ρ = λ t обс = 1,2 2,5 = 3
Интенсивность нагрузки ρ=3 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
t пр = 15 мин.
Доля заявок, получивших отказ . p 1 = 1 - p 0 = 1 - 0.25 = 0.75
Значит, 75% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:
Абсолютная пропускная способность .
A = Q λ = 0.25 1.2 = 0.3 заявок/мин.
Среднее время простоя СМО .
t пр = p отк t обс = 0.75 2.5 = 1.88 мин.
Среднее число обслуживаемых заявок .
L обс = ρ Q = 3 0.25 = 0.75 ед
Число заявок, получивших отказ в течение мин: λ p 1 = 0.9 заявок в мин. Номинальная производительность СМО: 1 / 2.5 = 0.4 заявок в мин. Фактическая производительность СМО: 0.3 / 0.4 = 75% от номинальной производительности.
Абсолютная пропускная способность смо. Пример решения
На станцию технического обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1 автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более 3 машин. Среднее время ремонта - 2 часа. Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.
Решение: Определяем тип СМО. Фраза «На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для решения используем формулы для одноканальной СМО. Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди». Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.
Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания t обс = 2 часа.
Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
Интенсивность нагрузки .
ρ = λ t обс = 0.5 2 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки, p отк = 0.
Относительная пропускная способность .
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени: Q = 1 - p отк = 1 - 0 = 1
Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
Число заявок, получивших отказ в течение час: λ p 1 = 0 заявок в час. Номинальная производительность СМО: 1 / 2 = 0.5 заявок в час. Фактическая производительность СМО: 0.5 / 0.5 = 100% от номинальной производительности.
Вывод: станция загружена на 100%. При этом отказов не наблюдается.
Рассматривается транспортная модель и ее варианты. Такая модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов (например, заводов) в пункты доставки (например, склады). Транспортную модель можно применять при рассмотрении ряда практических ситуаций, связанных с управлением запасами,
составлением сменных графиков, назначением служащих на рабочие места, оборотом наличного капитала, регулированием расхода воды в водохранилищах и многими другими. Кроме того, модель можно видоизменить, с тем чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции.
Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования, однако ее специфическая структура позволяет так модифицировать симплекс-метод, что вычислительные процедуры становятся более эффективными. При разработке метода решения транспортной задачи существенную роль играет теория двойственности.
В классической транспортной задаче рассматриваются перевозки (прямые или с промежуточными пунктами) одного или нескольких видов продукции из исходных пунктов в пункты назначения. Эту задачу можно видоизменить, включив в нее ограничения сверху на пропускные способности транспортных коммуникаций. Задачу о назначениях и задачу управления запасами можно рассматривать как задачи транспортного типа.
Пример
. В пунктах отправления А 1 , А 2 , А 3 находится однородный груз в количестве a 1 , а 2 , а 3 , соответственно, который необходимо перевезти в пункты назначения В 1 , В 2 , В 3 , потребность каждого из которых составляет b 1 , b 2 , b 3 . Известно расстояние между пунктами перевозок (оценки).
Определить такой план перевозок, при котором общее количество тонно-километров будет минимальной.
Входные данные согласно варианту приведены в таблице 3.
1 | 2 | 3 | Запасы |
|
1 | 10 | 15 | 22 | 50 |
2 | 16 | 20 | 11 | 85 |
3 | 18 | 16 | 33 | 52 |
Потребности | 62 | 81 | 43 |
Математическая модель транспортной задачи:
F=∑∑c ij x ij , (1)
при условиях:
∑x ij = a i , i = 1,2,…, m, (2)
∑x ij = b j , j = 1,2,…, n, (3)
x ij ≥ 0
Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи. Переменные:
x 11 – количество груза из 1-го склада в 1-й магазин; x 12 – количество груза из 1-го склада в 2-й магазин; x 13 – количество груза из 1-го склада в 3-й магазин; x 21 – количество груза из 2-го склада в 1-й магазин; x 22 – количество груза из 2-го склада в 2-й магазин; x 23 – количество груза из 2-го склада в 3-й магазин; x 31 – количество груза из 3-го склада в 1-й магазин; x 32 – количество груза из 3-го склада в 2-й магазин; x 33 – количество груза из 3-го склада в 3-й магазин
Ограничения по запасам:
x 11 + x 12 + x 13 ≤ 50 (для 1 базы)
x 21 + x 22 + x 23 ≤ 85 (для 2 базы)
x 31 + x 32 + x 33 ≤ 52 (для 3 базы)
Ограничения по потребностям:
x 11 + x 21 + x 31 = 62 (для 1 магазина)
x 12 + x 22 + x 32 = 81 (для 2 магазина)
x 13 + x 23 + x 33 = 43 (для 3 магазина)
Целевая функция: 10x 11 + 15x 12 + 22x 13 + 16x 21 + 20x 22 + 11x 23 + 18x 31 + 16x 32 + 33x 33 → min
Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- При некоторых реальных условиях перевозки груза из определенного пункта A i в пункт назначения B j не могут быть осуществлены. Для определения оптимальных планов таких задач предполагают, что стоимость перевозки единицы груза из пункта Ai в пункт B j является сколь угодно большой величиной М и при этом условии известными методами находят решение транспортной задачи. Такой подход к нахождению решения ТЗ называется запрещением перевозок.
- В отдельных ТЗ дополнительным условием является обеспечение перевозки по соответствующим маршрутам определенного количества груза. Пусть, например, из Ai в B j требуется обязательно перевезти a ij единиц груза. Тогда в соответствующую клетку таблицы, находящуюся на пересечении строки A i и столбца B j , записывают указанное число a ij и в дальнейшем считают эту клетку свободной со сколь угодно большой стоимостью перевозки М. Для полученной таким образом новой транспортной задачи находят оптимальный план, который определяет оптимальный план исходной задачи.
- Иногда требуется найти решение ТЗ, при котором из A i в B j должно быть перевезено не менее заданного количества груза a ij . Для определения оптимального плана такой задачи считают, что запасы Ai и потребности Bj меньше фактических на a ij единиц. После этого находят оптимальный план новой ТЗ, на основании которого и определяют решение исходной задачи.
Модель без дефицита
В соответствии с терминологией транспортной модели поставщики представлены обычным и сверхурочным производством для различных этапов. Потребители задаются спросом соответствующих этапов. Затраты на «транспортировку» единицы продукции от любого поставщика к любому потребителю представляются суммой соответствующих производственных затрат и затрат на хранение единицы продукции.Матрица полных затрат для эквивалентной транспортной задачи приведена в следующей таблице:
Дополнительный столбец используется для балансировки транспортной задачи, т.е. S = ∑a i - ∑b j . Затраты на единицу продукции в дополнительном столбце равны нулю. Так как дефицит не допускается, то продукцию, выпускаемую на рассматриваемом этапе, нельзя использовать для удовлетворения спроса предыдущих этапов. В таблице это ограничение представлено заштрихованными ячейками, что, в сущности, эквивалентно очень большим затратам на единицу продукции.
Так как задолженность в модели не допускается, то для каждого этапа k в нее необходимо включить ограничение, состоящее в том, что накопленный спрос не должен превышать соответствующего общего объема произведенной продукции, т.е. ∑ (a ri + a ti) ≥ ∑b j , k = 1,2,...,N.
Так как спрос на этапе i должен быть удовлетворен прежде, чем спрос на этапах i+1, i+2,..., N, и поскольку на функцию производственных затрат наложены специальные требования, нет необходимости применять общий алгоритм решения транспортной задачи. Сначала путем последовательного назначения максимально возможных поставок по наиболее дешевым элементам первого столбца удовлетворяется спрос на этапе 1. Затем корректируются значения, которые после этого определяют оставшиеся мощности для различных этапов. Далее рассматривается этап 2, и его спрос удовлетворяется наиболее дешевыми поставками в пределах новых ограничений на производственные мощности. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет удовлетворен спрос этапа N.
Модель с дефицитом
Рассмотрим обобщение описанной выше модели при условии, что допускается дефицит. Предполагается, что задолженный спрос должен быть удовлетворен к концу N-этапного горизонта планирования. Таблицу 1 можно легко модифицировать, чтобы учесть влияние задолженности, введя соответствующие удельные издержки в заблокированные маршруты.Так, например, если p i – удельные потери от дефицита (т.е. на единицу продукции) в случае, когда продукция требуется на этапе i, а поставляется на этапе i+1, то удельные расходы, соответствующие ячейкам R N,1 и T R ,1 , составляют: {c N + p1 + p 2 + … + p N -1 } и {d N + p1 + p 2 + … + p N -1 }соответственно.
Заметим, что в общем случае описанный выше алгоритм может не привести к оптимальному решению.
Одной из типичных задач линейного программирования является так называемая транспортная задача. Она возникает при планировании наиболее рациональных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого плана перевозок, при котором стоимость последних была минимальной, а в других – более важным является выигрыш времени. Первая задача получила название транспортной задачи по критерию стоимости , а вторая – транспортная задача по критерию времени .
Первая задача является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплексным методом.
Пусть в p пунктахотправления находится соответственноa 1 , a 2 , a 3 …a p единиц однородного груза, который должен быть доставленq потребителямв количествах b 1 , b 2 , b 3 …b q единиц.Заданы стоимостиc ik перевозок единицы груза изi - го пункта отправленияk –му пункту потребления.
Обозначим x ik ³ 0 (i = 1, 2…p; k = 1, 2…q)количество единиц груза, перевозимого из i -госкладаk -му потребителю; тогда переменныеx ik должны удовлетворятьследующим ограничительным условиям:
1) (i = 1, 2 …p);
2) 
(k = 1, 2…q);
3) x ik ³ 0
Суммарные затраты на перевозки будут равны
L = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + …+ c pq x pq .
Следовательно, требуется найтиpq переменных x ik , удовлетворяющих указанным условиям и минимизирующих целевую функцию.
§ Пример
В двух пунктах отправления А и В находится соответственно 150 и 90 тонн горючего. Складам №1, 2, и 3 требуется соответственно 60, 70 и 110 тонн горючего. Стоимость перевозки одной тонны горючего из пункта А на склады №1, 2 и 3 соответственно 6, 10 и 4 гривны за тонну горючего, а из пункта В – 12, 2 и 8 гривен. Составить оптимальный план перевозок горючего, чтобы общая сумма транспортных расходов была наименьшей.
Решение.
Обозначим:
x11 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №1;
x12 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №2;
x13 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта А на склад №3;
x21 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №1;
x22 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №2;
x23 - количество горючего, которое может быть поставлено из пункта B на склад №3;
c 11 = 6 – стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта А на склад №1;
с 12 = 10 - стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта А на склад №2;
с 13 = 4 - стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта А на склад №3;
с 21 = 12 - стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта В на склад №1;
с 22 = 2 – стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта В на склад №2;
с 23 = 8 - стоимость единицы количества x 11 горючего, перевозимого из пункта А на склад №3.
Тогда линейная функция, отражающая общую сумму транспортных расходов, имеет вид
L = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 .
Составляем ограничивающие условия:
x 11 ³ 0, x 12 ³ 0, x 13 ³ 0, x 21 ³ 0, x 22 ³ 0, x 23 ³ 0.
x 11 + x 12 + x 13 = 150 --- уравнение, отображающее, что в пункте А находится 150 единиц горючего;
x 21 + x 22 + x 23 = 90 --- уравнение, отображающее, что в пункте B находится 90 единиц горючего;
x 11 + x 21 = 60 --- уравнение, отображающее, что на склад №1 из пунктов А и В требуется 60 единиц горючего;
x 12 + x 22 = 70 --- уравнение, отображающее, что на склад №2 из пунктов А и В требуется 70 единиц горючего;
x 13 + x 23 = 110 --- уравнение, отображающее, что на склад №3 из пунктов А и В требуется 110 единиц горючего;
Решение задачи заключается в необходимости минимизировать линейную функцию L при ограничивающих условиях.
Решим транспортную задачу используя MATHCAD.
Задаем ценовые параметры
Формируем линейную функцию
Задаем произвольные начальные условия
Блок решения
Записываем ограничивающие условия
Задаем оператор минимизации линейной формы
Находим оптимальной решение
Минимальная сумма транспортных расходов
Варианты индивидуальных контрольных заданий №6 (кратно 4)
1. На двух складах А и В находится по 90 тонн горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты №1, 2, 3 соответственно стоят 1, 3 и 5 гривен. Перевозка одной тонны горючего со склада В в те же пункты стоит соответственно 2, 4 и 5 гривен. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими.
2. В резерве трех железнодорожных станций А, В и С находятся соответственно 60, 80 и 100 вагонов. Составить оптимальный план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки хлеба, если пункту №1 необходимо 40 вагонов, №2 – 60 вагонов, №3 – 80 вагонов и №4 – 60 вагонов. Стоимость перегона одного вагона со станции А в указанные пункты соответственно равна 1, 2, 3 и 4 гривны. Стоимость перегона одного вагона со станции В в указанные пункты соответственно равна 4, 3, 2 и 0 гривен. Стоимость перегона одного вагона со станции С в указанные пункты соответственно равна 0, 2, 2 и 1 гривны.
3. Завод имеет три цеха А, В и С и четыре склада №1, №2, №3, №4. Цех А производит 30 тысяч штук изделий, цех В – 40 тысяч штук изделий, цех С – 20 тысяч штук изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад №1 – 20 тысяч штук изделий, склад №2 – 30 тысяч штук изделий, склад №3 – 30 тысяч штук изделий, склад №4 – 10 тысяч штук изделий. Стоимость перевозки из цеха А соответственно в склады №1, 2, 3, 4 за одну тысячу изделий соответственно равна 20, 30, 20 и 40 гривен; стоимость перевозки из цеха В соответственно в склады №1, 2, 3, 4 равна 30, 20, 50 и 10 гривен за одну тысячу изделий; а стоимость перевозки одной тысячи изделий из цеха С в склады №1, 2, 3, 4 соответственно равна 40, 30, 20 и 60 гривен. Составить такой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку 90 тысяч изделий был бы наименьшим.
4. На трех складах А, В и С находится сортовое зерно соответственно 10, 15 и 25 тонн, которое надо доставить в четыре пункта: пункту №1 – 5 тонн, пункту №2 – 10 тонн, пункту №3 – 20 тонн и пункту №4 – 15 тонн. Стоимость доставки одной тонны со склада А в указанные пункты соответственно равна 8 000, 3 000, 5 000, 2 000 гривен. Стоимость доставки одной тонны со склада В в указанные пункты соответственно равна 4 000, 1 000, 6 000, 7 000 гривен. Стоимость доставки одной тонны со склада С в указанные пункты соответственно равна 1 000, 9 000, 4 000, 3 000 гривен. Составить оптимальный план перевозки зерна в четыре пункта, минимизирующий стоимость перевозок.
Литература
1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.
2. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.
3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 402 с.
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.
5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.
6. Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2002. – 208 с.
7. Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов экономических вузов / Сост. Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П. Тихомиров. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 224 с.
Frisch R. Editorial. Econometrica. – 1933. – № 1. – P. 2.
Более подробно смотри Приложение A.
Подробнее об автокорреляции см. в разделе 4.