Пусть y является функцией аргумента х. Это означает, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение x. На практике иногда невозможно записать зависимость y(x) в явном виде. Вместе с тем, нередко эта зависимость задается в табличном виде. Это означает, что дискретному множеству значений {xi) поставлено в соответствие множество значений {yi), 0 < i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
В часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, иногда требуется определить значения функции в других точках, отличных от узловых. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации ). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.
Вид аппроксимирующей функции
существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае подбирают соответствующие параметры таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х. Запишем общий вид полинома n-й степени:
Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.
Таким образом, аппроксимация — замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой.
"Что такое аппроксимация?" – один из нередко задаваемых в сети интернет вопросов. Жаждущие получить ответ, обычно хотят его иметь в форме: точной, всеобъемлющей и короткой. О содержательности ответа как-то забывают.
Если спросить: "Что такое музыка?", то я, как дилетант, скажу, что музыка – это то, что приятно слушать. А профессионал возможно будет поставлен в тупик таким "простым" вопросом. Однако, ближе к теме.
Аппроксимация – это приближение. Приближение чего-то к чему-то с той или иной точностью. Более пространно: аппроксимация, как процесс, – это построение объекта, с той или иной точностью воспроизводящего те или иные свойства исходного, т.е. аппроксимируемого, объекта. Причем, построение объекта в том или ином отношении более удобного, чем исходный объект.
У аппроксимации может быть множество направлений и приложений. Я могу кратко рассказать о той аппроксимации, которой занимался десятки лет. Более всего, это относилось к процессам топливоиспользования на ТЭС. Десятки, а порой и сотни, разных графиков и таблиц, характеризующих работу энергетического оборудования, приходилось переводить в форму аппроксимирующих уравнений или формул. То есть, одни математические объекты – графики и таблицы – воспроизводились другими математическими объектами – аппроксимирующими формулами. После чего формулы заводились на ЭВМ или персональный компьютер, и по ним можно было получить все нужные выходные данные, не водя пальцем по исходным графикам или делая какие-то грубые оценки по таблицам.
Кроме этого, мне, как программисту (или алгоритмисту), приходилось создавать довольно сложные программы – модели, описывающие технологический процесс. Порой эти программы были весьма неудобны для обычного пользователя. Но полученные расчетным путем данные вполне удавалось воспроизвести достаточно точной и простой в обращении аппроксимирующей формулой.
Вы можете в Excel построить график и щелкнуть по нему правой кнопкой мыши. Появится запрос: Вставить линию тренда. Там же можно будет разместить на графике и уравнение тренда. Это и будет примером аппроксимирующей формулы. На нашем сайте вы также можете найти десятки примеров аппроксимации.
Но чтобы получить более или менее содержательное представление, скажем, о пилке дров, надо сначала обрести хотя бы какие-то навыки владения пилой. Тоже самое и с аппроксимацией.
P.S. Решил посмотреть как интерпретируется слово "аппроксимация" в сети интернет. Более других мне понравилась интерпретация в Большом Энциклопедическом Словаре (БЭС):
"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов (напр., чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (напр., кривых линий близкими к ним ломаными)".
Только "замена" – это, в моем понимании, нечто вторичное. А первичное – "приближение". Я, например, порой строил десятки аппроксимирующих формул, добиваясь наилучшего приближения к исходной таблице данных. А собственно "замена" в основном касалась замены одной аппроксимирующей формулы на другую, более удачную. Впрочем, пользователь уже мог использовать мою аппроксимирующую формулы "взамен" исходной таблицы.
В Большой Советской Энциклопедии (БСЭ) находим более развернутое определение:
"Аппроксимация (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации; например, приближение и интерполирование функций, численные методы анализа. Роль аппроксимации в математике непрерывно возрастает. В настоящее время аппроксимация может рассматриваться как одно из основных понятий математики". С. Б. Стечкин.
Осталось только поинтересоваться что означают "диофантовы приближения" и прочие специальные термины и все станет окончательно понятно.
В Википедии (свободной энциклопедии) очень короткое определение:
"Аппроксимация, или приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми".
Позволю себе заметить, что "приближение" – это не есть "замена" или это "замена" в каком-то очень узком и специальном смысле, например в смысле "использование вместо".
В словаре бизнес-терминов находим весьма расплывчатое, на мой взгляд, определение:
"Аппроксимация – приближенное решение сложной функции с помощью более простых, что резко ускоряет и упрощает решение задач. В экономике целью аппроксимации часто является укрупнение характеристик моделируемых экономических объектов".
В философской энциклопедии:
"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximare - приближаться) - метод сознательного упрощения "слишком точного" теоретического знания с целью привести его в соответствие с потребностями и возможностями практики. Например, использование числа "пи" с точностью до пятого знака после запятой достаточно для решения поставленной практической задачи. Аппроксимация первоначально использовалась в математике и затем распространилась на все науки. Аппроксимация противоположна идеализации". Г. Д. Левин.
В научной диалектике есть положение: "Истина всегда конкретна". Так и с аппроксимацией – нет аппроксимации "вообще". Ее содержательная часть – в конкретных приложениях и в конкретных областях. Я, например, занимался аппроксимацией графиков и табличных данных посредством подбора подходящих для этого формул с использованием метода наименьших квадратов, встроенного в электронные таблицы Quattro Pro и Excel. А способов подбора – десятки, и это уже не только наука, но и искусство. Ваш, Протасов Н.Г.
P.P.S. Вот еще информация, дополняющая в достаточно простой и понятной форме тему аппроксимации. Эта информация находится по адресу http://univer-nn.ru/ , а здесь я привожу ее в несколько сокращенном виде:
Задача аппроксимации (задача о приближении)
Пусть y = f(x) является функцией аргумента х. Нередко эта зависимость задается в табличном виде. В контрольных по математике на аппроксимацию также часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, требуется определить значения функции в других точках, отличных от заданных табличных значений. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.
Вид аппроксимирующей функции существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае выбирают таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х:
f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn
Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.
Таким образом, аппроксимация – замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой".
Лично я редко пользуюсь полиномами в их классическом виде, как и другими стандартными представлениями, указанными в статье. Однако это уже нюансы технологии построения аппроксимирующих формул.
Еще раз – с пожеланиями успехов!
Как и предыдущие, этот урок с аналогичным текстом лучше смотреть не листе Excel (см. Уроки аппроксимации.xls, Лист1)
Аппроксимация в Excel проще всего реализуется с помощью программы построения трендов. Для выяснения особенностей аппроксимации возьмем какой-либо конкретный пример. Например, энтальпию насыщенного пара по книге С.Л.Ривкина и А.А.Александрова "Теплофизические свойства воды и водяного пара", М., "Энергия", 1980г. В колонке P поместим значения давления в кгс/см2, в колонке i" - энтальпию пара на линии насыщения в ккал/кг и построим график с помощью опции или кнопки "Мастер диаграмм".
Щелкнем правой кнопкой по линии на рисунке, затем левой кнопкой по опции "Добавить линию тренда" и смотрим - какие услуги предлагаются нам этой опцией в части реализации аппроксимации в Excel.
Нам предлагается на выбор пять типов аппроксимации: линейная, степенная, логарифмическая, экспоненциальная и полиноминальная. Чем они хороши и чем могут нам помочь? - Нажимаем кнопку F1, затем щелкаем по опции "Мастер ответов" и в появившееся окошко вводим нужное нам слово "аппроксимация", после чего щелкаем по кнопке "Найти". Выбираем в появившемся списке раздел "Формулы для построения линий тренда".
Получаем следующую информацию в несколько измененной нами
редакции:
Линейная:
где b - угол наклона и a - координата пересечения оси абсцисс (свободный член).
Степенная:
Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где c и b - константы.
Логарифмическая:
Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где a и b - константы.
Экспоненциальная:
Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
где b и k - константы.
Полиноминальная:
Используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
где a, b1, b2, b3,... b6 - константы.
Снова щелкаем по линии рисунка, затем по опции "Добавить линию тренда", далее по опции "Параметры" и ставим флажки в окошках слева от записей: "показывать уравнение на диаграмме" и "поместить на диаг- рамму величину достоверности аппроксимации R^2, после чего щелкаем по кнопке OK. Пробуем все варианты аппроксимации по порядку.
Линейная аппроксимация дает нам R^2=0.9291 - это низкая достоверность и плохой результат.
Для перехода к степенной аппроксимации щелкаем правой кнопкой по линии тренда, затем левой кнопкой - по опции "Формат линии тренда", далее по опциям "Тип" и "Степенная". На этот раз получили R^2=0.999.
Запишем уравнение линии тренда в виде, пригодном для расчетов на листе Excel:
y=634.16*x^0.012
В результате имеем:
Максимальная погрешность аппроксимации получилась на уровне 0.23 ккал/кг. Для аппроксимации экспериментальных данных такой результат был бы чудесным, но для аппроксимации справочной таблицы это не слишком хороший результат. Поэтому попробуем проверить другие варианты аппроксимации в Excel посредством программы построения трендов.
Логарифмическая аппроксимация дает нам R^2=0.9907 - несколько хуже, чем по степенному варианту. Экспоненнта в том варианте, который предлагает программа построения трендов, вообще не подошла - R^2=0.927.
Полиноминальная аппроксимация со степенью 2 (это y=a+b1*x+b2*x^2) обеспечила R^2=0.9896. При степени 3 получили R^2=0.999, но с явным искажением аппроксимируемой кривой, в особенности при P>0.07 кгс/см2. Наконец, пятая степень нам дает R^2=1 - это, как утверждается, максимально тесная связь между исходными данными и их аппроксимацией.
Перепишем уравнение полинома в пригодном для расчетов на листе Excel виде:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020.8*x+592.44
и сравним результат аппроксимации с исходной таблицей:
Оказалось, что R^2=1 в данном случае лишь блестящая ложь. Реально, самый лучший результат полиноминальной аппроксимации дал самый простой полином вида y=a+b1*x+b2*x^2. Но его результат хуже, чем в варианте степенной аппроксимации y=634.16*x^0.012, где максимальная погрешность аппроксимации находилась на уровне 0.23 ккал/кг. Это все, что мы можем выжать из программы построения трендов. Посмотрим, что мы можем выжать из функции Линейн. Для нее попробуем вариант степенной аппроксимации.
Примечание. Обнаруженный дефект связан с работой программы построения трендов, но не с методом МНК.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ)
Факультет радиотехники и электроники
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине: Математика
Тема: «Методы аппроксимации функций»
Разработал студент группы КП-121
И.С. Кононученко
Руководитель Кострюков С.А
ЗАДАНИЕ на курсовую работу
Тема: «Методы аппроксимации функций».
Студент группы КП-121 Кононученко Илья Сергеевич
1. Методы аппроксимации функций.
1.1. Непрерывная аппроксимация.
2. Точечная аппроксимация.
3. Интерполяционный полином Лагранжа.
4. Интерполяционный полином Ньютона.
5. Погрешность глобальной интерполяции.
6. Метод наименьших квадратов.
7. Подбор эмпирических формул.
8. Кусочно-постоянная интерполяция
9. Кусочно-линейная интерполяция.
2.1. Построить интерполяционный многочлен для функции f(x)=lnx- по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение логарифма от 5,75. Получить оценку погрешности остаточного члена.
2.2. Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной зависимостью ??(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10.
1. Методы аппроксимации функций
1.1 Непрерывная аппроксимация
1.2 Точечная аппроксимация
4 Интерполяционный полином Ньютона
8 Кусочно-постоянная интерполяция
9 Кусочно-линейная интерполяция
Практическая часть
2.1 Построить интерполяционный многочлен для функции f(x)=lnx-по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение логарифма от 5,75. Получить оценку погрешности остаточного члена
2.2 Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной зависимостью ?(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью ?(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10
Список литературы
1.МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ
1.1Непрерывная аппроксимация
Если исходная функция f(x) задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке. Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным.
Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции f(x) было по абсолютной величине меньше заданной величины:
В этом случае говорят, что функция равномерно приближает функцию f(x) с точностью e на интервале. Практическое получение равномерного приближения представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях.
Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина
Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию, получают уравнения, позволяющие найти наилучшие значения этих параметров.
2 Точечная аппроксимация
Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек, называется точечной.
Для получения точечного среднеквадратичного приближения функции y=f(x), заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины
где yi - значения функции f(x) в точках xi.
Основная сфера применения среднеквадратичного приближения - обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул).
Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках xi, те же значения yi , что и функция f(x), т.е. .
Рисунок 1
В этом случае, близость интерполирующей функции к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.
На рис. 1 показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичного приближения (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции f(x).
3 Интерполяционный полином Лагранжа
Лагранж предложил строить интерполяционный полином в виде разложения
где li(x) - базисные функции.
Для того, чтобы полином удовлетворял условиям Лагранжа, т.е. был бы интерполяционным, базисные функции li(x) должны обладать следующими свойствами:
) быть полином степени n
) удовлетворять условию
Лагранж показал, что функции, обладающие указанными свойствами, должны иметь следующий вид
С учетом этого выражения интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в виде
В отличие от интерполяционного полинома в канонической форме для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительно определять коэффициенты полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином Лагранжа приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.
Интерполяционный полином Лагранжа оказывается очень удобным для приближенного вычисления определенных интегралов. Если, например, некоторую функцию заменить интерполяционным полином Лагранжа, то определенный интеграл от нее может быть вычислен следующим образом
Значения интегралов от не зависят от f(x) и могут быть легко вычислены аналитически.
1.4 Интерполяционный полином Ньютона
Рассмотрим еще одну форму записи интерполяционного полинома
Требования совпадения значений полинома с заданными значения функции в узловых точках Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n приводит к системе линейных уравнений с треугольной матрицей для неизвестных коэффициентов:
решить которую не составляет труда.
Интерполяционный полином называется полиномом Ньютона. Интересная особенность полинома Ньютона состоит в том, что каждая частичная сумма его первых (m+1) слагаемых представляет собой интерполяционный полином степени m, построенный по первым (m+1) табличным данным.
5 Погрешность глобальной интерполяции
Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом n-й степени Ln(x) в точке x определяется разностью
Можно показать, что погрешность Rn(x) определяется следующим выражением
Здесь - производная (n+1) порядка функции f(x) в некоторой точке, а функция определена как
Если максимальное значение производной f (n+1)(x) равно
то для погрешности интерполяции следует оценка
Конкретная величина погрешности в точке x зависит, очевидно, от значения функции в этой точке. Качественный характер зависимости показан на рис. 2.
Рисунок 2
Вследствие описанного поведения погрешности, глобальная интерполяция в некоторых случаях может давать совершенно неудовлетворительный результат. Из рисунка видно, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка. За пределами отрезка интерполяции (т.е. при экстраполяции) быстро растет, поэтому погрешность возрастает существенно.
1.6 Метод наименьших квадратов
Пусть для исходных данных xi, fi, i=1,…,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости: y=?(a0,a1,…,am) с неизвестными коэффициентами a0,a1,…,am . Запишем сумму квадратов отклонений между вычисленными по эмпирической формуле и заданными опытными данными:
S(a0,a1,…,am)=(?(x1,a0,a1,…,am)-fi)2
Параметры a0,a1,…,am будем находить из условия минимума функции S(a0,a1,…,am). В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК).
Известно, что в точке минимума все частные производные от S по равны нулю:
Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим полином
?(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm
Формула (1) для определения суммы квадратов отклонений примет вид:
S(a0,a1,…,am)=(a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)
Вычислим производные
Приравнивая эти выражения к нулю и собирая коэффициенты при неизвестных a0,a1,…,am , получим следующую систему линейных уравнений
Данная система уравнений называется нормальной. Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты.
В случае полинома первого порядка m=1, т.е. , система нормальных уравнений примет вид
При m=2 имеем:
Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей. По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них находят наилучшую по минимальной сумме отклонений.
1.7 Подбор эмпирических формул
При интерполировании функций мы использовали условие равенства значений интерполяционного полинома и данной функции в узлах интерполяции. Если же исходные данные получены в результате опытных измерений, то требование точного совпадения не нужно, так как данные не получены точно. В этих случаях можно требовать лишь приближенного выполнения условий интерполяции. Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис.
аппроксимация полином интерполяция формула
Рисунок 3
Тогда говорят о подборе эмпирических формул. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов подбора вида этой формулы, содержащей неизвестные параметры a0,a1,…,am, и определение наилучших в некотором смысле этих параметров. Вид формулы иногда известен из физических соображений (для упругой среды связь между напряжением и деформацией) или выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций. Успех здесь в значительной степени определяется опытом и интуицией исследователя.
Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .
После того, как выбран вид эмпирической зависимости степень близости к эмпирическим данным определяется, используя минимум суммы квадратов отклонений вычисленных и экспериментальных данных.
1.8 Кусочно-постоянная интерполяция
На каждом отрезке интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.
Для левой кусочно-линейной интерполяции
F(x)= fi-1, если xi-1 ?x Для правой кусочно-линейной интерполяции F(x)= fi-1, если xi-1 Легко понять, что условия интерполяция выполняются. Построенная функция является разрывной, что ограничивает ее применение. Для левой кусочно-линейной интерполяции имеем графическое представление Рисунок 4 1.9 Кусочно-линейная интерполяция На каждом интервале функция является линейной Fi(x)=kix+li. Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi . Получаем систему уравнений: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , откуда находим ki=li= fi- kixi . Следовательно, функцию F(x) можно записать в виде: F(x)= x+ fi- kixi , если, т.е. Или F(x)=ki ·(x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1 ? x ? xi, i=1,2,...,N-1 При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x, а затем подставить его в формулу. Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно-постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно-линейной интерполяции приведена на рисунке Рисунок 5 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 2.1 Построим интерполяционный многочлен для функции f(x)=lnx- по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Формула для вычисления данного многочлена выглядит следующим образом: где n- количество узлов. Рассчитаем значения базисных полиномов. Формула для расчета базисных полиномов: Запишем значения узлов функции: Вычислим значения функций f(x) в соответствующих узлах: f(x0)==0.6931471805599453-1.5=-0.8068528194400547(x1)= =1.386294361119891-1.25=0.136294361119891(x2)= =1.791759469228055-1.1666666666666667=0.625092802561388(x3)= =2,079441541679835-1.125=0.954441541679835(x4)= =2.302585092994045-1.1=1.202585092994045(x5)= =2.484906649788-1.083333333333333=1.401573316454667 Рассчитаем значения соответствующих базисных полиномов: Запишем формулу вычисления многочлена f(x)=lnx- по полученным данным: L(x)=f(x0)·l0(x)+ f(x1)·l1(x)+ f(x2)·l2(x)+ f(x3)·l3(x)+ f(x4)·l4(x)+ f(x5)·l5(x). Подставим в формулу полученные значения: L(x)=((- 0.8068528194400547) ·(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0.136294361119891·5(x-2)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)- 0.625092802561388·10· · (x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0.954441541679835·10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10)(x-12)-1.202585092994045·5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1.401573316454667· ·(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+ 032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+1.50294940468648·x-2.886362165898854 Рисунок 6 L(x)= 0.000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+ 032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+ 50294940468648·x-2.886362165898854 Из рисунка видно, что графики функций совпадают. Вычислим приближенное значение логарифма от 5,75 с точностью до 0,001. Воспользуемся разложением Пользуясь формулой посчитаем приближенное значение логарифма: Получим оценку погрешности остаточного члена: Формула нахождения остаточного члена в других точках: Rn(x)=f(x)-Ln(x). Подставим значения и вычислим остаточный член: Rn(x)= -0.234721044665224-(-0.149875603361276)= 0.0122 Для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно получить следующую оценку: 0122374?9.9512361 Из оценки следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения можно получить результат с необходимой точностью. Функцию f(x), заданную таблицей аппроксимируем линейной зависимостью ?(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью ?(х)=Ах2+Вх+С.
x10151720f(x)371117Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для линейной зависимости (x)=Ax+B: Учитывая, что n=4: ; Решаем систему линейных уравнений: Следовательно, линейная зависимость будет иметь вид: Рассмотрим квадратичную зависимость?(х)=Ах2+Вх+С. Система нормальных уравнений имеет вид: Найдем не подсчитанные суммы: Следовательно, квадратичная зависимость будет иметь вид: Рисунок 7 Функция, заданная таблицей. Линейная зависимость Квадратичная зависимость По графику найдем значение х, для которого f(x)=10. Список литературы 1. Кириллова С.Ю. Вычислительная математика/Кириллова С.Ю. Изд-во Владим. гос. ун-та, 2009. -102с. 2. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики/ Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда и др.; под ред. Л.И. Бородич.- М.: Высшая школа, 1986. -189с. 3. Тюканов, А.С. Основы численных методов: учеб. пособие для студентов. Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2007. -226с. Нужна помощь по изучению какой-либы темы?
Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике. Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов. Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд"). При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. аппроксимация алгебраический интерполяционный полином Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно "пожертвовать" деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции. 1. Теоретическое описание задачи
Получить аналитическое описание графически заданных зависимостей концентрации дырок р-типа от температуры в образцах кремния с примесью бора (график 1 и 2) методами Лагранжа, Ньютона, Форсайта и сравнить точности каждого из методов при решении данной задачи. Исходные данные для выполнения курсовой работы:
Рис.1. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора. 2. Теоретическое описание методов решения
Аппроксимацией
(приближением) функции f(X) называется нахождение такой функции g(X) (аппроксимирующей функции
)
, которая была бы близка заданной. Критерии близости функций f(X) и g(X) могут быть различные. В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной
или дискретной.
В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной
или интегральной
. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом. Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция
(в широком смысле). Пусть задан дискретный набор точек X i (i=0,1,…,n), называемых узлами интерполяции
, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции Y(X) в этих точках. Требуется построить функцию g(X),
проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является g(X i)=y i . В качестве функции g(X) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом
. В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная
.
В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной
или локальной интерполяции
.
Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции f(X) между узлами (провестиинтерполяцию в узком смысле слова
), а также определить значение функции f(X) даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию
). Следует иметь в виду, что точность экстраполяции обычно очень невелика особенно при удалении от заданного интервала. Аппроксимация функций с помощью алгебраических интерполяционных полиномов.
Задача аппроксимации функции с помощью алгебраического интерполяционного полинома формулируется следующим образом. Пусть аналитическое выражение функции Y=f(X) неизвестно, заданы только ее значения Y 1 ...Y N в точках X 1 ...X N некоторого отрезка . Необходимо найти полином степени n для которого выполняются условия: Так как в точках X j значение функции Y j и значение полинома P n (X j) должны совпадать между собой, то неизвестные коэффициенты полинома можно найти путем решения системы уравнений (1.2) Интерполяционная формула Лагранжа.
Одну из простейших формул интерполяции позволяет построить метод Лагранжа. По условию находим полином P N -1 (X) степени (N-1), который в N точках совпадает с N значениями функции f(X). Если найти систему полиномов {ц j (X)}, каждый из которых в точке Xj равен единице, а в остальных точках равен нулю, то интерполяционный полином можно представить в виде Это следует из того, что Последовательность функций {ц j (X)} такого типа называется фундаментальной системой полиномов. По предположению полином ц j (X) в точках X k при k?j обращается в нуль, поэтому его можно представить в виде где С J - некоторая постоянная. Учитывая, что ц j (X j)=1, получим Отсюда следует, что интерполяционный полином Лагранжа
имеет вид Формула Лагранжа при N?4 становится громоздкой при практическом использовании, так как в нее входит произведение П(х). Рассмотрим случай выбора узлов интерполяции, когда формула значительно упрощается. Предположим, что функция Y=f(X) задана на отрезке [-1,1]. Далее полученные результаты обобщим на случай произвольного отрезка . Сначала введем полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода. По определению полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода задаются с помощью формул: Если узлами интерполяции являются нули полинома T N (X), то интерполяционный полином Лагранжа можно представить в виде Предположим, что узлами интерполяции являются нули полинома Чебышева 2-го рода U N (X). В этом случае интерполяционную формулу Лагранжа можно представить в виде Интерполяционная формула Ньютона.
На практике для аппроксимации функции часто используется интерполяционный полином Ньютона. Этот полином вводится с помощью разделенных разностей различных порядков, найденных по значениям функцииY1,…,Y N в точках X 1 ,…,X N . По определению разделенные разности первого порядка равны Разности 2-го порядка определяются с помощью разностей 1-го порядка: Разделенные разности n-го порядка можно представить в виде Отсюда следует, что разделенная разность является симметричной функцией относительно узлов X j , т.е. не зависят от порядка расположения входящих в нее переменных X j . Построим интерполяционный полином Ньютона. Пусть X-произвольная точка отрезка . Рассмотрим разность первого порядка Из этого выражения находим значение функции в точке: Разность второго порядка имеет вид Подставив это выражение в (1.15) получим Разность 3-го порядка позволяет представить (1.19) в виде Продолжая процесс подстановки, получим выражение которое можно представить в следующей форме Полином P N -1 (X) является интерполяционным, так как имеют место равенства Этот полином называется интерполяционным полиномом Ньютона
, а R N -1 (X) - остаточным членом формулы Ньютона. Так как по значениям функции в некоторых точках можно единственный интерполяционный полином, то полином Ньютона путем перегруппировки его членов можно преобразовать в интерполяционный полином Лагранжа, для которого каждое из слагаемых суммы (1.18) зависит от всех узлов интерполяции, произвольный m-й член полинома Ньютона зависит только от m первых узлов. Поэтому для полинома Ньютона добавление новых узлов интерполяции приводит лишь к появлению новых слагаемых полинома, без изменения первоначальных. На практике часто используется интерполяционный полином Ньютона, представленный в виде который называется формулой Ньютона интерполирования назад. Метод наименьших квадратов с помощью ортогональных полиномов,
интерполяционная формула Форсайта
Рассмотренные выше методы позволяют аппроксимировать функции, заданные экспериментальными данными, с помощью интерполяционных многочленов. На практике интерполяционные формулы применяются в тех случаях, когда ошибки в данных можно не учитывать и число N точек X j является малым. При больших N эти формулы становятся громоздкими, а также возникают трудности, связанные с неустойчивостью интерполяционного процесса на концах отрезка . В реальных задачах ошибки в экспериментальных данных необходимо учитывать. Если зависимости между параметрами являются достаточно гладкими, то даже при больших N часто нет необходимости выбирать для аппроксимации функций можно использовать метод наименьших квадратов (VYR)/ Предположим, что функция Y=f(X) задана на отрезке экспериментальными значениями где е j - некоррелируемые случайные величины, имеющие нулевое математическое ожидание и дисперсию у 2 . При аппроксимации функции Y=f(X) алгебраическим полиномом (1.28) с помощью МНК по экспериментальным данным необходимо оценить коэффициенты a k полинома таким образом, чтобы сумма квадратов была минимальной. Алгебраический полином (1.28) является частным случаем общей линейной модели Оценка коэффициентов общей линейной модели сводится к решению системы нормальных уравнений X T Xa = X T Y, которая для приближения (1.28) имеет вид Оценки коэффициентов. Решение системы (1.31) существует, если определитель Дn+1 ? 0. В рамках современной математики задача аппроксимации с помощью полинома (1.28) формулируется как задача оценки коэффициентов модели, представляющей собой комбинацию функций некоторой подсистемы Lm системы базисных функций L={1,X,X 2 ,…,X n ,…}. Влияние плохой обусловленности значительно уменьшается, если вместо модели (1.28) рассматривается модель представляющая собой линейную комбинацию элементов подсистемы Lm системы ортогональных полиномов L={1,ц 1 (X), ц 2 (X),…, ц n (X),…}. Система полиномов ортогональна на в следующем смысле В настоящее время разработано несколько подходов к построению ортогональных полиномов. Одной из наиболее простых является система полиномов Чебышева. На практике удобной является так же система ортогональных полиномов Форсайта
где и и выбираются из условия ортогональности. Если аппроксимирующая функция имеет вид (1.34), то Эту систему уравнений можно представить в матричной форме с - (n+1)-мерный вектор-столбец неизвестных параметров модели (1.34). Из условия ортогональности матрица системы нормальных уравнений является диагональной: Из линейной алгебры известно, что матрица, обратная к диагональной, также является диагональной., причем ее элементы равны обратным величинам диагональных элементов исходной матрицы. Поэтому учитывая, что решение нормальной системы уравнений можно найти по формуле получим оценки коэффициентов модели (1.34) Оценки коэффициентов не коррелированны между собой и имеют дисперсии где - дисперсия случайных ошибок эксперимента. При решении практических задач степень аппроксимирующего полинома обычно неизвестна. Если функция Y=f(X) аппроксимируется с помощью полинома (1.28), то выбор его степени часто осуществляется следующим образом. Начиная с некоторого малого числа n 0 , выбирается возрастающая последовательность целых чисел n 1 ,n 2 ,n 3 ,…,n p ,… и для этих степеней путем решения системы (X T X)a=X T y вычисляются коэффициенты полинома. Для каждого значения n с помощью найденных оценок вычисляются остаточные дисперсии При увеличении n остаточная дисперсия сначала обычно убывает, а позже наступает момент, когда она начинает возрастать. Поэтому степень полинома n выбирается равной значению n, при котором остаточная дисперсия является минимальной. Система нормальных уравнений взвешенного метода наименьших квадратов имеет вид (1.29), где Задачу аппроксимации функции взвешенным методом наименьших квадратов можно также решить, используя ортогональные полиномы. При этом коэффициенты модели (1.34) выбираются из условия минимума функции Если полиномы образуют ортогональную систему функций, то матрица нормальной системы является диагональной, а решение системы имеет вид Ортогональные полиномы можно найти с помощью рекуррентных формул 3. Расчёт и графики по каждому методу аппроксимации
Результат работы программы расчета по методу Лагранжа:
Для кривой 1: Для кривой 2: Рис.2. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Лагранжа. Результат работы программы расчета по методу Ньютона:
Для кривой 1:Для кривой 2: Рис.3. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Ньютона. Результат работы программы расчета по методу Форсайта:
Степень алгебраического полинома М=2
Для кривой 1: Для кривой 2: Рис.4. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта. Степень алгебраического полинома М=3
Для кривой 1: Для кривой 2: Рис.5. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта. Степень алгебраического полинома М=4
Для кривой 1: Для кривой 2: Рис.6. Зависимость концентрации дырок р от температуры в образцах кремния с примесью бора, полученная по результатам метода Форсайта. 4. Сводный график
Рис.7. Сводный график. 1 - заданный график для «1» 2 - заданный график для «2» 3 - аппроксимированный график по методу Лагранжа для «1» 4 - аппроксимированный график по методу Лагранжа для «2» 5 - аппроксимированный график по методу Ньютона для «1» 6 - аппроксимированный график по методу Ньютона для «2» 7 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 2 для «1» 8 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 2 для «2» 9 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 3 для «1» 10 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 3 для «2» 11 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 4 для «1» 12 - аппроксимированный график по методу Форсайта со степенью полинома 4 для «2» 5. Анализ точности
Аппроксимация по методу Лагранжа
Погрешность составляет 0,13 % Погрешность составляет 0,05 % Аппроксимация по методу Ньютона
Погрешность составляет 0,15 % Погрешность составляет 0,06 % Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 2
Погрешность составляет 0,71% Погрешность составляет 0,62 % Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 3
Погрешность составляет 1,21% Погрешность составляет 0,5 % Аппроксимация по методу Форсайта со степенью 4
Погрешность составляет 0,12 % Погрешность составляет 0,05% Заключение
В своей практике инженер часто сталкивается с необходимостью аналитически описать экспериментально полученные зависимости, представленные графически или таблично. Для этого используются методы аппроксимации, соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение. В данной курсовой работе мы на практике знакомились с различными методами аппроксимации, соответствующим алгоритмическим и программным обеспечением. Проведя все расчеты можно сделать вывод, что из рассмотренных методов аппроксимации, метод наименьших квадратов со степенью 4 является самым точным. Список литературы
1. Бронштейн и Семендяев Справочник по математике для ВТУЗов. - М., 1986г. 2. Шафрин Ю.А. Информационные технологии.- М., Лаборатория базовых знаний, 2000г. 3. Конева Н.Е. Информационные технологии в электронике. Методические указания к лабораторному практикуму для студентов специальности 210105 - Электронные приборы и устройства. МГОУ, 2009г. 4. Норенков И.П. Системы автоматизированного проектирования. Учебное пособие, Высшая школа, Москва, 1986г. 5. Вллах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. - М., Радио и связь, 1988г. 6. Чау Л.О., Пен-Ман Лиин. Машинный анализ электронных схем. - М.,Мир. 7. Шур Т. Решение инженерных задач на ЭВМ, - М., 1982г. 8. Чахмахсазян Е.А., Бармаков Ю.Н., Голденберг А.Э. Машинный анализ интегральных схем. - М., Советское радио, 1974г. 9. Бахвалов Н.С., Лапин А.Р., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. - М., Высшая школа, 2000г. 10. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Поспелов В.В. Сборник задач по методам вычислений. - М.,Издательство МГУ,1989г. 11. Конева Н.Е. Информационные технологии в электронике. Методические указания к курсовой работе для студентов специальности 210105 - Электронные приборы и устройства. МГОУ, 2009г. Размещено на Allbest.ru Проведение аппроксимации данных с помощью Excel, расчет площадей (отдельно для выпуклой и вогнутой кривых периферического, серединного и корневого сечения) и целевой функции V с целью нахождения полного объема бетонной строительной конструкции. контрольная работа , добавлен 26.01.2010 Определение уравнений динамики и передаточных функций элементов системы автоматического управления. Дискретизация последовательного корректирующего звена методом аппроксимации операции интегрирования. Анализ устойчивости автоматической системы управления. курсовая работа , добавлен 27.02.2014 Балансировка ротора машин и балансировка гибких роторов как задача оценивания дисбалансов. Условие допустимости одной статической балансировки. Оценивание методом наименьших квадратов. Целевая функция метода наименьших квадратов и численные эксперименты. дипломная работа , добавлен 18.07.2011 Материальный баланс и расход абсорбента. Определение коэффициента диффузии ацетона в воде. Поверхность массопередачи, формула для её расчета. Определение геометрических параметров абсорбера с помощью уравнения массопередач и через высоту единиц переноса. курсовая работа , добавлен 05.11.2012 Исследование влияния скорости печати на качество оттисков по совмещению красок при многокрасочной флексографской печати. Математическое моделирование как приближённое описание реальных объектов с помощью математических выражений, его главные этапы. контрольная работа , добавлен 14.04.2011 Нагрев металла перед прокаткой. Автоматизация процесса нагрева металла. Выбор системы регулирования давления. Первичный измерительный преобразователь перепада давления. Метод наименьших квадратов. Измерение и регистрация активного сопротивления. курсовая работа , добавлен 25.06.2013 Особенности статической настройки, использование пробных заготовок с помощью рабочего калибра. Настройка по пробным заготовкам с помощью универсального измерительного инструмента. Ее проведение с учетом переменных систематических погрешностей и без них. презентация , добавлен 26.10.2013 Разработка и компоновочные схемы токарных многоцелевых станков. Привод главного движения. Обработка фасонной поверхности с помощью копира. Управление фрикционными муфтами с помощью кулачка. Регулирование подачи с помощью конуса Нортона и гидропривода. реферат , добавлен 02.07.2015 Получение тонкопленочных покрытий в вакууме, термическое и магнетронное испарение. Конструирование жидкофазного магнетрона с помощью AutoCAD. Методы исследования параметров тонких пленок. Измерение толщины тонкопленочных покрытий с помощью профилометра. дипломная работа , добавлен 15.06.2012 Усовершенствование шлифовальной операции технологического процесса обработки хвостовой части метчика с помощью методов технического творчества. Совершенствование шлифования цилиндрической поверхности с помощью мозгового штурма и метода проб и ошибок.Репетиторство
Отправь заявку
с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Подобные документы