Критерий сожаления. Критерий математического ожидания . Психология поведения ЛИР в ситуациях риска и неопределенности. Использование теории полезности для выбора оптимального варианта решения. Интуитивный выбор оптимального варианта.
КРИТЕРИЙ ВАЛЬДА (критерий максимина")
Как видно из приведенной таблицы, оптимальная альтернатива рискового решения в условиях неопределенности по критерию Вальда (критерию "максимина") находится в затененном поле и соответствует 140 усл. ден. ед. (это значение эффективности является максимальным из всех минимальных ее значений при наихудших вариантах ситуаций).
Критерием Вальда (критерием "максимина") руководствуется при выборе рисковых решений в условиях неопределенности , как правило, субъект, не склонный к риску или рассматривающий возможные ситуации как пессимист.
Величина W - это такое значение показателя W(x, у), которое мы можем гарантировать себе при наихудшем для нас поведении природы (гарантированный результат). Если мы применим управление х е X, отличное от найденного в сформулированной задаче, природа -может наказать нас за легкомыслие, выбрав наихудшее значение параметра у, при котором мы получим показатель W, меньший W. Этот критерий выбора решения иногда называют также критерием Вальда.
Максиминная оценка по критерию Вальда является единственной абсолютно надежной при принятии решения в условиях неопределенности.
Стратегия S называется максиминной, т.е. при любом из условий конъюнктуры рынка результат будет не хуже, чем W = 49310,03 тыс. руб. Поэтому эту величину называют нижней ценой игры , или максимином, а также принципом наибольшего гарантированного результата на основе критерия Вальда, в соответствии с которым оптимальной стратегией при любом состоянии среды, позволяющем получить максимальный выигрыш в наихудших условиях, является максиминная стратегия.
Критерий Вальда представляет собой критерий крайнего пессимизма и ориентирует лицо, принимающее решение, на наихудшие условия реализации проекта.
Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния природы)
Стратегия, соответствующая максимальному значению среди минимумов строк, называется максиминной стратегией . Соответствующий критерий (критерий Вальда) записывается так
Другими словами, оптимальной по критерию Вальда будет та стратегия, при которой наименьший выигрыш является наибольшим среди наименьших выигрышей всех стратеги и. Величину W(, i = 1...m назовем показателем оптимальности стратегии А по критерию Вальда. Значит,
Один из методов заключается в выборе наилучшей из худших возможностей (критерий Вальда). При этом для каждой из стратегий выбирается худший результат, а затем из них - лучший. 108
Если при этом получаются стратегии с одинаковыми критериями Вальда, то из них выбирают стратегию, которая имеет наименьшую чувствительность ко внешним условиям "
Его также называют максиминным критерием Вальда. Сущность данного критерия заключается в следующем. ЛПР располагает множеством стратегий (вариантов, альтернатив) решения проблемы
Поэтому возникает необходимость определения возможных отклонений полученных результатов от их оптимальных значений. Здесь находит применение критерий Сэвиджа . Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей Е, а матрицей рисков R, построенной по формуле (2.2.2).
Наибольшая осторожность Ег = max min е i j Критерий гарантированного результата (Вальда)
А. Вальд также доказал, что его критерий существенно выгоднее (по среднему числу наблюдений), чем наилучший из классических критериев - критерий Неймана-Пирсона.
В частности, максиминный критерий Вальда обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных потерь , которые могут быть при реализации одной из стратегий. Данный критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Величина, соответствующая максиминному критерию, называется нижней ценой игры , под которой следует подразумевать максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным противником выбором одной из своих стратегий при минимальных результатах.
Критерий Вальда (или критерий "максимина") предполагает, что из всех возможных вариантов "матрицы решений " выбирается та альтернатива, которая из всех самых неблагоприятных ситуаций развития события (минимизирующих значение эффективности) имеет наибольшее из минимальных значений (т.е. значение эффективности, луч-
Максиминный критерий Вальда используется в случаях, когда требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не менее чем наибольший из возможных в худших условиях. критерии Гурвица . Его значение находится в пределах 0
В формуле этого критерия присутствует коэффициент а, значение которого устанавливается в зависимости от степени уверенности лица, принимающего решение, в правильности своего выбора, какому сценарию реализации проекта следует отдать предпочтение). Значение а выбирается в интервале от 0 до 1. При ос=0 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего оптимизма при ос=1 - в критерий Вальда. При 0, тем большее желание "подстраховаться", тем ближе к 1 выбирается коэффициент.
Критерий правдоподобия является несмещенным и состоятельным, при больших выборках -2-log X имеет распределение хи-квадрат (hi-squared distribution) с г степенями свободы , где / - число параметров р, конкретные значения которых определяет Н0. Критерий правдоподобия (LK) эквивалентен критерию Вальда (W) и критерию множителя Лагранжа (LM) при асимптотическом приближении, однако при малых выборках W>LR>LM.
MAXIMIN- ориентирован на получение гарантированного выигрыша при наихудшем состоянии внешней среды (подход пессимиста, критерий Вальда). В соответствии с ним в качестве оптимальной выбирается альтернатива, имеющая максимальное значение ожидаемого результата в наименее благоприятном состоянии среды. Здесь решение - отказ от строительства.
Таким образом, критерий гарантированного результата (мак-симинный критерий Вальда) записывается в виде
Близкой по идеям и методам к теории игр является теория статистических решений. От теории игр она отличается тем, что ситуация неопределенности не имеет конфликтной окраски – никто ни кому не противодействует, но налицо элемент неопределенности. В задачах теории статистических решений неизвестные условия операции зависят не от сознательно действующего противника, а от объективной действительности, которую в теории статистических решений принято называть “природой”. Соответствующие ситуации часто называют играми с природой (статистическими играми).
Часто эти ситуации вообще относят к теории игр, оговариваясь в определении игры, что одним из участников может быть среда (природа), действующая как сумма дезорганизующих обстоятельств, весь комплекс внешних условий, в которых игроку приходится принимать решение. Назовем этого игрока – статистиком.
Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи статистика. Пусть статистик имеет m стратегий, а природа может реализовать n своих состояний. Если статистик имеет возможность оценить численно последствия каждой своей чистой стратегии при любом состоянии природы, то игру можно задать платежной матрицей. При упрощении платежной матрицы имеется специфика: нельзя отбрасывать те или иные стратегии “природы”, так как она может реализовать их вне зависимости от того, выгодны они статистику или нет.
При решении таких игр могут быть 2 ситуации:
· игроку А неизвестны вероятности pj , с которыми природа реализует свои состояния;
· вероятности pj известны.
Для принятия решения в таких играх используют различные критерии.
Если вероятности pj состояний природы неизвестны, то можно пользоваться критериями Вальда, Лапласа, Сэвиджа, Гурвица и пр. Основное различие между названными критериями определяется стратегией поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности. Например, критерий Лапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем критерий Вальда. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного. Таким образом, перечисленные критерии, несмотря на их количественную природу, отражают субъективную оценку ситуации, в которой статистику приходится принимать решение. К сожаленью, не существует общих правил оценки применимости того или иного критерия, так как поведение лица, принимающего решение, по всей видимости, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия. Сформулируем эти критерии.
1. Критерий Лапласа
Этот критерий опирается на принцип недостаточного обоснования , по которому считается, что наступление всех состояний природы равновероятно, то есть p 1 = p 2 =...= p n =1/ n , а оптимальной считается стратегия Ai , обеспечивающая
. (5.1)
2. Критерий Вальда (минимаксный или максминный критерий )
Этот критерий является наиболее осторожным, поскольку основан на выборе наилучшей из наихудших возможностей:
– в случае нахождения выигрыша;
– в случае нахождения потерь.
Это пессимистические критерии.
3. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска)
Критерий Вальда настолько пессимистичен, что может привести к нелогичным выводам. Рассмотрим следующую матрицу потерь, которая обычно приводится в качестве классического примера для обоснования “менее пессимистичного” критерия Сэвиджа.
11000 | ||
10000 | 10000 |
Применение минимаксного критерия приводит к выбору стратегии А2, хотя интуитивно можно выбрать А1, так как при этом выборе можно надеется проиграть 90, тогда как выбор А2 всегда приводит к потерям в 10000 единиц при любом состоянии погоды..
Критерий Сэвиджа “исправляет” положение введением новой матрицы потерь, в которой заменяются на font-size:14.0pt;line-height: 150%">, определяемые следующим образом:
Это означает, что есть разность между наилучшим значением в столбце j и значением .
По существу, выражает сожаление лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшего действия относительно состояния j . Матрица R =() ê называется матрицей сожаления или матрицей риска.
Найдем оптимальную стратегию предыдущей задачи по этому критерию:
.
Применим к матрице “сожаления” R минимаксный критерий. Получим, что оптимальной стратегией будет– А1.
Отметим, что независимо от того, – доход или потери, – всегда потери. Поэтому к матрице “сожаления” всегда применяется минимаксный критерий.
4. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)
Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного.
При оптимистичном подходе выбирают стратегию, дающую :
, если
– выигрыш, и
, если
– потери.
Аналогично при наиболее пессимистичных предположениях выбираемое
решение соответствует
:
, если
– выигрыш, и
font-size:14.0pt;line-height: 150%">, если – потери.
Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего оптимизма и пессимизма взвешиванием обоих способов поведения с соответствующими весами a и 1- a , где 0 £ a £ 1.
Если – прибыль, то выбирается стратегия по правилу:
Если – затраты, критерий выбирает стратегию, дающую
Параметр a интерпретируется как показатель оптимизма; при a =1 критерий слишком оптимистичный, при a =0 он слишком пессимистичный. Значение a между 0 и 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. a =0,5 представляется наиболее разумным.
Анализ практических ситуаций обычно проводится на основе нескольких критериев, что позволяет глубже исследовать суть явления.
Пример.
Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принимать одно из следующих значений: 200, 250, 300, 350. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.
Потери в зависимости от ситуации приведены в следующей таблице:
 |
Клиенты Предложен. | |||||
a 1 | |||||
a 2 | |||||
a 3 | |||||
a 4 |
· Критерий Вальда . Так как – потери, применяем минимаксный критерий.
Оптимальной стратегией будет А3.
·
Критерий Лапласа
. Пусть стратегии 2-го игрока равновероятны. Следовательно
. Тогда:
EN-US">EN-US">EN-US">font-size:14.0pt;line-height:150%">Таким образом, наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет стратегия А2.
· Критерий Сэвиджа . Построим матрицу риска:
position:absolute; z-index:2;left:0px;margin-left:68px;margin-top:21px;width:213px;height:2px">
Лучшая стратегия А2.
· Критерий Гурвица. Пусть a =1 / 2.
|
|||
5/2+25/2=15 |
|||
7/2+23/2=15 |
|||
12/2+21/2=16,5 |
|||
15/2+30/2=22,5 |
Лучшие стратегии А1 и А2.
Если находить решение методами теории игр, то сначала ищем наличие седловой точки:
Эта игра имеет седловую точку и оптимальной будет стратегия А3.
5. Критерий Байеса
Если вероятности состояний природы – pj известны, то можно пользоваться критерием Байеса, согласно которому:
оптимальной считается чистая стратегия, соответствующая максимальному среднему выигрышу:
, если
– выигрыш и минимальным средним потерям:
, если
–потери.
Если в предыдущем примере известны вероятности спроса font-size:14.0pt;line-height: 150%">, то для нахождения оптимальной стратегии необходимо найти средние потери для каждой чистой стратегии предприятия и выбрать ту, которая обеспечивает минимум средних потерь: font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:Symbol">® стратегия А2.
Можно показать, что та стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш, обращает в минимум и средний риск.
Все рассмотренные критерии были сформулированы для чистых стратегий, но каждый из них может быть распространен и на смешанные стратегии, подобно тому, как это делается в теории игр. В теории статистических решений смешанные стратегии имеют смысл при многократном повторении игры.
Но многократно повторяя игру, можно определить частоты повторений той или иной ситуации и в дальнейшем применять стохастический подход к задаче принятия решений.
Если использовать смешанные стратегии, то критерий Вальда формулируется следующим образом: оптимальной будет смешанная стратегия , обеспечивающая , т. е. максимизирующая средний выигрыш (если –выигрыш)
Критерий Сэвиджа для смешанных стратегий
: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика
минимален, то есть стратегия
, найденная из условия
.
Оптимальные смешенные стратегии в этом случае находятся также, как в обычной матричной игре.
Полная неопределенность означает отсутствие информации о вероятностных состояниях среды (“природы”), например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации; в лучшем случае известны диапазоны значений рассматриваемых величин. Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состояния среды, называют «безнадежной», или «дурной». Рекомендации по принятию наилучших решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев). К основным критериям относятся следующие:
1) критерий оптимизма (критерий максимакса) соответствует оптимистической наступательной стратегии; здесь не принимается во внимание никакой возможный результат, кроме наилучшего;
2) критерий гарантированного результата (максиминный критерий Вальда) – пессимистический, по сути, критерий, т.к. во внимание принимается только наихудший результат каждой альтернативы. Этот подход устанавливает гарантированный минимум, фактический результат может быть лучше;
3) критерий минимаксного риска Сэвиджа, или критерий наименьшего вреда, который определяет худшие возможные последствия для каждой альтернативы и выбирает альтернативу с лучшим из плохих значений;
4) критерий обобщенного максимина (пессимизма – оптимизма) Гурвица позволяет учитывать состояние между крайним пессимизмом и крайним оптимизмом;
5) критерий пессимизма характеризуется выбором худшей альтернативы с худшим из всех худших значений окупаемости.
При сравнительном анализе критериев эффективности нецелесообразно останавливаться на выборе единственного критерия, т.к. в ряде случаев это может привести к неоправданным решениям, ведущим к потерям экономического и иного содержания. В большинстве ситуаций имеется необходимость применения нескольких критериев в совокупности. Например, наряду с критерием гарантированного результата Вальда может быть использован критерий минимаксного риска Сэвиджа и т.п.
1. Критерий (правило) максимакса. При использовании критерия, ЛПР ориентируется на то, что условия функционирования анализируемых систем будут для него наиболее благоприятными. Вследствие этого оптимальным решением является стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши - например, доходы – для каждого варианта ситуации. Это критерий крайнего (“розового”) оптимизма , предполагающий максимальный выигрыш, равный наибольшему значению критерия оптимальности в платежной матрице . Критерий целесообразно применять в тех случаях, когда имеется принципиальная возможность повлиять на функции противоположной стороны. Если анализируется матрица эффекта того или иного вида, то выбор управляемых факторов осуществляется таким образом, чтобы обеспечить максимум эффекта. В этом случае критерий оптимизма записывается в виде
Рассматривая i- е решение, предполагают самую хорошую ситуацию, приносящую доход , а затем выбирают решение с наибольшим a i .
Рассмотрим пример (2.2). Для матрицы последствий в примере 2.1 выбрать вариант решения по критерию максимакса.
Решение. Находим последовательность значений : a 1 =8, a 2 =12, a 3 =10, a 4 =8. Из этих значение находим наибольшее: a 2 =12 . Следовательно, критерий максимакса рекомендует принять второе решение (i=2 ).
2. Правило Вальда
(правило максимина, или критерий крайнего пессимизма).
Сущность критерия состоит в следующем. ЛПР располагает множеством стратегий решения проблемы: 
. Указанные стратегии считаются контролируемыми (управляемыми) факторами. В качестве этих факторов могут быть: технические параметры проектируемых систем, экономические показатели состояния предприятия, различные варианты решения поставленных задач и т.п. Наряду с управляемыми действуют и неуправляемые (неконтролируемые) факторы: П=
{П j
}, j=
1,…n.
В качестве этих факторов могут быть: уровень спроса на товары, предлагаемые фирмой, рыночные цены, условия эксплуатации технических и производственных систем, действия конкурентов и т.д.
При использовании максиминного критерия Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы:
Значение критерия Вальда для рассматриваемого примера v op , = 4. Этому значению соответствует стратегия Х 4 .
Для критерия минимаксного риска Сэвиджа оптимальной является стратегия, при которой величина риска Гу в наихудших условиях минимальна, т.е. равна
а риск определяется как Гу =(шахау)-ау. Значение критерия Сэвиджа
для рассматриваемого примера равно единице. Ему соответствует стратегия Х 2 .
Критерий оптимизма - пессимизма Гурвица предполагает, что при выборе решения не следует руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия выбирается из условия
Значение коэффициента пессимизма к выбирается между нулем и единицей. При к = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда, при к > 0 - в критерий крайнего оптимизма.
В случае использования критерия безразличия Лапласа предполагается, что (неизвестные) вероятности возможных состояний окружающей среды (природы) одинаковы. Этот критерий выявляет альтернативу с максимальным средним результатом:
Пример 13.15. Молодой специалист (ЛПР) приглашен на стажировку в одну из европейских стран на пять лет. По итогам испытательного срока длительностью один год он может быть приглашен на постоянную работу. Ему необходимо распорядиться двухкомнатной квартирой, которую он имеет.
Возможные состояния конъюнктуры рынка S/.
- 1) останется в Европе и курс доллара увеличится на 10% за год;
- 2) останется в Европе и курс доллара уменьшится на 10% за год;
- 3) вернется в Россию и курс доллара увеличится на 10% за год;
- 4) вернется в Россию и курс доллара уменьшится на 10% за год.
Варианты решений для ЛПР Я):
- 1) продать квартиру перед отъездом за 7 200 тыс. руб. (240 тыс. дол.);
- 2) сдать квартиру в аренду за 30 тыс. руб./мес.;
- 3) сдать одну комнату в аренду за 12 тыс. руб., а вторую продать за 2 400 тыс. руб.;
- 4) продать квартиру через год, когда решение о переезде будет принято.
Очевидно, что если придется возвращаться и квартира будет сохранена, то этот вариант предпочтительнее. К такому варианту добавим некий бонус:
- 1) если квартира продана сразу, то вычитаем сумму минимальной стоимости квартиры - 220 тыс. дол.;
- 2) если квартира сохранена, то такую же сумму прибавляем;
- 3) если продана только одна комната, то бонус равен стоимости одной комнаты - 80 тыс. дол.
Пусть курс доллара на данный момент равен 30 руб. Составим матрицу выигрышей в долларах США (табл. 13.9).
Вычислим платежную матрицу игры (табл. 13.10) и матрицу рисков (табл. 13.11)
Найдем решения, используя все рассмотренные критерии. Применяя максиминный критерий Вальда, получим
Этому критерию соответствует стратегия Ху Критерий минимаксного риска Сэвиджа дает
Таблица 13.9
|
30000 12 , -0000 |
30000 12 , -0000 |
|||
|
12 000 12+2 400 000 |
12 000 12+ 2400 000 |
12 000 1 2+ 2 400 000 |
12 000 12+2 400 000 |
|
|
7200000 , омо |
||||
344 . ГЛАВА 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР
Таблица 13.10
г опт = шах {0,0,59111,0} = 59111,
что соответствует выбору стратегии X 3 .
Применяя критерий Гурвица при к = 0,6 (что соответствует среднестатистическим предпочтениям), получим
Этому критерию также соответствует стратегия X 3 . По критерию Лапласа
Это решение соответствует стратегии Х 4 .
Таким образом, по трем критериям оптимальной стратегией является X з.
В заключении отметим, что каждый критерий имеет свои положительные и отрицательные стороны. Анализ матрицы игры при помощи разных критериев позволяет исследовать задачу с разных точек зрения, особенно это полезно, если соответствующая матрица имеет большую размерность. Это в любом случае более конструктивный подход, чем попытки сравнения множества вариантов. Если полученные решения совпадут, как в примере, то решение однозначно. Если нет, то нужно провести дополнительный анализ с учетом всех характеристик рассматриваемых критериев.
Многие из нас не любят попадать в ситуацию, когда информации о внешних факторах очень мало, или она напрочь отсутствует, и при этом нужно срочно сделать важный выбор. Скорее всего, именно поэтому большинство людей предпочитает избегать на работе ответственности и довольствуется скромным, но вместе с тем относительно спокойным служебным положением. Если бы они знали о теории игр и о том, какую пользу могут сослужить критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, карьера наиболее сообразительных из них наверняка бы стремительно пошла вверх.
Рассчитывай на худшее
Именно так можно охарактеризовать первый из перечисленных принципов. Критерий Вальда нередко называют еще критерием крайнего пессимизма или правилом минимального зла. В условиях и шаткого, неустойчивого положения вполне логичным представляется перестраховочная позиция, которая рассчитана на самый худший случай. Максиминный критерий Вальда ориентирует на максимизацию выигрыша при наиболее неблагоприятных обстоятельствах. Примером его использования может служить максимальное увеличение минимального дохода, максимизация минимальных объемов наличности и т. п. Такая стратегия оправдывает себя в тех случаях, когда человек, принимающий решения, не столько заинтересован в большой удаче, сколько хочет застраховать себя от внезапных потерь. Другими словами, критерий Вальда сводит риск к минимуму и позволяет принимать наиболее безопасные решения. Подобный подход дает возможность получить гарантированный минимум, хотя фактический итог может оказаться не таким уж и плохим.
Критерий Вальда: пример использования
Предположим, некое предприятие собирается выпускать новые виды товаров. При этом следует сделать выбор между одним из четырех вариантов В 1 , В 2 , В 3 , В 4 , каждый из которых предполагает определенный тип выпуска либо их сочетание. От принятия решения в конечном счете будет зависеть, какую предприятие получит прибыль. Как конкретно сложится рыночная конъюнктура в будущем, неизвестно, однако аналитики прогнозируют три основных сценария развития событий: С 1 , С 2 , С 3 . Полученные данные позволяют составить таблицу возможных вариантов выигрыша, которые соответствуют каждой паре возможного решения и вероятной обстановки.
Виды продукции | Сценарии рыночной конъюнктуры | Наихудший результат |
||
Используя критерий Вальда, следует выбрать такую, которая будет для рассматриваемого предприятия наиболее оптимальной. В нашем случае показатель эффективности
Е = мах {25;22;15;20} = 25.
Его мы получили, выбрав по каждому из вариантов минимальный результат и вычленив среди них тот, который принесет наибольший доход. Это означает, что решение В 1 будет для фирмы, согласно данному критерию, самым оптимальным. Даже при самой неблагоприятной обстановке будет получен результат 25 (С 1), в то же время не исключено, что он достигнет 45 (С 3).
Отметим еще раз, что критерий Вальда ориентирует человека на максимально осторожную линию поведения. При других обстоятельствах вполне возможно руководствоваться иными соображениями. К примеру, вариант В 3 мог бы принести выигрыш в 90 при гарантированном результате в 15. Однако этот случай выходит за рамки темы данной статьи, и потому рассматривать его мы пока не будем.