Законы Кеплера
Законы Кеплера - три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом /→ 0, где,,
Массы планеты и Солнца соответственно.
Первый закон Кеплера (закон эллипсов):
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При, и, следовательно, эллипс превращается в окружность.
Доказательство первого закона Кеплера
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму.
Вспомним, что в полярных координатах:
В координатной форме запишем:
Подставляя и во второе уравнение, получим
которое упрощается
После интегрирования запишем выражение
для некоторой константы, которая является удельным угловым моментом ().Пусть
Уравнение движения в направлении становится равным
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с
расстоянием как
где G - универсальная гравитационная константа и M - масса звезды.
В результате
Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:
для произвольных констант интегрирования e и θ0.
Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:
Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Второй закон Кеплера (закон площадей):
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.
Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Доказательство второго закона Кеплера
По определению угловой момент L точечной частицы с массой m и скоростью v записывается в виде:
где - радиус-вектор частицы аимпульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором r за времяdt из геометрических соображений равна
где представляет собой угол между направлениями r иv .
По определению
В результате мы имеем
Продифференцируем обе части уравнения по времени^
поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что L , а следовательно и
пропорциональная ей скорость заметания площади - константа.
Третий закон Кеплера (гармонический закон)^
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.
где T1 иT2 - периоды обращения двух планет вокруг Солнца, аa1 иa2 - длины больших полуосей их орбит.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен - в действительности в него входит и масса планеты/
где M - масса Солнца, аm1 иm2 - массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Параметры орбиты в плоскости:
В небесной механике это траектория небесного тела в гравитационном поле другого тела, обладающего значительно большей массой (планеты, кометы, астероида в поле звезды). В прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с центром масс, траектория может иметь форму конического сечения (окружности, эллипса, параболы или гиперболы). При этом его фокус совпадает с центром масс системы.
Кеплеровы орбиты
Долгое время считалось, что планеты должны иметь круговую орбиту. После долгих и безуспешных попыток подобрать круговую орбиту для Марса, Кеплер отверг данное утверждение и, впоследствии, используя данные измерений, сделанных Тихо Браге, сформулировал три закона (см. Законы Кеплера), описывающих орбитальное движение тел.
Кеплеровыми элементами орбиты являются:
фокальный параметр, большая полуось, радиус перицентра, радиус апоцентра - определяют размер орбиты,
эксцентриситет (е) - определяет форму орбиты,
наклонение орбиты (i),
долгота восходящего узла () - определяет положение плоскости орбиты небесного тела в пространстве,
аргумент перицентра () - задаёт ориентацию аппарата в плоскости орбиты (часто задают направление на перицентр),
момент прохождения небесного тела через перицентр (To) - задаёт привязку по времени.
Эти элементы однозначно определяют орбиту независимо от её формы (эллиптической, параболической или гиперболической). Основной координатной плоскостью может быть плоскость эклиптики, плоскость галактики, плоскость земного экватора и т. д. Тогда элементы орбиты задаются относительно выбранной плоскости.
Первая заповедь перфекциониста-прокрастинатора:
«Лучше сделать хорошо, но никогда, чем кое-как и сегодня»
Всех людей можно условно разделить на 2 группы: успешные и неудачники . К какой категории относишься ты? Думаю, если читаешь это, — то всё-таки к первой 🙂 Но давай всё же определимся, что отличает неудачников от успешных людей? 8 признаков неудачника, поехали:
- Привычка во всём винить окружающий мир. Это, пожалуй, главный признак неудачника – обвинять в собственных неудачах обстоятельства, правительство, соседей, американцев, жидомасонов и прочих рептилоидов. Неудачники крайне сварливы и угрюмы. Про таких людей есть очень чёткая поговорка – «Жаль, что все, кто знает как управлять государством, уже работают таксистами и парикмахерами».
- Привычка всё откладывать «на завтра». Брошу курить с понедельника, пойду в спортзал с нового года, со следующего месяца сяду на диету и прочие сказки, планируемые «с понедельника» . Неудачники не умеют расставлять приоритеты, из-за этого у них часто не хватает времени на главное, зато на второстепенное всегда находится. Как сказал кто-то из великих – «Неудачники тоже имеют цели, просто они тратят больше времени на планирование вечеринки, чем собственной жизни».
- Невоспитанность. Неудачники зачастую оказываются весьма хамоватыми особами. Кроме того, они не умеют ценить время других людей, подарки и помощь. Они неблагодарны, не пунктуальны и часто нарушают правила и договорённости. В общем, крайне не надёжные ребята.
- Непродуктивность. Время, как и деньги, тоже нужно инвестировать. Успех приходит к тем, кто изо дня в день вкладывает своё время и деньги в воплощение своих целей и мечтаний. Неудачники обычно не заморачиваются над этими вопросами, они не хотят ежедневно кропотливо работать и получать за это с каждым годом всё большую отдачу. Хотя ничто не приближает нас к успеху эффективнее, чем упорный каждодневный труд. Даже талант не способен дать такого успеха, как упорство.
- Отсутствие вкуса. Неудачнику «по барабану» в чём он одет. Если человеку безразличен его внешний вид – скорее всего, ему безразлично вообще всё, кроме естественных потребностей. В том числе, таким пофигистам наплевать на свою жизнь и своё будущее. Следовательно, отсутствие вкуса в одежде – признак отсутствия вкуса к жизни.
- Привычка кому-то что-то доказывать и затевать пустые споры. Неудачников хлебом не корми – дай развести спор на пустом месте. Особо излюбленной темой, конечно же, является политика. Особо излюбленным местом для споров, конечно же, является интернет. Вместо того, чтобы заняться делом и принести пользу себе и людям, они часами ведут неустанную войну на просторах всемирной паутины, чтобы доказать всем, что именно они правы! Только это бесполезно, каждый всё равно останется при своём мнении. Разжигание таких споров имеет один скрытый смысл – покрасоваться, показать окружающим, что ты умнее и красноречивее. Другим способом обычно неудачник выделиться не может. А выделиться чем-то, — это наша людская суть, естественное желание любого нормального человека. Только одни выделяются на словах, а другие – на деле.
- Неумение выбирать друзей. Неудачники обычно не ценят людей, делающих для них добро. Им комфортнее общаться с такими же как и они – неудачниками. Но обычно это не настоящая дружба, а лишь поверхностное общение. Неудачникам крайне сложно строить какие-либо взаимоотношения с людьми.
- Самообман. Неумение признавать свои ошибки и обманываться на свой счёт – неотъемлемая черта неудачников. Чтобы двигаться к успеху, нужно трезво оценить текущее положение вещей и свои силы. Очень часто неудачники, переоценивая свои силы, сразу берут на себя непосильную ношу, с которой, естественно, не справляются. После чего разочаровываются в жизни. Успешный же человек, трезво оценив свои способности, начнёт с малого, и, постепенно совершенствуясь изо дня в день, не торопясь, в итоге рано или поздно достигнет своей цели. Часто случается и так, что человек недооценивает свои силы – это тоже делает его неудачником. Ведь, например, если у него есть талант оперного певца, а он работает дворником, не веря в то, что он может добиться успеха – разве он не неудачник?
Подведём итог. Следуя из вышеперечисленного можно нарисовать портрет самого закоренелого неудачника – недовольный окружающим миром, не признающий своих ошибок, безвкусно одетый хам и бездельник, откладывающий всё на потом, любящий поспорить о политике и не имеющий нормальных друзей 🙂 Корнем всего этого джентльменского набора является и нежелание выходить из зоны комфорта.
Тебе, дорогой друг, желаю не иметь никаких признаков из этого списка и быть успешным!
Неудачники абсолютно не ценят своё время. Любой успешный человек скажет вам, что время - самый ценный наш ресурс. Люди, которые достигают успеха, время ставят даже выше, чем деньги. А чем занимаетесь вы? Почитали Twitter, потупили на сайте типа Fishki.net или Bash.im, полайкали фоточки в Facebook и «ВКонтакте».
А ведь вы каждый год строите планы. Каждый год вы обещаете себе, что «вот в этом-то году я буду прям пахать». И всё по-новой. Вашим планам не суждено осуществиться. Всё потому, что вы не уделяете нужное количество времени выполнению задач. Научитесь управлять своим временем, научитесь говорить «нет» - это будет неплохим шагом в сторону успеха в любой сфере вашей жизни.
2. Вы не делаете вещей, которые соответствуют вашим целям
Совсем не трудно принимать решения, когда знаешь, какие у тебя ценности.
Рой Дисней
Аутсайдеры путают занятость с продуктивностью. Ошибочно считают, что напрямую зависит от занятости. Поэтому неудачники берутся за всё подряд. Они принимают участие в чём угодно. В результате распыляют свои усилия в никуда. Единственное, куда они не направляют свои усилия, - это их цели и их ценности.
Запишите ваши цели и стратегию их достижения. Это поможет вам определить, куда же на самом деле нужно направлять свои усилия. «Дело тем верней свершишь, чем важней его считаешь».
3. Вы не берёте на себя ответственность
Да, ваш босс действительно козёл, и вы реально ненавидите свою работу. Но это не повод делать всё посредственно. Вам платят, чтобы вы находились на работе и чтобы вы качественно выполняли свою работу. Нужно стремиться к совершенству независимо от обстоятельств. Это называется зрелостью и мудростью. Неудачников вполне устраивают плохие оценки. И они не думают о том, чтобы стать лучше. Одно из главных правил жизни: она возвращает усилия, которые вы прилагаете.
4. Вы сами себя ограничиваете
«У меня просто всё плохо с цифрами», «Мне действительно не даются языки», «Мой мозг не способен изучать программирование», «Я недостаточно жёсткий для того, чтобы вести свой бизнес» - это всё фразы неудачников. Они сами себя ограничивают. Забудьте о том, что у вас есть ограниченный набор навыков и умений. Перестаньте думать, что все вокруг умнее вас. Это неправильный путь. Прикладывайте больше усилий, выкладывайтесь на полную. Тогда вы будете успешны.
5. Вы - мастер оправданий
Всегда ищут логичные причины своих неудач. Они ищут причины, почему им не стоило что-либо делать. И всё-таки находят их. Неудачники перебарщивают с тем, что называется «быть реалистом». Они постоянно находят оправдание своей бездеятельности. Вместо этого они могли бы просто попробовать сделать. Как только ваш мозг начинает искать оправдание, вам нужно его остановить и активизировать тот механизм, который запускает желание что-либо делать.
6. Вы не умеете общаться и обращаться с людьми
Вы можете легко судить о характере человека по тому, как он относится к тем, кто ничего не может сделать для него.
Иоганн Гёте
У неудачников нет социальных навыков. «По крайней мере, я говорю честно», «Я такой, какой есть, смирись с этим» - такие фразы произносят неудачники. Неуспешные люди ведут себя высокомерно, не имея для этого оснований. Кому нравятся показушники? Вот и не будьте им! Очень легко быть милым и вежливым с тем, кто тебе нравится. А вы попробуйте вести себя хорошо с тем, от кого вы ничего не сможете получить.
Есть отличное выражение, что лучший способ проверить характер человека - это посмотреть на его поведение в очереди и на отношение к . Ещё один хороший способ узнать человека - посмотреть на его реакцию, когда вы испортите его вещь.
7. Вы всё откладываете на потом
Самое смешное то, что неудачники сами себя называют модным словом «прокрастинаторы». И абсолютно этого не стыдятся. Они совсем не понимают ценности времени. Их вполне устраивает жить вчерашним днём. Неудачники живут так, как будто у них в запасе есть ещё одна жизнь. Но на самом деле ни у кого нет возможности поставить жизнь на паузу или отмотать немного назад. Усвойте, что вы умираете с того момента, как родились. Каждый день - это подарок. Вы можете делать что угодно, но учтите, что завтрашнего дня может и не быть.
8. Вы не действуете
Сделайте сегодня. Вы из завтра скажете себе за это спасибо.
Лес Браун
Это слишком простое правило для неудачников. Неудачники предпочитают размышлять, но не действовать. Красиво говорят, красиво мечтают и планируют. Но неуспешным людям не хватает толчка к действию. Хватит мечтать - начинайте делать!
9. Вы не умеете бороться с трудностями
Существует одна легенда. Она гласит, что однажды жил пастух, который был мал ростом и не был воином. Он посмотрел на великана и сказал: «Я поборю тебя и отрежу тебе голову!» - и сделал это. Испытания сложны ровно настолько, насколько вы себе это представляете и насколько позволяет ваша слабость. Неудачники этого не понимают и быстро сдаются. Они сдаются в тот момент, когда ситуация становится дискомфортной.
Не бывает роз без шипов, детей без труда и радуги без грозы. Испытания не только приближают нас к цели, но и делают из нас тех, кем мы и не мечтали стать. Не бойтесь страхов, боритесь с ними. Это откроет перед вами новые просторы. Да-да, мы снова говорим о том, что нужно . Чтобы узнать свою силу, нужно сразиться.
10. Вы апатичны
У вас нет своего мнения, и вы не можете принимать решения. Не в состоянии поддерживать умные беседы, не можете думать открыто, если тема не из вашей сферы знаний. Неудачники думают, что все должны думать так же, как они. Неуспешные люди не читают, не учатся после школы. Максимум оканчивают вуз, потому что «так надо». Даже если они не доберутся до предела своего потенциала, им на это плевать. Они способны скучать в мире радости и чудес.
Самый тихий убийца - это апатия. Найдите себе увлечение, займитесь этим. Даже если вам за это не платят. Пока что. Используйте свой талант и найдите ему применение.
Все права защищены "Интересные статьи" 2015
Как много значит чтение в вашей жизни? Часто ли интересные статьи обо всем скрашивают ваш досуг? Черпаете ли вы какие-то новые сведения, знакомясь с материалом на бесчисленных интернет-страницах? УВЛЕКАТЕЛЬНОЕ ЧТИВО: СТАТЬИ ПРО ВСЕ НА СВЕТЕ На чтение содержательных, достойных внимания книг, увы, не всегда находится время. Множество материала, разбросанного на ресурсах Интернета, конечно, не восполнит дефицит классического или авангардного творчества, но позволит значительно расширить кругозор. Регулярное знакомство с информацией, периодически появляющейся в виртуальной печати, переходит в приятную привычку. Помимо интернета, источником информации становятся печатные издания. Многие предпочитают читать статьи в газетах и журналах, получая новости оттуда. Не важно, откуда мы берем данные. Главное – не давать своему мозгу нивелироваться, насыщая его интересной и нужной для себя информацией. Круг читательских интересов многогранен. Кто-то с упоением читает познавательные статьи, а кого-то могут увлечь лишь развлекательные строки. О вкусах, как говорится, не спорят. Но есть люди, сфера знаний которых не ограничивается чем-то определенным. Это категория активных читателей, постоянно развивающихся, пытливых и неутомимых. Им нужно знать все. В детстве они ломали игрушки и пытались сами их чинить, собирали из конструктора паровозы и разрисовывали стены в квартире, шили платья куклам и втайне от родителей разбирали на части старый телевизор. Такие дети с равным интересом слушали познавательные статьи и сказки, смотрели передачи про космос и исторические фильмы. Сегодня именно они являются наиболее благодарной читательской аудиторией.Существует еще масса под категорий типа «сад и огород», «новости спорта», «ремонт своими руками», «туризм, путешествия» и т.д. Хорошо написанные интересные статьи обо всем всегда находят своего читателя. Главное – привлекательная подача материала, доступный язык. Конечно, достойный сюжет Чтобы, читая, забыть обо всем на свете, желая побыстрее дойти до конца и узнать что-то новенькое.Забавно наблюдать, как разнятся интересы женской и мужской аудитории. Понятно, что интересные факты и статьи о модных тенденциях, последних новостях с мировых подиумов вряд ли привлекут сильную половину человечества. Им же наверняка будут неинтересны техники вышивки, бисероплетения, нюансы создания домашнего уюта.«Зацепить» обоих могут интересные статьи о здоровье и рецептах: многие кулинарные шоу современного телевидения ведутся именно мужчинами – шеф-поварами дорогих ресторанов. И это исключение, ранее служившее нонсенсом, сегодня, скорее, является правилом. Мужчины теперь любят готовить, охотно делятся рецептами, участвуют в кулинарных программах и с удовольствием учат этому окружающих, гордясь своими достижениями в области приготовления блюд.