Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, - функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; - функция синуса, известная своими волнами.
В этих примерах в левой части равенства находится y , а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x . Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y . Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде ). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именно явные функции. Про дифференцирование функций одной переменной, заданных в явном виде, мы уже в деталях поговорили.
Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y , причем это соответствие НЕ обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного .
В данной статье мы рассмотрим неявные функции и способы нахождения их производных . В качестве примеров функций, заданных неявно, можно привести или .
Как Вы заметили, неявная функция определяется соотношением . Но не все такие соотношения между x и y задают функцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству , следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.
Может неявно определять закон соответствия между величинами x и y , причем каждому значению аргумента x может соответствовать как одно (в этом случае имеем однозначную функцию) так и несколько значений функции (в этом случае функцию называют многозначной). К примеру, значению x = 1 соответствует два действительных значения y = 2 и y = -2 неявно заданной функции .
Неявную функцию привести к явному виду далеко не всегда возможно, иначе не пришлось бы дифференцировать сами неявные функции. Например, 
- не преобразовывается к явному виду, а - преобразовывается.
Теперь к делу.
Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x , считая y – функцией от x , и после этого выразить .
Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x) , проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции . Давайте сразу подробно разберем несколько примеров, чтобы дальше не было вопросов.
Пример.
Продифференцировать выражения 
по x
, считая y
функцией от x
.
Решение.
Так как y
– это функция от x
, то - это сложная функция. Ее можно условно представить как f(g(x))
, где f
– функция возведения в куб, а g(x) = y
. Тогда, по формуле производной сложной функции имеем: 
.
При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь f
– функция синуса, g(x) = y
):
Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:
Последовательно применяя правила, продифференцируем последнее выражение:
Вот теперь можно переходить к нахождению производной неявно заданной функции, для этого все знания есть.
Пример.
Найти производную неявной функции .
Решение.
Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x
и y
: . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:
Разрешим полученное уравнение относительно производной:
Ответ:
.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Для закрепления материала решим еще пример.
Пери Куклин (Perry Kuklin)
Каждый владелец бизнеса со всеми своими менеджерами хотел бы ежедневно и еженощно видеть не только растущие прибыли, но и счастливых, полностью удовлетворённых покупателей. Один из путей достижения этой цели - создание в грядущем 2014 году лучших условий для ожидающих в очереди клиентов. Вот пять простых способов:
1. Развлеките посетителей
Скопившихся в очереди покупателей надо чем-то отвлечь. А поскольку сегодняшняя культура настроена на все виды экранного действа, занятие ваших очередей созерцанием дисплеев займёт всё внимание посетителей и в их памяти не отложатся связанные с ожиданием отрицательные эмоции.
2. Вперёд, в виртуальность
Электронная очередь – вот на чём всё ещё спотыкаются многие компании. Как такая «куча мала» может сработать в вашу пользу, если вы всё время были зависимы от классической очереди типа «кто последний, я за вами»?
Никогда не забывайте, что большинство людей высоко ценят своё время и свободу действий. Создание электронной очереди глушит в посетителях чувство потери времени и дискомфорт от вынужденного выстраивания в ряд. При наличии электронной очереди клиенты могут присесть, заняться чем-то, кроме утомительного ожидания, да просто насладиться возможностью делать что угодно, без необходимости топтаться в очереди.
3. Следите за очередями
Разрешение проблемы очередей не только в создании более комфортных условий для покупателей; рассмотрите вопрос с точки зрения менеджмента – в конечном итоге это принесёт выгоду вам и удовлетворение покупателям.
Отслеживание движения очереди в реальном времени позволяет ответственным за это менеджерам в любое мгновение держать руку на пульсе каждой из очередей. Для информирования менеджера торгового зала о том, что где-то произошёл сбой, можно настроить любую форму извещения (текстовое сообщение, электронное письмо и пр.). Так он сразу узнает, что персонал компании тормозит, очереди движутся слишком медленно и т.д.
Отслеживание очередей позволяет также фиксировать рекордные показатели скорости их движения, что является бесценной информацией для менеджеров. На её основе они могут прогнозировать периоды пиков и спадов нагрузки, соответственно маневрируя персоналом и количеством работающих кассовых терминалов.
4. Добавьте немного мобильности
Общайтесь с покупателями в очереди самым доступным сегодня способом – через смартфоны. В электронную очередь можно привнести элемент мобильности, позволяющий клиентам через телефон регистрировать своё место в очереди и общаться с персоналом в текстовом режиме, когда их очередь уже подходит.
Развлекательному элементу, описанному выше, тоже не лишне придать мобильности. На экраны смартфонов можно выводить информацию о том, как клиентам улучшить свой покупательский опыт (подписка на купоны, дисконтные карты, грядущие промо-акции и, разумеется, оставшееся время ожидания в очереди).
5. Совместите трансляцию на смартфоны с мерчендайзингом
В розничной торговле решение проблемы очередей воистину элементарно. Клиенты могут увидеть товар и отметить его преимущества самостоятельно, но если представить им изделие в действии, то можно укрепить их стремление к покупке, которое до этого момента могло быть не слишком уверенным. Подумайте вот о чём: в интернет-торговле для увеличения конверсии и уровней продаж широко используются видеоматериалы. Что мешает применять эту технику в оффлайн торговле?
Воспользуйтесь тем, что у покупателя в руках дивайс, который может служить вашей витриной. Предложите клиенту посмотреть видеоролик с хорошо распродающимся товаром, рассказывающий о его особенностях; или даже видеозапись одобрительных высказываний о нём довольных покупателей. Доводя до томящихся в очереди людей такого рода информацию, да ещё с одновременной её прокруткой на больших дисплеях в зоне видимости, вы заботитесь об удовлетворении двух крайне важных потребностей: развлечение клиентов и увеличение продаж компании.
Ожидание в очереди становится последним впечатлением покупателя о вашем бизнесе (представьте себе розничный магазин), а последние слова разговора запоминаются лучше всего – это аксиома. В ряде случаев это вообще основа клиентского опыта (представьте себе аэропорт). Всегда найдутся пути улучшить взаимодействие с людьми, которые пользуются услугами вашего бизнеса, при этом одна из лучших точек для старта – изменение организации очередей.
Перевод Леонида Пеленицына
Перед выходом на передачу любой, исходящий из процессора ЭВМ, блок должен некоторое время ожидать в очереди. В общем случае при использовании относительных приоритетов обработка сообщений организуется по схеме рис. 11
Сообщениям типа Z 1 ,…,Z n присвоены относительные приоритеты 1,…,n соответственно. Сообщение Z p , поступившее в систему, и ожидающее передачи, заносится в очередь О р, в которой хранятся сообщения приоритета Р. В очереди О р сообщения упорядочены по времени их поступления. Когда процессор Пр заканчивает передачу ранее обслуживаемого сообщения, то управление передается программе "ДИСПЕТЧЕР”. Программа выбирает для очередной передачи сообщение с наивысшим приоритетом - сообщение Z i , если очереди более старших приоритетов О 1 ,..,О i-1 не содержат сообщений (т.е. оказываются пустыми). Выбранное для передачи сообщение захватывает исходящий канал на все время передачи. Если в систему поступает n простейших потоков сообщений с интенсивностями, а длительность передачи сообщений каждого типа имеют средние значения и вторые начальные моменты, соответственно, то среднее время ожидания сообщений, имеющих приоритет k, определится соотношением
Используя понятие коэффициента вариации
где - среднеквадратическое отклонение времен передачи сообщений i-го типа, получим соотношение:
В рассматриваемом нами конкретном случае анализа сети имеются всего два типа передаваемых блоков сообщений: исходящие интерактивные блоки, имеющие более высокий приоритет, и исходящие почтовые блоки, имеющие более низкий относительный приоритет.
Следовательно,
Для сообщений первого приоритета
Для сообщений второго приоритета
Следовательно, для интерактивных блоков:
Для почтовых блоков:
Для вычисления значений коэффициентов вариации длин блоков необходимо учесть следующее:
При каждом успешном опросе, ЦДП передает абоненту случайное число N исходящих блоков. Будем считать, что случайная величина N распределена по экспоненциальному закону.
Это означает, что коэффициент вариации (34)
Поскольку почтовые сообщения имеют постоянную длину, (35)
Расчет показывает, что при малой загрузке, время ожидания в очереди блоков почтовых сообщений незначительно превышает время ожидания блоков интерактивных сообщении (сообщений мало и они не мешают друг другу при передаче). С увеличением нагрузок ранним возрастает за счет того, что интерактивные блоки сообщений "выясняют" почтовые.
Время ожидания в очередях в узлах коммутации
Блоки сообщений, попадающие в центры коммутации, анализируются и направляются в соответствии с указанным в них адресом получателя через другие центры коммутации к абоненту или к ЭВМ. Прежде, чем центр коммутации (ЦК) прочтет адрес для направления блока, необходимо, чтобы вся управляющая часть блока (в у = 19 байт), содержащая адресную информацию, была полностью принята УК. Затрачиваемое на это время
Затем, спустя некоторое время реакции УК (рцк =1 мс), если очередь сообщений в УК отсутствует, рассматриваемый блок направится дальше к следующему центру коммутации.
Одновременно с приемом блоков УК ведет передачу выходящих из него блоков.
(37)
является полным временем, необходимым дня обслуживания передачи блока сообщений в УК.
Интерактивные и почтовые блоки сообщений поступают в УК вперемешку. При этом в него попадают как исходящие от ЭВМ ЦДП, так и предназначенные для нее блоки. Поэтому при рассмотрении времени ожидания очереди на передачу сообщения УК- необходимо учитывать полную загрузку сети
Учитывая, что является величиной постоянной (= 0), для определения значения времени tцк следует воспользоваться соотношением
Ввиду малой нагрузки эта величина получилась весьма незначительной, однако, при возрастании суммарной загрузки в 2 раза значение увеличивается, а при дальнейшем повышении нагрузки центры коммутации могут оказаться «узким местом» сети.
Значение эквивалентного времени ожидания в очередях центров коммутации определяется соотношением
аналогично тому, как это делалось при определении эквивалентной задержки в центре коммутации. Если принять, например, что для рассматриваемой сети каждый блок проходит один раз через 3,5 узла коммутации, то
Указанная задержка и должна учитываться при определении времени ответа для интерактивных и почтовых сообщений.
Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.
Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.
Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.
Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.
В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).
Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».
Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.
Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания с каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания будем считать случайным и распределенным по показательному закону
где параметр - величина, обратная среднему сроку ожидания:
; 
.
Параметр полностью аналогичен параметрам и потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .
Очевидно, при система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при она превращается в чистую систему с ожиданием.
Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.
Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:
Ни один канал не занят (очереди нет),
Занят ровно один канал (очереди нет),
Занято ровно каналов (очереди нет),
Заняты все каналов (очереди нет),
Заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,
Заняты все каналов, заявок стоят в очереди,
Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.
Очевидно, первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:
Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние не только из , но и из (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).
Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент и найдем - вероятность того, что система в момент будет в состоянии . Это может осуществиться тремя способами:
1) в момент система уже была в состоянии , а за время не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);
2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (пришла одна заявка);
3) в момент система была в состоянии (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время перешла в (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).
Вычислим теперь при любом - вероятность того, что в момент все каналов будут заняты и ровно заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:
1) в момент система уже была в состоянии , а за время это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из стоящих в очереди заявок не ушла);
2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (т. е. пришла одна заявка);
3) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).
Следовательно:
Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:
(19.10.1)
Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.
Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:
(19.10.2)
К ним нужно присоединить условие:
Найдем решение системы (19.10.2).
Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:
Перейдем
к уравнениям для 
. Тем же способом
получим:
,
,
и вообще при любом
. (19.10.5)
В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для и , получим:
,
. (19.10.6)
Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и «приведенные» плотности:
(19.10.7)
Параметры и выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.
В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:
; (19.10.9)
. (19.10.10)
Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:
; (19.10.11)
. (19.10.12)
Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:
. (19.10.13)
Чтобы получить , нужно умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент