Степень детализации работ в сетевом графике может быть различной и зависит от назначения модели. Для бригадиров, мастеров и производителей работ разрабатываются более подробные модели. Руководители монтажных управлений и трестов пользуются , выполненной в укрупненном виде.
Расчет сетевого графика заключается в нахождении критического пути и определении резервов времени для работ, которые не располагаются на этом пути.
При производстве расчетов сетевых моделей применяют следующие обозначения его параметров.
Продолжительность работы Ti-j) (здесь i и j- номера соответственно начального и конечного событий, т. е. i -j - код рассматриваемой работы).
Раннее начало работы Ti-j) - характеризуется выполнением всех предшествующих работ и определяется продолжительностью максимального пути от исходного события всей модели до начального события рассматриваемой работы.
Раннее окончание работы Ti-j - определяется суммой раннего начала и продолжительности рассматриваемой работы.
Позднее окончание работы Тi-j-, - определяется разностью продолжительности критического пути и максимальной продолжительности пути от завершающего события всей модели до конечного события рассматриваемой работы.
Позднее начало работы Ti-j - определяется разностью позднего окончания и продолжительности рассматриваемой работы.
Общий резерв времени работы Ri-j - характеризуется возможностью роста продолжительности работы без увеличения продолжительности критического пути и определяется как разность между поздним и ранним окончанием рассматриваемой работы.
Частный резерв времени работы ri-j - характеризуется возможностью увеличения продолжительности работы без изменения раннего начала последующей работы и определяется разностью между ранним началом последующей работы и ранним окончанием рассматриваемой работы. Частный резерв имеет место, когда одним событием заканчивается не менее двух работ. Полным резервом пути R называют разность между продолжительностью критического пути модели и продолжительностью рассматриваемого пути.
Проследим на фрагменте сетевой модели, изображенном на рис. 3.1 , как определяются ее параметры. Из определения критического пути (путь максимальной продолжительности от события О до события 6) находим путь 0-2-4-5-6, равный 21. К работе 5-6 (начальное и конечное события) от исходного события О можно подойти следующими путями: 0-/-3-5; 0-2-3-5; О-2-4-5. Из определения раннего начала выбираем путь максимальной продолжительности 0-2-4-5, равный 13. Это и будет раннее начало работы 5-6. Раннее окончание этой же работы получаем, суммируя раннее начало и продолжительность работы: 13 + 8 = 21.
Найдем позднее окончание работы 0-2. Подойти к конечному событию 2 от завершающего события 6 можно по путям 6-5- 3-2; 6-5-4-2 и 6-4-2, максимальный из которых составит 14. Тогда позднее окончание работы 0-2 будет 21 - 14 = 7. Позднее начало этой же работы получим как разность позднего окончания и продолжительности работы 7 - 7 = 0.
Раннее окончание работы 3-5 составляет 12, а позднее окончание этой же работы - 13. Общий резерв работы 3-5 будет 1.
Чаще всего при составлении сетевых графиков расчет основных параметров выполняют в табличной форме и непосредственно на графике (табл. 3.1).
Таблица 3.1. Таблица расчетов параметров сетевого графика
Рассчитанный критический путь сетевого графика может оказаться больше нормативного или директивного сроков строительства. В этом случае производят корректировку сетевого графика за счет привлечения дополнительных ресурсов и совмещения отдельных работ.
При расчете параметров непосредственно на графике каждое событие разделяют на 4 сектора. В верхнем секторе записывается номер данного события, в нижнем - номер предшествующего события, через которое к данному идет максимальный путь. В левом секторе фиксируют рассчитанное максимальное раннее начало работ, выходящих из рассматриваемого события, в правом - рассчитанное минимальное позднее окончание работ, входящих в рассматриваемое событие. Резервы записываются под стрелками и обозначаются дробью, числителем которой является общий резерв работы, знаменателем - частный резерв.
Общий резерв работы принадлежит не только первой работе, но и всем последующим работам данного пути. В случае использования на одной из работ общего резерва критический путь не изменит своей продолжительности, но все последующие работы окажутся критическими и лишатся резерва. На практике общий резерв используется частично на различных работах в пределах их частных резервов. Следует отметить, что сумма частных резервов работ на определенном пути равна общему резерву на первой работе этого пути.
Отличие частного резерва от общего заключается в том, что частный резерв может быть использован только на рассматриваемой или предшествующих работах и не может быть использован на последующих.
Наличие резервов у некритических работ позволяет сдвигать эти работы во времени, что предопределяет значительное число вариантов организации работ. Выбор и сопоставление сетевых моделей могут обеспечить высокие технико-экономические показатели, избавить модель от элементов случайности. При значительных размерах моделей неизбежно применение ЭВМ для механизации выбора оптимального варианта.
Как отмечалось выше, между однородными и разнородными работами потока существуют связи, обозначаемые на сетевой модели пунктирными стрелками. Эти связи являются одним из важных факторов при формировании методов организации строительно-монтажных работ. Различают ресурсные, фронтальные и ранговые связи.
Связь, отражающая степень непрерывности выполнения смежных однородных работ (степень непрерывности использования ресурсов) внутри любого частного потока, называется ресурсной (организационной).
Связь между двумя смежными разнородными работами на любом фронте работ, отражающая непрерывность освоения частных фронтов, называется фронтальной (технологической).
Связь между несколькими работами, начинающимися одним событием (имеющим одно раннее начало), называется ранговой (работы одного ранга).
Приведенные выше способы расчета обеспечивают учет ресурсных и фронтальных связей, не учитывая ранговых связей.
В Project Web App расписание проекта может быть одноуровневым списком задач, но обычно задачи проекта формируют иерархию. Иначе говоря, некоторые задачи являются суммарными, а другие - их подзадачами. Суммарные задачи могут представлять разные этапы проекта или высокоуровневые блоки работы, тогда как подзадачи представляют более детальную работу в рамках более крупных этапов или задач.
Понизить или повысить уровень задачи в проекте можно двумя способами.
Щелкните строку задачи, уровень которой нужно понизить или повысить, а затем на вкладке Задача в группе Редактирование выберите команду Понизить уровень или Повысить уровень .
Щелкните строку задачи, уровень которой нужно понизить или повысить. Чтобы понизить уровень задачи, нажмите клавиши ALT + SHIFT + СТРЕЛКА ВПРАВО, а чтобы понизить - ALT + SHIFT + Стрелка влево.
Совет: Проект не открыт для изменения? Выберите пункт Проекты на панели быстрого запуска, щелкните имя проекта в центре проектов, а затем на вкладке Проект или Задача выберите команду Изменить .
При автоматическом планировании длительность и даты начала и окончания суммарной задачи определяются по ее подзадачам. Суммарная задача начинается в самую раннюю дату начала подзадач и заканчивается в наиболее позднюю дату их окончания.
Нужно отобразить суммарную задачу проекта? Можно также включить отображение суммарной задачи проекта в верхней строке списка задач, которая представляет иерархию всех суммарных задач и подзадач на уровне проекта. Чтобы отобразить суммарную задачу проекта, установите флажок Суммарная задача проекта в группе Показать или скрыть на вкладке Параметры .
Пример
Предположим, вы планируете принять участие в конференции. У вас может быть этап подготовки, на котором предполагается собрать предложения и материалы, которые будут раздаваться в павильоне, доставить их на место проведения конференции и оформить павильон. Далее может следовать этап проведения конференции, на котором сотрудники будут посменно работать в павильоне и зале, распространяя материалы. Наконец, заключительным этапом может быть рассылка писем с благодарностями посетителям и ответами на их вопросы.
Данному примеру может соответствовать приведенный ниже структурированный список суммарных задач и подзадач.
-
Доставка материалов на место проведения конференции.
Оформление павильона на месте проведения конференции.
Смены сотрудников в павильоне
Смены сотрудников в зале
Этап 3. Действия после конференции
Этап 1. Подготовка к конференции
Этап 2. Конференция
Расчетные параметры СГ:
i - j – код данной работы;
i – код начального события данной работы;
j – код конечного события данной работы;
h – i - код работ, предшествующих данной работе;
h – код событий, предшествующих начальному событию данной работы;
j - k – код работ, последующих за конечным событием данной работы;
k – код событий, последующих конечному событию данной работы;
L – путь;
L кр – критический путь;
t L – продолжительность пути;
T L кр – продолжительность критического пути и критический срок;
t i - j – продолжительность работы;
T р.н i - j –раннее начало работы;
T р.о i - j –раннее окончание работы;
T i p – ранний срок свершения события I ;
T п.н i - j – позднее начало работы i - j ;
T п.о i - j – позднее окончание работы i - j ;
T n j – поздний срок свершения события j ;
R i - j – общий (полный) резерв времени работы i - j ;
r i - j – частный (свободный) резерв времени работы i - j ;
Общая схема кодирования работ и события показана на рис.3.18.
Рис. 3.18. Общая схема кодирования работ и событий
Расчет сетевого графика аналитическим путем. Расчет временных параметров СГ может выполняться по работам или по событиям, как это будет показано ниже.
Рис. 3.19. Сетевой график
Расчет ранних сроков. Ранние сроки начала и окончания работ и свершения событий СГ рассчитывают, начиная от исходного события последовательно по всем путям СГ прямым ходом расчета. В результате этого расчета кроме ранних сроков устанавливают также общую продолжительность работы по графику в целом и по отдельным его участкам (рис. 3.19).
Расчет по работам. Раннее начало работы T р.н i - j – самое раннее из возможных время начала работы - определяют продолжительностью самого длинного пути от исходного события до начального события данной работы:
T р . н i-j =max t h-i (3.1)
Например, для работы 6-8 (рис. 3.19) раннее начало:
Так как продолжительность наибольшего пути 1-2, 2-5, 5-6 составляет 16, то работу 6-8 можно начать на 17-й день. Раннее окончание работы T р.о i - j – время окончания работы (она начата в самый ранний из возможных сроков) – определяют суммой раннего начала и продолжительности данной работы:
T р . о i-j = T р . н i-j + t h-i . (3.2)
Например, для работы 6-8 раннее окончание:
T р.о 6-8 = T р.н 6-8 + t 6-8 =16+6=22.
Расчет по событиям. Ранний срок свершения начального события Т p i определяют максимальной величиной суммы ранних сроков свершения предшествующих событий и продолжительности работ, входящих в данное событие:
T p i = max { T p h + t h -1 }. (3.3)
Например,
Естественно, что расчет раннего срока свершения конечного со бытия работы выполняют по той же формуле.
Расчет поздних сроков. Расчет поздних сроков окончания и начала работ сетевого графика и свершения событий производят после того, как определены все ранние сроки и общая продолжительность. Расчет ведут обратным ходом от завершающего события к исходному последовательно по всем путям СГ.
Расчет по работам. Позднее окончание работы – самый поздний из допустимых сроков окончания работы, при котором не увеличивается общая продолжительность работ сетевого графика.
Позднее окончание рассматриваемой работы равно минимальному из сроков поздних начал последующих работ:
T п . о i- j = minT п . н . j-k (3.4)
Определение позднего начала через позднее окончание основано на том, что расчет ведут от завершающего события, у которого ранние и поздние сроки совпадают, т. е. T р k = T n k . , поэтому, рассчитав ранние сроки работ, мы установили тем самым и поздний срок завершающего события:
T п.о j - k = T кр = max T p .о j - k . (3.5)
Например, для работы 2-5 позднее окончание:
Позднее начало работы T п.н i - j – самый поздний из допустимых сро ков начала работы, при котором не увеличивается общая продолжитель ность работ. Позднее начало работы равно разности между величинами ее позднего окончания и продолжительности:
T п.н 2-5 = T п. o i - j – t i - j . (3.6)
Например, для работы 2-5 позднее начало:
T п.н 2-5 = T 2-5 – t 2-5 =15 – 12 = 3.
Расчет по событиям. Поздний срок Т n j свершения события j опре деляется минимальной величиной из значений разности поздних сроков свершения конечных событий k и продолжительности работ, выходящих из данного события j :
T n i = min {T n k – t j-k }. (3.7)
Например, для события 5:
Сопоставление ранних и поздних сроков работ и событий позволяет рассчитать резерв времени, критический путь и провести анализ параметров графика.
Если ранние и поздние характеристики работ совпадают, то ра боты лежат на критическом пути. Критическими являются те события, на которых совпадают ранние и поздние сроки свершений.
Для критических работ соблюдаются следующие условия:
ранние и поздние сроки начала работы и соответственно их окончания равны, т. е.
T р.н i - j = T п.н. i - j = T н i - j ; T р.о. i - j = T п.о. i - j = T o i - j (3.8)
или при расчете по событиям ранние и поздние сроки свершения событий, ограничивающих данную работу, соответственно равны, т. е.
T р i = T п i ; T р j = T п j ; (3.9)
2) разность между возможными сроками окончания и начала работы равна ее продолжительности, т. е.
T o i-j – T H i-j = t i-j , (3.10)
или разность между сроками свершения конечного и начального событий равна продолжительности данной работы, т. е.
T j – T i = T i - j (3.11)
Например, для критической работы 3-7 первое условие T p.н 3-7 = T п.н 3-7 =10 , а также T p.о 3-7 = T п.о 3-7 =15 соблюдено. Второе условие:
Общий (полный) и частный резервы времени для работ критиче ского пути равны нулю. Для остальных работ определяют различные виды резервов времени.
Общий (полный) резерв времени работы – это максимальное вре мя, за которое можно задержать начало работы или увеличить ее про должительность без изменения общего срока строительства. Величина Ri - j определяется разностью поздних и ранних сроков начала или окончания работы:
R i - j = T п.н i - j - T p.н i - j = T п.о i - j - T p.о i - j , (3.12)
R i - j = T п.о i - j - T p.н i - j – t i - j . (3.13)
Например, общий резерв времени для работы 4-6 составляет
или то же самое по событиям:
R i-j = T n j – T р i – t i-j ,
R 4-6 = T n 6 – T p 4 – t 4-6 = 19 – 2 - 4 = 13 (3.14)
Частный (свободный) резерв времени работы r i - j – максимальное количество времени, на которое можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения раннего начала последующих работ. Оно имеет место, когда в событие входят две работы и больше, и определяется разностью значений раннего начала последующей работы и раннего окончания данной работы.
Например, для работы 4-6 частный резерв
r i - j = T p .н j - k – T p . o i - j ,
r 4-6 = T p .н 6-8 - T p . o 4-6 = 16 – 6 = 10 , (3.15)
или в терминах событий
r i-j =T p j – T p i – t i-j (3.16)
Например, частный резерв времени для той же работы 4-6 составляет
R 4-6 = T p 6 - T p 6 – t 4-6 = 16 - 2 – 4 = 10.
Расчет сети непосредственно на графике. Расчет непосредственно на графике является самым простым и быстрым из ручных способов. При этом способе расчета строгое соблюдение правила кодирования событий не обязательно. Для записи результатов расчета принимают одну из форм, показанных на рис. 3.20.
Рис. 3.20. Варианты формы записи результатов расчета: а – по секторам; б – в виде дроби; 1 – раннее начало работы Б; 2 – позднее окончание работы А
Расчет на сети требует проведения только чисто механических операций без обращения к формулам (рис. 3.21). Порядок расчета:
1. У исходного события под чертой (в знаменателе) ставят нуль.
2. Для каждого следующего события в знаменателе записывают число, равное сумме значения раннего срока свершения предыдущего события и продолжительности работы. Так, для события 2 записывают 2 (0+2=2), для события 4 – 8 (2+6=8) и т. д.
3. Если в событие входит две работы или больше, то рассчитывают значение каждой из них, записывая над стрелкой, но в знаменатель переносят только максимальное значение из всех полученных. Например, в событие 5 входят работы 2-5 и 2-3 (через зависимость). Первый путь дает значение 2+3=5, второй – 2 + 5=7. Принимают максимальное 7 и записывают в знаменатель. В событие 11 входит четыре работы, из них записывают максимальное значение 39.
4. В завершающем событии значение, записанное в знаменатель, определяющее длину критического пути, переносят над чертой (в числитель) (рис. 3.22).
5. Значение числителей определяют, ведя расчет от завершающего события к исходному, вычитая из значения поздних сроков свершения конечного события продолжительность предшествующих им работ. В отличие от расчета ранних сроков (знаменатель), если из события выходят две работы или более, принимают не максимальное, а минимальное значение. Например, из события 7 выходят две работы со значениями 17 и 32; принимают минимальное 17.
6. Критический путь проходит через события, в которых значения в числителе и знаменателе совпадают. Полный и частный резерв времени для работ критического пути равен нулю. На рис. 3.23 дан сетевой график с расчетными параметрами и показан критический путь.
7. Общий резерв времени для любой работы определяют вычитанием из значения числителя (конечного события данной работы) суммы значений знаменателя (начального события данной работы) и ее продолжительности. Так, для работы 9-10 полный резерв равен 34 (числитель конечного события) - 21 (знаменатель начального события) - 4 (продолжительность работы) = 9. Резерв времени события равен разности значений числителя и знаменателя. Соответственно для события 10 полный резерв равен 34 (числитель) - 25 (знаменатель) =9.
8. Частный резерв для любой работы определяют вычитанием из значения знаменателя конечного события данной работы суммы значений знаменателя начального события и продолжительности данной работы. Для работы 4-8 частный резерв равен 17- (8+8) = 1.
Рис. 3.21. Расчет ранних начал работ сетевого графика
Рис. 3.22. Расчет поздних окончаний работ сетевого графика
Рис. 3.23. Сетевой график
Расчет сетевого графика табличным методом. При расчете СГ события кодируются в порядке возрастания (табл. 3). Сверху вниз заполняют три первые колонки. По порядку номеров рассматривают каждое событие. Из первого события выходит работа 1-2, записывают ее код в гр. 2, продолжительность, равную 2, – в гр. 3, а так как предшествующих ей работ нет, в гр. 1 ставим прочерк.
Из события 2 выходят три работы: 2-3 с продолжительностью 5 дн; 2-4 с продолжительностью 6 дн; 2-5 с продолжительностью 3 дн. Записывают коды работ и их продолжительность в гр. 2 и 3, затем рассматривают работы, входящие в событие 2. Такой оказывается работа 1-2, так как только эта работа в гр. 2 оканчивается цифрой 2. Начальным событием этой работы является событие 1. Номер 1 записывают в гр. 1 для всех трех работ и т. д. Зависимость вносят в таблицу с нулевой продолжительностью (3-5, 7-8).
Если работа имеет несколько предшествующих событий, то записывают все их коды. Работе 5-7 предшествуют работы 2-5 и 3-5, имеющие начальные события 2 и 3, их коды 2 и 3 записывают в гр. 1.
В гр. 4, 5 записывают расчет ранних параметров работы – раннее начало и раннее окончание. Расчет ведут от исходного события до завершающего. Для простых событий, в которые входит только одна работа, раннее начало этой работы равно раннему окончанию предшествующей работы. Раннее окончание работы равно сумме ее раннего начала плюс продолжительность данной работы, т. е. данные гр. 4 плюс данные гр. 3 заносят в гр. 5.
Раннее начало исходной работы 1 -2 равно 0 (гр. 4); раннее окончание работы 1-2 равно 2(0+2). Работе 2-3 предшествует работа 1-2, для которой раннее окончание равно 2 (гр. 5). А так как раннее окончание предшествующей работы равно раннему началу последующей, число 2 записывают в гр. 4 рассматриваемой работы 2-3. Прибавив к 2 продолжительность работы 5 записывают в гр. 5 число 7.
Таблица 3.
Расчет параметров сетевого графика
|
Резервы работ | |||||||||||||
|
Код начальных событий предшествую-щи работ h |
Код работы |
Прдолжительность работы t i-j |
начало работ |
окончание работ (гр. 3 + гр. 4) |
окончания работ |
общие (гр. 6 - гр. 4) (гр. 7 - гр. 5) |
Отметка критических работ |
||||||
Ранние начала работ 2-4 и 2-5 также равны 2, так как им предшествует то же самое событие 2. В гр. 4 против кода этих работ записывают 2, а в гр. 5 заносят соответственно 8(2+6) и 5(2+3). Работам 3-5 и 3-6 также предшествует только одна работа 2 -3 с цифрой 7 в гр. 5. Переносят 7 в гр.4 и т. д.
При рассмотрении сложного события, т. е. когда ему предшествуют две работы и более, раннее начало последующей работы будет равно наибольшему значению их ранних окончаний предшествующих работ. В настоящей таблице работы 5-7, 7-8, 7-11 и 8-9 имеют по две предшествующие работы (см. гр. 1). Например, работе 5-7 предшествуют работы 2-5 и 3-5 с начальными событиями 2 и 3.
Так как ранние характеристики работ, в том числе и работ 2-5 и 3-5, рассчитаны, остается только сравнить их величины. Раннее окончание работы 2-5 равно 5, а работы 3-5 равно 7. Большее из этих чисел 7 переносим в гр. 4 строки работы 5-7, после чего определяют раннее окончание этой работы: 7+5=12.
В гр. 6, 7 записывают расчеты поздних параметров работ – позднее начало и позднее окончание. Расчет ведут в обратном порядке, т. е. от завершающих работ до исходной снизу вверх. Для простого события, из которого выходит только одна работа, позднее окончание предшествующей работы равно позднему началу рассматриваемой работы. Позднее начало данной работы равно разности между ее поздним окончанием и продолжительностью.
Для сложного события, из которого выходит несколько работ, позднее окончание предшествующих работ равно меньшему из поздних начал рассматриваемых работ. Так, для завершающей работы 10-11, как и для других работ, оканчивающихся завершающим событием сети (событие 11), позднее окончание работ равно наибольшей величине из всех ранних окончаний работ, т. е. работе 9-11 (гр. 5). Это число записывают в гр. 7 работ 10-11 и 9-11. Из гр. 7 вычитают продолжительность работы (гр. 3) и получают позднее начало для работы (гр. 6) 10-11, равное 39-5=34, и для работы 9-11, равное 39-18=21.
Работа 9-10 кончается событием 10; таким событием начинается работа 10-11, ее значение 34 из гр. 5 переносят в гр. 7 нашей работы. Вычтя из гр. 7 значение гр. 3, записывают в гр. 6 число 30. В этом же порядке продолжают расчет снизу вверх. При расчете сложных событий отличие заключается в необходимости выбора минимального значения из нескольких возможных. Позднее начало исходной работы должно быть равно нулю.
Гр. 8 – общий резерв времени определяют как разность между значениями гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5. Так, для работы 1-2 полный резерв R| 1-2 =0(0-0=0) или 2-2=0; для работы 2-4 R 2 - 4 = 1(3-2=1) или 9-8=1 и т. д. до конца.
В гр. 9 записывают частный резерв времени, который определяют как разность между ранним началом последующей работы по гр. 4 и ранним окончанием данной работы по гр. 5.
Работы, не имеющие общего резерва, естественно, не имеют и частного резерва, поэтому в гр. 9 ставят 0 всюду, где 0 имеется в гр. 8. Первой работой, имеющей резерв, будет работа 2-4. Для определения раннего начала последующей работы надо найти в гр. 2 любую работу, начинающуюся с последней цифры кода нашей работы, т. е. с цифры 4. Такой будет работа 4-8, имеющая по гр. 4 раннее начало 8. Раннее окончание нашей работы по гр. 5 тоже равно 8, значит, частный резерв равен
r 2-4 = t p.н 4-8 – t p.o 2-4 = 8-8=0.
Последующей по отношению к работе 2-5 будет работа 5-7 со значением раннего начала 7. Раннее окончание работы 2-5 равно 5. Отсюда частный резерв r 2-5 = 7-5 = 2.
Гр. 10 – критический путь при табличном методе расчета лежит на работах, общий резерв времени которых равен 0. Отмечаем знаком "+" работы, лежащие на критическом пути. К таким работам относятся все, имеющие 0 в гр. 8. На графике критический путь должен представлять собой непрерывную последовательность работ от начального события до конечного.
Анализируя таблицу, мы получаем сведения о длине критического пути, ранних и поздних началах и окончаниях каждой из работ, общих и частных резервах времени.
Анализируемое на максимум множество значений соответствует количеству путей на графе к событию начала соответствующей работы. Должны быть выполнены все предшествующие работы.
2. Ранний срок окончания работы.
t ij рк = t ij рн + t ij (2.4.11.)
Срок раннего окончания работы равен сумме значений момента раннего начала и продолжительности работы.
3. Срок позднего окончания работы. Сроки позднего окончания работ рассчитываются при анализе графа от заключительного события, при известном значении величины критического пути.
(2.4.12.)
Анализируемое на минимум множество значений соответствует количеству путей на графе к событию окончания соответствующей работы.
4. Срок позднего начала работы.
t ij пн = t ij пк – t ij (2.4.13.)
Срок позднего окончания работы равен разности значений момента позднего окончания и продолжительности работы.
Резервы времени событий и работ.
Различают два вида резервов времени – общий (или полный) и частный.
Общий резерв времени (R i j ) – количество времени, на которое можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения критического пути.
Рис. 2.4.13., схема в.
R ij = t ij пн – t ij рн = t ij пк – t ij рк (2.4.14.)
Частный резерв (r ij) – количество времени на которое можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения начала последующей работы.
Рис. 2.4.13, схема г.
r ij = t jl рн – t ij рк (2.4.15.)
Рис. 2.4.13. Пояснения к понятиям ограничений и резервов времени.
Резервы времени на критическом пути равны нулю . В случае дефицита времени величина резерва принимает отрицательное значение.
Рассмотрим отличие между общими и частными резервами времени, проанализировав граф примера сетевой модели, изображенный в масштабе времени. Работы изображены в положении ранних начал. Работы 12 и 24 изображены сдвинутыми вплотную. Работа 12 частного резерва не имеет. Ее смещение приведет к изменению времени начала работы 24. Работа 24 имеет частный резерв в 2 единицы времени до момента окончания работы 34. Но если сместить работу 34, то у работы 12 появится резерв времени. Таким образом, у работ 12 и 24 имеются совместные ресурсы времени – общий резерв времени, который тоже равен 2 единицам.
Расчет сетевой модели предполагает определение ранних и поздних сроков выполнения работ, определение резервов времени и критического пути сетевой модели.
Порядок проведения расчетов представлен на схеме рис. 2.4.14.
Рис.
2.4.14. Порядок расчетов сетевой модели.
Расчет сетевой модели рассмотрим на примере уже использованного выше графа (рис.2.4.15.).
Рис.
2.4.15. Пример графа сетевой модели для
расчета табличным методом.
Таблица имеет 11 столбцов, наименования, которых приведены ниже. Количество строк соответствует числу работ графа. Работы размещаются по строкам в строго определенном порядке. На первой строке размещается работа с первым номером начального события и первым номером конечного события (12). Затем работы с первым номером начального события и другими номерами конечного события в порядке их возрастания (13). После этого берутся работы с следующим номером начального события (2) и т.д. Если начальное событие является общим для нескольких работ (3), то работы размещаются в порядке увеличения номера конечного события 34 и 35. Последняя строка должна содержать номер финального события.
Таблица расчета показателей времени сетевой модели
|
Предшеств. Работы |
Послед. Работы |
Продолжит. работы |
Сроки выполнения работ | |||||||
Столбцы 2 и 3 заполняются вспомогательными данными: кодами предшествующих и последующих работ. Эти данные будут необходимы для расчетов. Если работы начальные, то есть предшествующих им работ нет, или конечные, то есть последующих работ нет, то в соответствующих графах ставятся прочерки. Предшествующих и последующих работ может быть несколько в соответствии с количеством векторов, кончающихся или начинающихся в данном событии./
В столбце 4 размешают значения продолжительности работ.
Со столбца 5 начинаются расчетные данные. Расчет производится в два прохода по строкам таблицы. Первый проход по строкам сверху вниз, при котором рассчитываются ранние сроки работ, а второй проход по строкам снизу вверх, при котором рассчитываются поздние сроки работ.
Раннее начало работ, не имеющих предшествующих (в графе 2 – прочерк), может быть принято за 0, если не задано какое-либо другое значение. Раннее окончание работы определяется согласно формуле 7 и записывается в графу 6.
Раннее начало остальных можно определить по правилу ограничения предшествования (формула 4 с условием равенства, так как работа ожидания не задана). Таким образом, если рассматривается, например работа 24, у которой начальное событие 2, то время ее раннего начала равно времени раннего окончания работы 12, так как у нее конечное событие 2. Значение из графы 6 переписывается в графу 5. Коды предшествующих работ указаны в графе 2. Раннее окончание также определяется по формуле 7.
Если, в графе 2 указано, что некой работе предшествует более, чем одна работа (работе 46 предшествуют работы 24 и 34), то необходимо выбрать значение раннего начала из нескольких вариантов значения (9 – по времени окончания работы 24 или 11 – по времени окончания работы 34). Правило выбора соответствует формуле 6, то есть выбирается максимальное значение (в примере – 11). Ранние окончания определяются как указывалось выше.
Максимальное значение раннего окончания в графе 6 соответствует значению продолжительности критического пути (15).
Второй проход вдоль строк таблицы от работы, записанной в последней строке, к работе, записанной в первой строке, позволяет определить значения поздних показателей работ. Для работ, у которых нет последующих работ (в графе 3 – прочерк, в примере работы 46, 56) в графу позднего окончания (8) записывается значение продолжительности критического пути. Для этих работ значение позднего начала вычисляется по формуле 9.
Позднее окончание остальных работ можно определить по правилу ограничения предшествования (формула 4 с условием равенства, так как работа ожидания не задана). Таким образом, если рассматривается, например работа 35, у которой конечное событие 5, то время ее позднего окончания равно времени позднего начала работы 56, так как у нее конечное событие 5. Значение из графы 7 переписывается в графу 8. Коды последующих работ указаны в графе 3. Позднее начало также определяется по формуле 9.
Если, в графе 3 указано, что некой работе следует более, чем одна работа (работе 13 следуют работы 34 и 35), то необходимо выбрать значение позднего окончания из нескольких вариантов значения (4 – по времени начала работы 34 или 9 – по времени начала работы 35). Правило выбора соответствует формуле 8, то есть выбирается минимальное значение (в примере – 4). Позднее начало определяется, как указывалось выше, по формуле 9.
Значение общего резерва времени (столбец 9) рассчитывается по формуле 10, что соответствует разности значений в столбцах 7 и 5.
Значение частного резерва времени (столбец 10) рассчитывается по формуле 11. Для упрощения расчета можно воспользоваться следующей вспомогательной таблицей. В столбец 3 вспомогательной таблицы заносятся значения ранних начал для работ, указанных в столбце 2 (данные берутся из столбца 3 основной таблицы). Для тех случаев, когда последующих работ нет, в столбце 3 записывается значение критического пути.
Любая последовательность работ сетевого графика, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем .
Путь сетевого графика, в котором начальная точка совпадает с исходным событием, а конечная - с завершающим событием, называется полным.
Путь от исходного события до любого взятого предшествует данному событию. Предшествующий событию путь, имеющий наибольшую длину, называется максимальным предшествующим . Он обозначается L 1 (i), а его продолжительность t.
Путь, соединяющий любое взятое событие с завершающим, называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной называется максимально последующим и обозначается L 2 (i), а его продолжительность t.
Полный путь, имеющий наибольшую длину, называется критическим . Пути, отличные от критического, называются ненапряженными . Они имеют резервы времени.
Работы критического пути выделяются жирными линиями или двойными. Продолжительность критического пути считается главным параметром графика.
Рассмотрим алгоритм определения критического пути на сетевом графике, использующий алгоритм метода динамического программирования.
Упорядочим вершины графика по рангам и пронумеруем их с конца к началу. Это позволит совместить номера рангов с этапами попятного движения при отыскании условно-оптимальных управлений на последнем, двух последних и т.д. этапах. Нахождение критического пути разберем на примере сетевого графика, изображенного на рис. 10.7.
Согласно принципу оптимальности Беллмана , оптимальное управление на каждом этапе определяется целью управления и состоянием на начало этапа. Состояние системы - это события, лежащие на рангах. Для совершения конечного события Х 16 необходимо совершение предшествующих событий. Возможные состояния системы на начало последнего этапа работ - совершение событий Х 14 и Х 15. В кружках у точек Х 14 и Х 15 поставим максимальную продолжительность работ на последнем этапе: Х 14 5 , Х 15 7 . Найдем максимальную продолжительность работ на двух последних этапах. Состояние системы на начало предпоследнего этапа обусловлено событием Х 13. Максимальная продолжительность пути, ведущая из Х 13 к Х 16 равна .
Следовательно, в кружке у события Х 13 нужно поставить число 14 и т.д. Проводя этапы от конца к началу, узнаем длину критического пути t кр =96. Чтобы найти сам критический путь, процесс вычислений пройдем от начального события Х 1 к конечному Х 16 . Число 96 на первом этапе (от начала) мы получили, прибавив 16 к числу 80. Следовательно, критический путь на этом этапе будет равен (Х 1 , Х 3). Число 80 = 16 + 64. Следовательно, критический путь на втором этапе проходит через работу (Х 3 , Х 4) и т.д. На графике он выделен жирной линией:
X 1 - X 3 - X 4 - X 7 - X 8 - X 10 - X 11 - X 12 - X 13 - X 15 - X 16 .
Ранние и поздние сроки свершения событий. Резерв времени событий
Все пути, отличные по продолжительности от критического, располагают резервами времени. Разность между длиной критического пути и любого некритического называется полным резервом времени данного некритического пути и обозначается : 
.
Ранним сроком свершения события называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т.е. определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего событию , т.е.:
или 
Чтобы найти ранний срок совершения события j , нужно знать критический путь ориентированного подграфа, состоящего из множества путей, предшествующих данному событию j . Ранний срок исходного события равен нулю: t p (1)=0.
Поздним сроком
совершения события
называется самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием. Самый поздний из допустимых сроков свершения события в сумме с продолжительностью выполнения всех последующих работ должен не превышать длины критического пути. Поздний срок свершения события вычисляется как разность между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального из последующих за событием путей : 
Для событий, лежащих на критическом пути, ранний и поздний сроки свершения этих событий совпадают .
Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события : 
. Интервал называется интервалом свободы события . Резерв времени события показывает максимально допустимое время, на которое можно отодвинуть момент его свершения, не увеличивая критический путь.
Так как сумма 
определяет продолжительность пути максимальной длины, проходящего через это событие, то , т.е. резерв времени любого события равен полному резерву времени максимального пути, проходящего через это событие .
При расчете временных параметров вручную удобно пользоваться четырехсекторным способом. При этом способе кружок сетевого графика, обозначающий событие, делится на четыре сектора. В верхнем секторе ставится номер события; в левом - наиболее раннее из возможных время свершения события (); в правом - наиболее позднее из допустимых время свершения события ; в нижнем секторе - резерв времени данного события : 
.
Для вычисления раннего срока свершения событий: 
, применяем формулу 
, рассматривая события в порядке возрастания номеров, от начального к завершающему, по входящим в это событие работам.
Поздний срок свершения событий вычисляем по формуле 
, начиная с конечного события, для которого ( - номер конечного события), по выходящим из него работам.
Критические события имеют резерв времени равный нулю. Они и определяют критические работы и критический путь.
Пример 10.2 . Пусть задан сетевой график, изображенный на рис. 10.8.
Решение. Вычислим ранние сроки свершения событий :
Итак, завершающее событие может произойти лишь на 14-ый день от начала выполнения проекта. Это максимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта. Оно определяется самым длинным путем. Ранний срок свершения работы 6 =14 совпадает с критическим временем кр - суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути. Теперь можно выделить работы, принадлежащие критическому пути, возвращаясь от завершающего события к исходному. Из двух работ, входящих в событие 6 , , длина критического пути определила работы (5, 6), так как ( 5 + 56)=14. Поэтому работа (5, 6) - критическая и т.д. Работы (1, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) определили критический путь: кр = (1-3-4-5-6).
Вычислим теперь поздние сроки свершения событий . Положим . Воспользуемся методом динамического программирования. Все расчеты будем вести от завершающего события к начальному событию. Поздние сроки свершения событий равны:
Так как после события 5 для завершения проекта нужно выполнить работу (5, 6) длительностью 3 дня. Из события 4 выходят две работы, поэтому:
Резерв времени для события 2 равен: . Резервы остальных событий равны нулю, так как эти события критические.
Ранние и поздние сроки начала и окончания работ. Определение резервов времени работ. Полный резерв времени работ.
Событие, непосредственно предшествующее данной работе, будем называть начальным и обозначать , а событие, непосредственно следующее за ней, - конечным и обозначать . Тогда любую работу будем обозначать . Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ.
Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения события : .
Ранний срок окончания работы
равен сумме раннего срока свершения начального события и продолжительности этой работы: 
или 
.
Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события : .
Поздний срок начала работы равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и величиной этой работы:
Поскольку сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых и , то они могут иметь разного вида резервы времени.
Полный резерв времени работы - это максимальное время, необходимое для выполнения любой работы без превышения критического пути. Он вычисляется как разность между поздним сроком свершения конечного события и ранним сроком времени для выполнения самой работы: . Так как , то .
Таким образом, полный резерв времени работы - это максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.
Свободный резерв времени работы - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: .