Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения
первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,
где функции P(x,y)
і Q(x,y)
являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением
(ОДР).
Схема решения однородного дифференциального уравнения
1.
Сначала нужно применить подстановку y=z*x
, где z=z(x)
– новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2.
Производная произведения равна y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z
или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3.
Далее подставляем новую функцию у
и ее производную y"
(или dy
) в ДУ с разделяющимися переменными
относительно x
та z
.
4.
Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x
, поэтому z= y/х
, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения
.
5.
Если задано начальное условие y(x 0)=y 0
, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.
Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка
Пример 1.
Решение:
Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0
порядка
И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y
. При упрощении получают параметр "t"
в определенном степени k
, его и называют порядком уравнения. В нашем случае "t"
сократится, что равносильно 0-м
степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x
.
При этом не забываем выразить производную "y"
через производную новой переменной. По правилу части находим 
Уравнения в дифференциалах
примет вид
Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.
Проинтегрируем обе части ДУ
Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм 
По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему 
Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных 
Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений
. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.
Пример 2.
Найти интеграл дифференциального уравнения
Решение:
Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x 2
, как общий множитель
Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x
, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили
После этого ДУ записываем в дифференциалах
Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными
и интегрированием решаем его.
Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем в форме
Константа "C"
принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.
Пример 3.
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной.
Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной
Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x
.
Находим производную от y
С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде
Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными
Интегрированием обеих частей равенства
приходим к решению в виде логарифмов 
Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения
которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид
Здесь С
- постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.
Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.
На первом месте должна идти первая переменная в степени с некоторым коэффициентом. В нашем случае это
В нашем случае это. Как мы выяснили, значит здесь степень при первой переменной - сходится. И вторая переменная в первой степени - на месте. Коэффициент.
У нас это.
Первая переменная в степени, и вторая переменная в квадрате, с коэффициентом. Это последний член уравнения.
Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.
Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.
У нас две неизвестные и. Здесь сходится.
Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.
Сумма степеней равна.
Сумма степеней равна (при и при).
Сумма степеней равна.
Как видишь, все сходится!!!
Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.
Определи, какие из уравнений - однородные:
Однородные уравнения - уравнения под номерами:
Рассмотрим отдельно уравнение.
Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим
А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.
Как решать однородные уравнения?
Пример 2.
Разделим уравнение на.
У нас по условию y не может быть равен. Поэтому мы можем смело делить на
Произведя замену, мы получим простое квадратное уравнение:
Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:
Произведя обратную замену, получаем ответ
Ответ:
Пример 3.
Разделим уравнение на (по условию).
Ответ:
Пример 4.
Найдите, если.
Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на:
Произведем замену и решим квадратное уравнение:
Произведя обратную замену, получим ответ:
Ответ:
Решение однородных тригонометрических уравнений.
Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел ).
Рассмотрим такие уравнения на примерах.
Пример 5.
Решите уравнение.
Мы видим типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.
Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на, рассмотрим случай, когда
В этом случае уравнение примет вид: , значит. Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому, и на него можно смело делить:
Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:
Ответ:
Пример 6.
Решите уравнение.
Как и в примере, нужно разделить уравнение на. Рассмотрим случай, когда:
Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому.
Сделаем замену и решим квадратное уравнение:
Сделаем обратную замену и найдем и:
Ответ:
Решение однородных показательных уравнений.
Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения - посмотри соответствующий раздел ()!
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 7.
Решите уравнение
Представим как:
Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней. Разделим уравнение на:
Как можно заметить, произведя замену, мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль - всегда строго больше нуля):
По теореме Виета:
Ответ: .
Пример 8.
Решите уравнение
Представим как:
Разделим уравнение на:
Произведем замену и решим квадратное уравнение:
Корень не удовлетворяет условию. Произведем обратную замену и найдем:
Ответ:
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.
Решите задачу:
Найдите, если.
Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на, получим:
То есть, теперь нет отдельных и, - теперь переменной в уравнении является искомая величина. И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно, а сумма - это числа и.
Ответ:
Уравнения вида
называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна. Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:
И последующей заменой переменных: . Таким образом получаем уравнение степени с одной неизвестной:
Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:
Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти, сразу понимаем, что, поскольку на делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:
Решите уравнение.
Решение:
Видим здесь типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.
Но, прежде чем разделить на и получить квадратное уравнение относительно, мы должны рассмотреть случай, когда. В этом случае уравнение примет вид: , значит, . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: . Поэтому, и на него можно смело делить:
Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел . Если же непонятно, откуда взялось, тебе нужно вернуться еще раньше - к разделу .
Реши сам:
- Найдите, если.
- Найдите, если.
- Решите уравнение.
Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:
Решения:
Ответ: .
А здесь надо не делить, а умножать:
Ответ:
Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.
Так как здесь нам нужно делить на, убедимся сперва, сто он не равен нулю:
А это невозможно.
Ответ: .
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени и дальнейшей заменой переменных.
Алгоритм:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Классификация, основные понятия, элементы модели, расчет основных характеристик.
При решении задач рациональной организации торговли, бытового обслуживания, складского хозяйства и т.д. весьма полезной бывает интерпретация деятельности производственной структуры как системы массового обслуживания , т.е. системы в которой, с одной стороны, постоянно возникают запросы на выполнение каких-либо работ, а с другой - происходит постоянное удовлетворение этих запросов.
Всякая СМО включает четыре элемента : входящий поток, очередь, обслуживающее устройство, выходящий поток.
Требованием (клиентом, заявкой) в СМО называется каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы.
Обслуживание - это выполнение работы по удовлетворению поступившего требования. Объект, выполняющий обслуживание требований, называется обслуживающим устройством (прибором) или каналом обслуживания.
Временем обслуживания называется период, в течение которого удовлетворяется требование на обслуживание, т.е. период от начала обслуживания и до его завершения. Период от момента поступления требования в систему и до начала обслуживания называется временем ожидания обслуживания. Время ожидания обслуживания в совокупности с временем обслуживания составляет время пребывания требования в системе.
СМО классифицируются по разным признакам .
1. По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.
2. В зависимости от условий ожидания требованием начала обслуживания различают СМО с потерями (отказами) и СМО с ожиданием.
В СМО с потерями требования , поступившие в момент, когда все приборы заняты обслуживанием, получают отказ, они теряются для данной системы и никакого влияния на дальнейший процесс обслуживания не оказывают. Классическим примером системы с отказами является телефонная станция - требование на соединение получает отказ, если вызываемый абонент занят.
Для системы с отказами основной характеристикой эффективности функционирования является вероятность отказа или средняя доля заявок, оставшихся необслуженными.
В СМО с ожиданием требования , поступившее в момент, когда все приборы заняты обслуживанием, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает пока не освободится один из каналов. При освобождении очередного прибора одна из заявок, стоящих в очереди, немедленно принимается на обслуживание.
Для СМО с ожиданием основными характеристиками являются математические ожидания длины очереди и времени ожидания.
Примером системы с ожиданием может служить процесс восстановления телевизоров в ремонтной мастерской.
Встречаются системы, лежащие между указанными двумя группами (смешанные СМО ). Для них характерно наличие некоторых промежуточных условий: ограничениями могут быть ограничения по времени ожидания начала обслуживания, по длине очереди и т.п.
В качестве характеристик эффективности может применяться вероятность отказа как в системах с потерями (или характеристики времени ожидания) и в системах с ожиданием.
3. По дисциплине обслуживания СМО делятся на системы с приоритетом в обслуживании и на системы без приоритета в обслуживании.
Требования могут обслуживаться в порядке их поступления либо случайным образом, либо в зависимости от установленных приоритетов.
4. СМО могут быть однофазными и многофазными.
В однофазных системах требования обслуживаются каналами одного типа (например рабочими одной профессии) без передачи их от одного канала к другому, в многофазных системах такие передачи возможны.
5. По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые (когда источник требования находится вне системы) и замкнутые (когда источник находится в самой системе).
К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.
Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми . Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и т.п. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.
Методы и модели исследования СМО можно условно разбить на аналитические и статистические (имитационного моделирования процессов массового обслуживания).
Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции от параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО.
К сожалению, аналитическому решению поддается лишь довольно ограниченный круг задач теории массового обслуживания. Несмотря на постоянно ведущуюся разработку аналитических методов, во многих реальных случаях аналитическое решение либо невозможно получить, либо итоговые зависимости оказываются настолько сложными, что их анализ становится самостоятельной трудной задачей. Поэтому ради возможности применения аналитических методов решения приходится прибегать к различным упрощающим предположениям, что в некоторой степени компенсируется возможностью применения качественного анализа итоговых зависимостей (при этом, разумеется, необходимо, чтобы принятые допущения не искажали реальной картины процесса).
В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых поток требований является простейшим (пуассоновским ).
Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность поступления за время t, равное k требований задается формулой:
где λ - параметр потока (см. ниже).
Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия.
Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя несколько станков.
Стационарным называется поток , для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим через λ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени Δt зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.
Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за время t + Δt.
Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не определяет того, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на вероятность возникновения обрыва на других станках.
Важной характеристикой СМО является время обслуживания требований в системе. Время обслуживания является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и, особенно в практических приложениях, получил экспоненциальный закон. Для этого закона функция распределения вероятностей имеет вид:
F(t) = 1 – e -μt ,
т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой (1 – e -μt), где μ -параметр экспоненциального закона времени обслуживания требований в системе - величина, обратная среднему времени обслуживания, т.е. .
Рассмотрим аналитические модели СМО с ожиданием (наиболее распространенные СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие единицы заняты, становятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения обслуживающих единиц).
Задачи с очередями являются типичными в производственных условиях, например при организации наладочных и ремонтных работ, при многостаночном обслуживании и т.д.
Постановка задачи в общем виде выглядит следующим образом.
Система состоит из n обслуживающих каналов. Каждый из них может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ. Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.
Время обслуживания каждого требования t об является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.
Как отмечалось выше, СМО с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые.
Особенности функционирования каждой из этих двух видов систем накладывают свой оттенок на используемый математический аппарат. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (формулы Эрланга).
Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m - число обслуживаемых объектов).
В качестве основных критериев, характеризующих качество функционирования рассматриваемой системы, выберем: 1) отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе -коэффициент простоя обслуживаемого объекта; 2) отношение среднего числа незанятых обслуживающих каналов к их общему числу - коэффициент простоя обслуживаемого канала.
Рассмотрим расчет необходимых вероятностных характеристик (показателей качества функционирования) замкнутой СМО.
1. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число не превышает числа обслуживающих аппаратов n:
P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),
где 
λ - частота (интенсивность) поступления требований в систему от одного источника;
Средняя продолжительность обслуживания одного требования;
m - наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживающей системе одновременно;
n - число обслуживающих аппаратов;
Р 0 - вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны.
2. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов:
P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),
где 
3. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны, определяется из условия
следовательно,
4. Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):
5. Коэффициент простоя требования в ожидании обслуживания:
6. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты:
7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе (обслуживаемых и ожидающих обслуживания):
8. Коэффициент полного простоя требований на обслуживании и в ожидании обслуживания:
9. Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание:
10. Среднее число свободных обслуживающих аппаратов:
11. Коэффициент простоя обслуживающих аппаратов:
12. Вероятность того, что число требований, ожидающих обслуживания, больше некоторого числа В (вероятность того, что в очереди на обслуживание находится более В требований):
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана (Калужский филиал)
Кафедра высшей математики
Курсовая работа
по курсу «Исследование операций»
Имитационное моделирование системы массового обслуживания
Задание на работу: Составить имитационную модель и рассчитать показатели эффективности системы массового обслуживания (СМО) со следующими характеристиками:
Число каналов обслуживания n; максимальная длина очереди т;
Поток поступающих в систему заявок простейший со средней интенсивностью λ и показательным законом распределения времени между поступлением заявок;
Поток обслуживаемых в системе заявок простейший со средней интенсивностью µ и показательным законом распределения времени обслуживания.
Сравнить найденные значения показателей с результатами. полученными путем численного решения уравнении Колмогорова для вероятностей состояний системы. Значения параметров СМО приведены в таблице.
Введение
Глава 1. Основные характеристики CМО и показатели их эффективности
1.1 Понятие марковского случайного процесса
1.2 Потоки событий
1.3 Уравнения Колмогорова
1.4 Финальные вероятности и граф состояний СМО
1.5 Показатели эффективности СМО
1.6 Основные понятия имитационного моделирования
1.7 Построение имитационных моделей
Глава 2. Аналитическое моделирование СМО
2.1 Граф состояний системы и уравнения Колмогорова
2.2 Расчет показатели эффективности системы по финальным вероятностям
Глава 3. Имитационное моделирование СМО
3.1 Алгоритм метода имитационного моделирования СМО (пошаговый подход)
3.2 Блок-схема программы
3.3 Расчет показателей эффективности СМО на основе результатов ее имитационного моделирования
3.4 Статистическая обработка результатов и их сравнение с результатами аналитического моделирования
Заключение
Литература
Приложение 1
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО).
Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые называются каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.
Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.
Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.
В качестве показателей эффективности СМО используются:
Абсолютная пропускная способность системы (А), т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Относительная пропускная способность (Q), т.е. средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;
Вероятность отказа обслуживания заявки (
);Среднее число занятых каналов (k);
Среднее число заявок в СМО (
);Среднее время пребывания заявки в системе (
);Среднее число заявок в очереди (
);Среднее время пребывания заявки в очереди (
);Среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Среднее время ожидания обслуживания;
Вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.
СМО делят на 2 основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО не обслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.
Одним из методов расчета показателей эффективности СМО является метод имитационного моделирования. Практическое использование компьютерного имитационного моделирования предполагает построение соответствующей математической модели, учитывающей факторы неопределенности, динамические характеристики и весь комплекс взаимосвязей между элементами изучаемой системы. Имитационное моделирование работы системы начинается с некоторого конкретного начального состояния. Вследствие реализации различных событий случайного характера, модель системы переходит в последующие моменты времени в другие свои возможные состояния. Этот эволюционный процесс продолжается до конечного момента планового периода, т.е. до конечного момента моделирования.
Пусть имеется некоторая система, которая с течением времени изменяет свое состояние случайным образом. В этом случае говорят, что в системе протекает случайный процесс.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его состояния
можно заранее перечислить и переход системы из одного состояния в другое происходит скачком. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят мгновенно.Процесс работы СМО – это случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Случайный процесс называют марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени
вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
1.2 Потоки событий
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.
Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная:
.Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени
двух и более событий мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, т.е., если события появляются в нем поодиночке, а не группами.Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени
Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).
Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
- расчетно-кассовые узлы в банках, на предприятиях;
- персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
- станции технического обслуживания автомобилей; АЗС;
- аудиторские фирмы;
- отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
- телефонные станции и т. д.
Узлы |
Требования |
|
Больница |
Санитары |
Пациенты |
Производство |
||
Аэропорт |
Выходы на взлетно-посадочные полосы Пункты регистрации |
Пассажиры |
Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.
Рис. 1
- Генератор заявок – объект, порождающий заявки: улица, цех с установленными агрегатами. На вход поступает поток заявок (поток покупателей в магазин, поток сломавшихся агрегатов (машин, станков) на ремонт, поток посетителей в гардероб, поток машин на АЗС и т. д.).
- Диспетчер – человек или устройство, которое знает, что делать с заявкой. Узел, регулирующий и направляющий заявки к каналам обслуживания. Диспетчер:
- принимает заявки;
- формирует очередь, если все каналы заняты;
- направляет их к каналам обслуживания, если есть свободные;
- дает заявкам отказ (по различным причинам);
- принимает информацию от узла обслуживания о свободных каналах;
- следит за временем работы системы.
- Очередь – накопитель заявок. Очередь может отсутствовать.
- Узел обслуживания состоит из конечного числа каналов обслуживания. Каждый канал имеет 3 состояния: свободен, занят, не работает. Если все каналы заняты, то можно придумать стратегию, кому передавать заявку.
- Отказ от обслуживания наступает, если все каналы заняты (некоторые в том числе могут не работать).
Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие:
терминатор – уничтожитель трансактов;
склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;
счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;
менеджер – распорядитель ресурсов;
Классификация СМО
Первое деление (по наличию очередей):
- СМО с отказами;
- СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.
В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».
Итак, например, рассматриваются следующие СМО:
- СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
- СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.
Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.
Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.
Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.
Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.
Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.
По количеству каналов СМО делятся на:
- одноканальные;
- многоканальные.
Характеристики системы массового обслуживания
Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:
- входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
- дисциплина очереди;
- механизм обслуживания.
Входной поток требований
Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.
А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;
E(A) – среднее (МО) время поступления;
λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;
Характеристики входного потока:
- Вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание.
- Количество требований в каждом очередном поступлении для групповых потоков.
Дисциплина очереди
Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.
Очередь имеет имя.
Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
- первым пришел – первый обслуживаешься;
first in first out (FIFO)
самый распространенный тип очереди.
Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.
Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.
Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.
Действия со списком:
- вставить в хвост;
- взять из начала;
- удалить из списка по истечении времени ожидания.
- пришел последним - обслуживаешься первым LIFO (обойма для патронов, тупик на железнодорожной станции, зашел в набитый вагон).
Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;
- случайный отбор заявок;
- отбор заявок по критерию приоритетности.
Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.
Характеристики очереди
- ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»);
- длина очереди.
Механизм обслуживания
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:
- количество каналов обслуживания (N );
- продолжительность процедуры обслуживания (вероятностное распределение времени обслуживания требований);
- количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры (для групповых заявок);
- вероятность выхода из строя обслуживающего канала;
- структура обслуживающей системы.
Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».
S i – время обслуживания i -го требования;
E(S) – среднее время обслуживания;
μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.
Коэффициент использования СМО
N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.
ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы.
Структура обслуживающей системы
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани .
Пример. Кассы в магазине.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Пример. Медицинская комиссия.
Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.
Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :
- вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
- мощностью источника требований;
- вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
- конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
- количеством и производительностью обслуживающих каналов;
- дисциплиной очереди.
Основные критерии эффективности функционирования СМО
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
- вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки (Р обсл =К обс /К пост);
- вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки (P отк =К отк /К пост);
Очевидно, что Р обсл + P отк =1.
Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина
Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.
D i – задержка в очереди требования i ;
W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i .
(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;
(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).
Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;
L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.
Тогда показатели (если существуют)
(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;
(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.
Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания.
Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.
К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения
Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.
Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:
- абсолютная пропускная способность системы – А=Р обсл *λ;
- относительная пропускная способность системы –
Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле:
.
В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).
Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.