Потоки в сетях
Задача о максимальном потоке
Пусть задана сеть, состоящая из множества вершин Е и множества дуг, соединяющих некоторые упорядоченные пары вершин, взятых из Е. Будем предполагать, что она является симметрическим графом, т. е. если дуга () входит в сеть, то в нее входит и симметричная дуга (), хотя реально такой дуги может и не быть. Для определенности присвоим вершинам сети следующие номера: . Каждая вершина характеризуется интенсивностью . Вершины, для которых , назовем источниками, вершины, для которых , - стоками, а остальные - промежуточными. По путям сети направляются некоторые потоки - однородное вещество (газ, жидкость) или транспорт - из источников в стоки. Каждой дуге () сети поставлено в соответствие число , называемое пропускной способностью дуги. Под пропускной способностью дуги понимается максимальный поток, который она может пропустить за единицу времени. Пусть , и для остальных вершин, тогда - единственный источник, - единственный сток, а - промежуточные вершины сети.
Ставится задача определить для заданной сети максимальную величину потока из источника в сток . Под потоком в сети из источника в сток будем понимать совокупность потоков {} по всем дугам сети, где - поток по дуге (), 
, равный количеству перемещаемой по ней субстанции в единицу времени. Математически задача о максимальном потоке формулируется следующим образом: найти неотрицательные значения для всех , максимизирующие
(3.9)
при ограничениях:
(3.11)
Условие (3.9) отражает величину максимального потока, который равен количеству вещества, вытекающего из источника, или притекающего в сток. Условия (3.10) означают, что поток по каждой дуге должен быть неотрицательным и не превышать ее пропускной способности; из условия (3.11) следует, что количество вещества, притекающего в любую промежуточную вершину, равно количеству вещества, вытекающего из нее.
До сих пор мы рассматривали сети с единственным источником и стоком. На практике, однако, число источников и стоков может быть произвольным. Покажем, что с помощью незначительных изменений топологии задачи такого типа могут быть сведены к уже рассмотренным.
Проиллюстрируем это на примере.
Рассмотрим сеть, состоящую из трех источников и двух стоков (Рис. 3.10). Пусть, для определенности, данная сеть описывает следующую задачу.
Места добычи нефти расположены в географических пунктах . Из мест добычи нефть транспортируется на нефтеперерабатывающие заводы через некоторые промежуточные пункты . Совокупность пунктов с соединяющими их транспортными магистралями изобразим в виде сети на Рис. 3.10, дуги соответствуют транспортным магистралям, а вершины - отдельным пунктам (местам добычи, заводам, станциям перекачки или железнодорожным станциям). Пропускные способности транспортных магистралей приписаны дугам сети. Чтобы определить, какое максимальное количество нефти можно транспортировать из мест добычи на нефтеперерабатывающие заводы, необходимо расширить сеть, добавив один фиктивный источник и один фиктивный сток (фиктивные дуги на рисунке нанесены штриховыми линиями).
Очевидно, что величину потока как в исходной сети, так и в расширенной сети определяют пропускные способности дуг исходной сети. Таким образом, задача о максимальном потоке из множества источников во множество стоков равносильна задаче о максимальном потоке из единственного источника в единственный сток.
Рис. 3.10. Введение фиктивного источника и стока
Пример 3.
Приведем пример решения задачи о максимальном потоке в Excel. Рассмотрим некоторую транспортную сеть (Рис. 3.11.). Предположим также, что транспортные потоки могут идти в обоих направлениях некоторых дуг (очевидно, данный случай является более общим и сложным для решения, чем случай односторонних транспортных потоков). На рисунке обозначены максимальные пропускные способности в обоих направлениях: например из пункта 3 в пункт 6 может быть транспортирован поток интенсивностью 4 единицы, и такой же поток – из пункта 6 в пункт 3 (нули у окончаний некоторых дуг означают невозможность транспортировки в соответствующем направлении). Требуется определить максимальную пропускную способность сети в целом, т.е. максимальное значение потока .
Рис. 3.11. Сетевой график примера 3.
Решение.
Так как предполагается, что для каждого промежуточного узла сети полный входящий поток должен быть равен полному выходящему потоку, то задача может быть сформулирована следующим образом:
Максимизировать при ограничениях:
Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 3.12.
Рис. 3.12. Данные для решения задачи о максимальном потоке
Диапазон ячеек A6:Q6 отведем под расчетные значения переменных. В ячейки A8:A14, а также в целевую ячейку F13 введем следующие формулы
| C6+D6+I6-E6-H6-J6 |
|
| G6+N6+H6+K6-L6-I6-M6-P6 |
|
| F13 (целевая) |
После запуска Поиска решения введем следующие ограничения:
В окне диалога Поиска решения в для диапазона изменяемых ячеек укажем A6:Q6.
В результате решения получим ответ: ; потоки в дугах представлены ниже
| Пункты (узлы) | Пункты (узлы) | ||
Следует отметить, что данная задача имеет неединственное оптимальное решение, то есть при максимальном потоке в 17 единиц может иметь место различное распределение потоков по дугам.
Сумма потоков через дуги, инцидентные v , равна сумме потоков через дуги, инцидентные w ; эта сумма называется величиной потока. Будем в первую очередь интересоваться потоками, имеющими наибольшую возможную величину, - так называемыми максимальными потоками. В общем случае сеть может иметь несколько различных максимальных потоков, однако их величины должны совпадать. (4)
Изучение максимальных потоков через сеть N = (V,D,a) тесно связано с понятием разреза, т.е. такого множества A дуг орграфа D, которое обладает тем свойством, что любая простая цепь из v в проходит через дугу, принадлежащую A. Пропускной способностью разреза называется сумма пропускных способностей принадлежащих ему дуг. Разрезы, обладающие наименьшей возможной пропускной способностью, называются минимальными разрезами.
Величина любого потока не превышает пропускной способности любого разреза, и, следовательно, величина любого максимального потока не превышает пропускной способности любого минимального разреза. Однако сразу не ясно, что два последних числа всегда равны между собой; Этот результат был получен американскими математиками Фордом и Фалкерсоном в 1955 году и назван теоремой о максимальном потоке и минимальном разрезе.
Теорема (о максимальном потоке и минимальном разрезе) . Во всякой сети величина любого максимального потока равна пропускной способности любого минимального разреза.
Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе позволяет проверять, максимален данный поток или нет, но только для достаточно простых сетей. Разумеется, на практике приходится иметь дело с большими и сложными сетями, и в общем случае трудно найти максимальный поток простым подбором. Опишем один алгоритм нахождения максимального потока в любой сети с целочисленными пропускными способностями.
Шаг 1 . Сначала подберем поток, обладающий ненулевой величиной (если такой поток существует). Например, если N – сеть, представленная на рис. 29.3, то подходящим будет поток, изображенный на рис. 29.4. Стоит отметить, что чем больше величина выбранного нами начального потока , тем проще будут последующие шаги.
Шаг 2 . Исходя из N, строим новую сеть N’ путем изменения направления потока на противоположное. Более точно, любая дуга a, для которой(a) = 0, остается в N’ со своей первоначальной пропускной способностью, а любая дуга a, для которой , заменяется дугой a с пропускной способностью и противоположно направленной дугой с пропускной способностью (a). Сеть N’ в нашем примере показана на рис. 29.5. Вершина v уже не является источником,а – стоком.
Шаг 3 . Если в сети N’ мы сможем найти ненулевой поток из v в, то его можно добавить к первоначальному потокуи получить в N новый поток’большей величины. Теперь можно повторить шаг 2, используя при построении сети N’ новый поток’ вместо. Повторяя эту процедуру, мы в конце концов придем к сети N’ , не содержащей ненулевых потоков; тогда соответствующий потокбудет максимальным потоком. Например, на рис. 29.5 существует ненулевой поток, в котором потоки через дуги (v,u ), (u,z ), (z,x ), (x,y ) и (y, ) равны единице, а потоки через остальные дуги равны нулю. Добавляя этот поток к потоку на рис. 29.4, получим поток, изображенный на рис. 29.6; повторяя шаг 2, легко показать, что это и есть максимальный поток.
Используемая литература:
(1) http://pgap.chat.ru/zap/zap264.htm#0
(2) Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы матроиды, алгоритмы
(3) Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети.
(4) Уилсон Р. Введение в теорию графов
При обмене информацией между абонентами вычислительной сети, при параллельных вычислениях на многомашинном комплексе, когда решение задачи распределено между несколькими процессорами, при использовании в вычислительной сети общей памяти, когда каждый процессор получает ограниченный доступ к общим модулям памяти, возникает задача передачи максимального объема информации в заданный отрезок времени.
При работе транспортной системы, когда осуществляется обмен транспортными единицами между узлами сети возникает задача передачи максимального числа транспортных единиц в заданный отрезок времени.
При передаче энергии в электрических сетях, жидкости в трубопроводных системах возникает задача распределения и передачи максимального объема энергии или вещества в заданный отрезок времени.
Особенностью сети является наличие вершины-истока и вершины-стока, ориентация всех отрезков линий в графе и отсутствие петель и кратных дуг.
Объем информации, энергии или вещества, передаваемый в сети от узла x i к узлу x j , называют потоком и обозначают j ij .
Наибольший поток, который может пропустить дуга (x i , x j), называют пропускной способностью дуги и обозначают с ij .
Очевидно, что 0£j ij £ с ij .
В вершине-истоке х 0 величина потока есть сумма потоков по всем дугам, исходящим из вершины х 0 , т.е. j=å i j 0i + .
В вершине-стоке х k величина потока есть сумма потоков по всем дугам, заходящим в вершину х k , т.е. j=å i j ik - .
Для любой промежуточной вершины х i сумма исходящих потоков равна сумме заходящих потоков, т.е. å j j ij + =å k j ik - .
На рис. 3.29 показана условная сеть, содержащая вершину-исток х 0 , вершину-сток х k и две промежуточные вершины х i и х j . На каждой дуге в круглых скобках приведены обозначения потока и пропускной способности соответствующей дуги. При этом поток, подводимый к сети равен j=(j 0i +j 0j), поток отводимый от сети равен j=(j ik +j jk), поток из вершины х i в вершину х j равен j ij . Для вершины х i имеем j 0i =(j ij +j ik), для вершину х j - j jk =(j 0j +j ij).
Если множество вершин графа разбить на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит вершину-исток, а другое - вершину-сток, то множество дуг, соединяющих эти два множества, формируют разрез А i , пропускная способность которого равна сумме пропускных способностей дуг. Таких разрезов может быть несколько.
В таблице приведены четыре разреза для сети на рис. 3.29
| Разрез | пропускная способность дуги Сij | пропускная способность | ||||
| С 0 i | С 0 j | С i j | С i k | С jk | разреза С(A i) | |
| А 1 | С 0i + С 0j | |||||
| А 2 | С 0j +С ij +С ik | |||||
| А 3 | С ik +С jk | |||||
| А 4 | С 0i +С ij +С jk |
Например, для разреза А 1 имеем Х’={x 0 } и X\Х’={х i , х j , х k }, для А 2 - Х’={х 0 , х i } и X\Х’={х j , х k }, для А 3 - Х’={х 0 , х i , x j } и X\Х’={х k }, для А 4 - Х’={х 0 , х j } и X\Х’={x i , х k }.
Очевидно, что величина максимального потока ограничена минимальной пропускной способностью разреза, т.е.
j max =min{С(A i)}
Итак, максимальный поток в сети с заданными пропускными способностями дуг можно находить, вычисляя пропускные способности разрезов и выбирая среди них - минимальную. Однако при таком решении остается неизвестным распределение потока по дугам.
Для поиска распределения потока по дугам разработано несколько алгоритмов. Особое место среди них занимает алгоритм Форда-Фалкерсона, суть которого состоит в разметке вершин графа.
Метка вершины графа указывает на возможность изменения потока через данную вершину и указывает источник этого изменения. На рис. 3.30 дан фрагмент сети, объясняющий суть алгоритма.
Если по дуге (х s , х i) возможно увеличение потока (j si < c si), то вершину х i следует пометить +s , что указывает на источник увеличения потока.
Если по дуге (х i , х j) возможно увеличение потока j ij < c ij , то вершину х j пометить +i . Это означает, что приращение потока Dj si пойдет по направлению дуги (х i , х j) от вершины х s .
Если насыщена дуга (х s , х i), т.е. j si =c si , то метку +s нельзя ставить у вершины х i . Следовательно, если вершина x i не помечена, то у вершины x j нельзя ставить метку +i.
Если по дуге (х t , х j) возможно увеличение потока, т.е. j tj < c tj , то вершину х j следует пометить +t , что указывает на источник увеличения потока.
Если вершина х j не имеет пометки +i , то для увеличения потока в фрагменте сети, следует уменьшить поток в дуге (х i , х j) и направить его далее по другим дугам фрагмента на сток. Для указания этого у вершины x i ставят метку – j. Это означает что при общем приращении потока на участке (х i , х j) он должен быть уменьшен на величину Dj tj .
Если насыщена дуга (х t , х j), т.е. j tj =c tj , то метку +t нельзя ставить у вершины х j . Следовательно, если вершина x j не помечена, то у вершины x i нельзя ставить метку -j.
Если насыщены обе дуги (х s , х i) и (х t , х j), что означает невозможность приращения потока Dj si и Dj tj , то нельзя ставить метки у вершин x i и x j и продолжения разметки следующих вершин сети до вершины-стока.
Так достигают максимального значения потока от вершин-истоков х s и х t по дугам к вершинам - стокам х i и х j .
Алгоритм Форда-Фалкерсона:
шаг 1 : присвоить всем вершинам графа индексы 0,1,2,...k; где 0-индекс вершины-истока графа, k -индекс вершины-стока графа;
шаг 2 : присвоить начальной вершине метку “0”;
шаг 3 : все непомеченные вершины х i , в которые идут ненасыщенные дуги из помеченной вершины х s , пометить индексом “+s”, что свидетельствует о возможности увеличения потока из вершины х s по дуге (х s , х i);
шаг 4 : все непомеченные вершины х i , из которых идут дуги (насыщенные или ненасыщенные) в помеченную вершину х j , пометить индексом “-j”, что свидетельствует о возможности уменьшения потока в вершину х j по дуге (х i , х j);
шаг 5 : если в результате этих операций окажется помеченной вершина-сток x k , то между начальной и конечной вершинами сети найдется маршрут, все вершины которого различны и с точностью до знака помечены индексами предыдущих вершин, формирующих переход, по которому можно увеличить поток, и перейти к шагу 6, иначе конец.
шаг 6 : увеличить поток в маршруте, сформированном на шаге 5, на единицу и перейти к шагу 3.
Признаком окончания работы алгоритма является невозможность пометки вершины-стока.
Пример : На рис. 3.31 дан граф. Найти величину максимального потока и его распределение в сети.
На каждой дуге (х i , х j) указаны величина потока и пропускная способность - (j ij , c ij).
Все расчеты сведены в две таблицы таблица а)
| х i | шаг итерации | ||||||
| х 0 | |||||||
| х 1 | +0 | +0 | +0 | +0, -3 | -3 | - | - |
| х 2 | +0;+3 | +0;+3 | +0 | +0 | +0 | +0 | - |
| х 3 | +0;+1 | +0;+1 | +0;+1 | +0 | +0 | - | - |
| х k | +1;+2;+3 | +1;+2 | +1;+2 | +1;+2 | +1,+2 | +2 | - |
таблица b)
| (х i , х j) | С ij | шаг итерации | ||||||
| (х 0 , х 1) | ||||||||
| (х 0 , х 2) | ||||||||
| (х 0 , х 3) | ||||||||
| (х 1 , х 3) | ||||||||
| (х 1 , х k) | ||||||||
| (х 2 , х k) | ||||||||
| (х 3 , х 2) | ||||||||
| (х 3 , х k) |
В таблице а) на каждом шаге итерации для каждой вершины графа указаны возможные метки, а в таблице b) даны приращения потока по дугам (х i , х j). Полужирным шрифтом выделены насыщенные дуги графа
В результате выполнения первого шага итерации возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0);
(х k , х 3 , х 0); (х k , х 3 , х 1 , х 0)}. Пусть выбран n 0k =(х k , х 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((х 0 , х 3), (х 3 , х k)).
На втором шаге возможны те же переходы. Пусть выбран переход n 0k =(х k , х 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m={(х 0 , х 3), (х 3 , х k)}. При этом дуга (х 3 , х k) оказывается насыщенной, т. е. j 3k =c 3k =2.
На третьем шага возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 0); (х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0)}. Пусть выбран n 0k =(х k , х 2 , х 3 , х 1 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 1), (x 1 , x 3), (x 3 , x 2), (x 2 , x k)). При этом оказывается насыщенной дуга (х 3 , х 2), т. е. j 32 =c 32 =1.
На четвертом шаге возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , х 0); (х k , х 2 , х 0)}. Пусть выбран n ok =(х k , х 1 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 1), (x 1 , x k)),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 1), т. е. j 01 =c 01 =2.
На пятом шаге возможны переходы: n 0k ={(х k , х 1 , -x 3 , х 0); (х k , х 2 , х 0)}. Пусть выбран n ok =(х k , х 1 , -x 3 , х 0). Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 3), (x 3 , x 1), (x 1 , x k))),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 3), т. е. j 03 =c 03 =3.
На шестом шаге возможен только один переход n 0k =(х k , х 2 , х 0), так как дуги (x 0 , x 1) и (x 0 , x 3) насыщены. Приращение потока на Dj=1 проходит по маршруту m=((x 0 , x 2), (x 2 , x k)),. При этом оказывается насыщенной дуга (х 0 , х 2), т. е. j 02 =c 02 =1.
На седьмом шаге невозможны ни один переход от x o к x k , так как дуги (x 0 , x 1), (x 0 , x 3) и (х 0 , х 2) насыщены и невозможно поставить метки у вершин x 1 , x 2 , и x 3 .
Транспортная задача
Может возникать в физике, экономике и т.д.
На отдельные компоненты транспортной сети
(сеть железнодорожных, автомобильных и т.д.
путей; сеть трубопроводов и т.д.) наложены
ограничения – их максимально допустимая
нагрузка.
Необходимо определить максимально
возможное количество пассажиров, товара,
продукта и т.д., которое можно провезти по этой
сети и каким образом.
Мы построим графовую дискретную модель
этой транспортной задачи и решим ее в этой
модели.
работая в отделе статистического управления Военновоздушных сил США в Вашингтоне, впервые решил
задачу о максимальном потоке в ходе подготовки
воздушного моста во время блокады Западного Берлина.
В 1951 году Джордж Данциг впервые сформулировал
задачу в общем виде. В 1955 году, Лестер Форд и
Делберт Фалкерсон впервые построили алгоритм,
специально предназначенный для решения этой задачи.
Их алгоритм получил название алгоритм ФордаФалкерсона.
В 2010 году исследователи Джонатан Кёлнер и
Александер Мондры из МТИ вместе со своими
коллегами Дэниелем Спилманом из Йельского
университета и Шень-Хуа Тенем из ЮжноКалифорнийского университета продемонстрировали
очередное улучшение алгоритма.Дан ориентированный граф
(транспортная сеть) G=(V, E), вершина
графа s (источник) и вершина t (сток).
Каждой дуге (i, j) приписана некоторая
пропускная способность с(i,j) 0 (без
потери общности считаем её
целочисленной величиной),
определяющая максимальное значение
потока, который может протекать по
данной дуге.Потоком
в
сети
называют
целочисленную функцию f(i, j), заданную
на множестве дуг E и обладающей
следующими свойствами:
1. Ограничение потока пропускной
способностью
Для любой дуги (i, j) E выполняется
неравенство f(i, j) c(i, j).2. Сохранение потока
Для любой вершины q V,
выполняется равенство
q s
и
q t
f (i, q) f (q, j)
i V
(i , q) E
j V
(q , j) E
Т. е. сумма потока, заходящего в q, равна
сумме потока, выходящего из q (поток без
потерь и накоплений)Требуется определить значение
максимального потока, который
можно пропустить от источника s к
стоку t, и его распределение по дугам.Пример
У компании Lycky Puck в Ванкувере есть фабрика
(источник s), производящая хоккейные шайбы, а в
Виннипеге – склад (сток t), где эти шайбы хранятся.
Компания арендует места на грузовиках других фирм
для доставки шайб с фабрики на склад. Поскольку
грузовики ездят по определенным маршрутам (ребрам)
между городами (вершинами) и имеют ограниченную
грузоподъемность, компания Lycky Puck может
перевозить не более c(u,v) ящиков в день между каждой
парой городов u и v. Компания Lycky Puck не может
повлиять на маршруты и пропускную способность. Ее
задача – определить, какое наибольшее количество
ящиков в день можно отгружать, и затем производить
именно такое количество, поскольку не имеет смысла
производить шайб больше, чем можно отправить на
склад.Методы решения задачи
Линейное программирование
Представить задачу о максимальном потоке как задачу
линейного программирования. Переменными являются
потоки по рёбрам, а ограничениями - сохранение потока
и ограничение пропускной способности.
Алгоритм Форда-Фалкерсона
Найти любой увеличивающий путь. Увеличить поток по
всем его рёбрам на минимальную из их остаточных
пропускных способностей. Повторять, пока
увеличивающий путь есть. Алгоритм работает только
для целых пропускных способностей.
10.
Пример 1Дадим формулировку задачи о максимальном
потоке в терминах линейного программирования.
Пусть ХKM - объем перевозок из пункта К в пункт М.
К = 0,1,2,3, М = 1,2,3,4, причем перевозки возможны
лишь в пункт с большим номером. Значит, всего
имеется 9 переменных ХKM, а именно, Х01 , Х02 , Х03 , Х12
, Х13 , Х14 , Х23 , Х24 , Х34 .
s=0
t=4
11.
Задача линейного программирования,нацеленная на максимизацию потока, имеет вид:
F → max ,
Х01 +Х02 +Х03 =F
-Х01 +Х12 +Х13 +Х14 = 0
-Х02 -Х12 +Х23 +Х24 = 0
-Х03 -Х13 -Х23 +Х34 = 0
-Х14 -Х24 -Х34 = - F
Х01 ≤ 2
Х02 ≤ 3
Х03 ≤ 1
Х12 ≤ 4
Х13 ≤ 1
Х14 ≤ 3
Х23 ≤ 1
Х24 ≤ 2
Х34 ≤ 2
ХКМ ≥ 0 , К, М = 0, 1, 2, 3, 4
F≥0.
12.
Разрезомназывают множество дуг,
удаление которых из сети приводит к
«разрыву» всех путей, ведущих из s в t.
Пропускная способность разреза – это
суммарная пропускная способность дуг, его
составляющих.
!!! Найти разрезы в примере 1
13.
Теорема Л. Форда и Д. Фалкерсона:Величина каждого потока из s в t не
превосходит
пропускной
способности
минимального разреза, разделяющего s и t,
причем поток, достигающий этого значения,
существует.
(Величина
максимального
потока
в
транспортной
сети
равна
величине
минимального разреза в ней)
!!! Найти минимальный разрез в примере 1
14.
С алгоритмической точки зрения этатеорема малопродуктивна.
Генерация всех подмножеств дуг и
проверка,
является
ли
очередное
подмножество разрезом – «лобовое решение»,
приводит к высокой сложности алгоритма.
Кроме того, данный факт не помогает
найти способ распределения максимального
потока по дугам.
15.
Алгоритм Форда-Фалкерсона«Техника меток» Л. Форда и Д. Фалкерсона
заключается в последовательном
(итерационном, поиском в ширину) построении
максимального потока путем поиска на каждом
шаге увеличивающей цепи, то есть пути, по
которому можно увеличить поток.
При этом узлы (вершины графа)
специальным образом помечаются. Отсюда и
возник термин «метка».
16.
Алгоритм Форда-ФалкерсонаЧто представляет из себя метка
вершины?
первая цифра в метке – это номер
вершины, из которой идет поток в
данную вершину;
вторая цифра в метке – численное
значение потока, который можно
передать в данную вершину.
17.
Алгоритм Форда-ФалкерсонаНа каждом шаге алгоритма вершины сети
могут находиться в одном из трех состояний:
вершина не имеет метки;
вершине присвоена метка, и она не
просмотрена, т. е. не все смежные с ней
вершины обработаны;
вершине присвоена метка, и она
просмотрена.
18.
Алгоритм Форда-ФалкерсонаКак только вершина-сток становится
помеченной, это говорит о том, что
очередная увеличивающая поток цепочка
найдена, итоговый суммарный поток
необходимо увеличить на величину потока
найденной цепочки, и перейти к
следующему шагу алгоритма.
19.
Алгоритм Форда-ФалкерсонаДуга e=(u, v) сети является допустимой
дугой из u в v относительно потока f, если
e=(u, v) и f(e)
e=(v, u) и f(e)>0 (дуги второго типа,
обратные).
Второе условие говорит о том, что
допустимыми являются и дуги, входящие в
вершину u, по которым «уже пропущен
ненулевой поток». Крайний случай: если матрица вся одного цвета - ответ 0.
Добавим фиктивные исток и сток. От истока ко всем белым вершинам проведем ребра, весом в B (цена перекраски в черный). От черных вершин ко стоку проведем ребра, весом в W (цена перекраски в белый). И между всеми соседними вершинами (будь они одного или разных цветов) - ставим ребро весом в G (серая линия). Величина максимального потока будет ответом на задачу.
Источник: Всеукраинская школьная олимпиада по информатике, 2007, День 1
Решение
Все, что нам надо - это разделить каждую вершину на две, и между ними поставить ребро, весом в ограничение пропускной способности данной вершиныРешение
В классической задаче о минимальном разрезе удалять нужно ребра. Не проблема! Разобьем вершины на 2, и поставим между ними ребро, весом в 1. Тогда ответ к задаче - нахождение минимального разреза в графе (что и есть максимальным потоком).Источник: Харьковская зимняя школа по программированию, 2009, День 3
После перехода по автомату из i в j по ребру k, стираются все переходы из i по ребру k, а также все переходы в j по ребру k. Требуется вывести количество путей из A в B по такому автомату.
Решение
Задача сводится к нахождению максимального количества путей, причем из одной вершины не выходят более одного ребра одного цвета. Сведем задачу к нахождения максимального потока. Для каждой вершин создадим k+1 вершину в перестроенной сети. Первая вершина будет входом, остальные вершины будут представлять цвета. Из вершины входа проведем по ребру пропускной способностью 1 в каждую из k вершин, соответствующих цвету. Из вершины соответствующих цвету i проведем все ребра цвета i во входы концов ребер. Найдя максимальный поток в такой сети, получим максимальное количество путей удовлетворяющих требуемому свойству.Решение
Построим сеть. Создадим для каждого типа монет по одной вершине. Эти вершины будут соответствовать Вашим монетам. Нужно собрать как можно больше уникальных монет, поэтому проведем ребро пропускной способности 1 в сток из каждой такой вершины. В вершины, соответствующие монетам, которые у Вас есть изначально, проведем ребро, пропускная способность которого равна количеству таких монет у Вас.Для каждого члена клуба (кроме 1, тоесть Вас) заведем по одной вершине. Эта вершина может принимать не более одной монеты, которой у него нет и отдавать
не более k-1 монеты, которых у него k (k > 1). Естественно, член клуба отдает одну монету взамен одной полученной.
Таким образом, в каждую такую вершину нужно провести ребро пропускной способности 1 из вершин соответствующих монетам, которых нет у этого члена клуба. А из этих вершин нужно провести ребра пропускной способностью k i - 1 в вершину i, соответствующую монетам, которых у члена клуба больше одной.
Построенная сеть отражает процессы обмена в клубе. Максимальный поток в такой сети будет равен максимальному количеству монет, которые могуть быть собраны Вами.
Источник: Харьковская зимняя школа по программированию, 2009, День 4
Дано описание системы охлаждения. Нужно выяснить, каким образом можно пустить жидкость по трубам, чтобы выполнялись все указанные условия.