5.1. Понятие средней величины
Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.
Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.
Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.
Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.
1. Средняя должна определяться для
совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.
2. Средняя должна исчисляться для
совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.
3. Средняя должна рассчитываться для
совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.
4. Средняя должна вычисляться с учетом
экономического содержания исследуемого показателя.
5.2. Виды средних и способы их вычисления
Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.
К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.
Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:
где X i – варианта (значение) осредняемого признака;
n – число вариант.
Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид
,
где X i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное
значение интервала, в котором измеряется варианта;
m – показатель степени средней;
f i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение
осредняемого признака.
Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек:
Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:
Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:
В результате группировки получаем новый показатель – частоту, указывающую число студентов в возрасте Х лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:
Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того,
какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:
средняя гармоническая, если m = -1;
средняя геометрическая, если m –> 0;
средняя арифметическая, если m = 1;
средняя квадратическая, если m = 2;
средняя кубическая, если m = 3.
Формулы степенных средних приведены в табл. 4.4.
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:
В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.
Таблица 5.1
Виды степенных средних
| Вид степенной средней |
Показатель степени (m) |
Формула расчета | |
| Простая | Взвешенная | ||
| Гармоническая | -1 | ||
| Геометрическая | 0 |  |
 |
| Арифметическая | 1 | ||
| Квадратическая | 2 | ||
| Кубическая | 3 | ||
Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.
Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым . Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.
Формула средней геометрической
используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.
Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i 1 , i 2 , i 3 ,..., i n . Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q 0) и последующим наращиванием по годам:
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .
Приняв q n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению
Отсюда 
5.3. Структурные средние
Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.
Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:
,
где X Me – нижняя граница медианного интервала;
h Me – его величина;
(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который
используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или
относительном выражении);
S Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала
медианного интервала;
m Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также
в абсолютном либо относительном выражении).
В нашем примере могут быть получены даже три медианных значения – исходя из признаков количества предприятий, объема продукции и общей суммы затрат на производство:
Таким образом, у половины предприятий уровень себестоимость единицы продукции превышает 125,19 тыс. руб., половина всего объема продукции производится с уровнем затрат на изделие больше 124,79 тыс. руб. и 50 % общей суммы затрат образуется при уровне себестоимости одного изделия выше 125,07 тыс. руб. Заметим также, что наблюдается некоторая тенденция к росту себестоимости, так как Ме 2 = 124,79 тыс. руб., а средний уровень равен 123,15 тыс. руб.
При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как
где Х Mo – нижнее значение модального интервала;
m Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в
абсолютном либо относительном выражении);
m Mo -1 – то же для интервала, предшествующего модальному;
m Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;
h – величина интервала изменения признака в группах.
Для нашего примера можно рассчитать три модальных значения исходя из признаков числа предприятий, объема продукции и суммы затрат. Во всех трех случаях модальный интервал один и тот же, так как для одного и того же интервала оказываются наибольшими и число предприятий, и объем продукции, и общая сумма затрат на производство:
Таким образом, чаще всего встречаются предприятия с уровнем себестоимости 126,75 тыс. руб., чаще всего выпускается продукция с уровнем затрат 126,69 тыс. руб., и чаще всего затраты на производство объясняются уровнем себестоимости в 123,73 тыс. руб.
5.4. Показатели вариации
Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.
Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.
Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации Н как разницы между максимальным (X max) и минимальным (X min) наблюдаемыми значениями признака:
H=X max - X min .
Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.
Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение Л как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня:
При повторяемости отдельных значений Х используют формулу средней арифметической взвешенной:
(Напомним, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю.)
Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируются, например, состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов, разрабатываются системы материального стимулирования. Но, к сожалению, этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.
Дисперсия признака (s 2) определяется на основе квадратической степенной средней:
.
Показатель s, равный , называется средним квадратическим отклонением.
В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.
Если вариация оценивается по небольшому числу наблюдений, взятых из неограниченной генеральной совокупности, то и среднее значение признака определяется с некоторой погрешностью. Расчетная величина дисперсии оказывается смещенной в сторону уменьшения. Для получения несмещенной оценки выборочную дисперсию, полученную по приведенным ранее формулам, надо умножить на величину n / (n - 1). В итоге при малом числе наблюдений (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
Обычно уже при n > (15÷20) расхождение смещенной и несмещенной оценок становится несущественным. По этой же причине обычно не учитывают смещенность и в формуле сложения дисперсий.
Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию среднего значения можно и на основе всего одного выборочного наблюдения по формуле
,
где n – объем выборки; s 2 – дисперсия признака, рассчитанная по данным выборки.
Величина 
носит название средней ошибки выборки
и является
характеристикой отклонения выборочного среднего значения признака Х от его истинной средней
величины. Показатель средней ошибки используется при оценке достоверности результатов выборочного
наблюдения.
Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.
1. Коэффициентом осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней
.
2. Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины
.
3. Коэффициент вариации:
является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
У такого способа оценки вариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например,
исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со средним квадратическим отклонением
s = 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь = 30 лет, а среднеквадратическое отклонение по-прежнему
равно 10. Совокупность, ранее бывшая неоднородной (10/15 × 100 =
66,7%), со временем
оказывается, таким образом, вполне однородной (10/30 × 100 = 33,3 %).
Боярский А.Я. Теоретические исследования по статистике: Сб. Науч. Трудов.– М.: Статистика,1974. С. 19–57.
| Предыдущая |
Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.
Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике , варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики . Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.
Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.
В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.
Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.
Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:
- качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;
- исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;
- при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показа-телъ (свойство), на который она должна быть ориентирована.
Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.
Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.
Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.
В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.
Виды средних величин
В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:
- степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадра-тическая, средняя кубическая);
- структурные средние (мода, медиана).
Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
Самый распространенный вид средней величины - средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй - 7, третий - 4, четвертый - 10, пятый- 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:
т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна
Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек , возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где xi - варианты осредняемого признака, fi - частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Средний возраст студентов
Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:
Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить
среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитывать-ся по формуле средней арифметической взвешенной.
В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины - средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.
Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/ xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как Σfi, а время, затраченное на весь путь, - как Σ fi/ xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:
В нашем примере получим:
Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:
где xi - отдельные варианты; n - число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.
Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.
Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.
Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения
их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажо-рантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина. Наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле
Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:
Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая - при абсолютных значениях уровней ряда.
Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и вычисляется по формуле
Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:
Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле
средняя кубическая взвешенная:
Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:
где - средняя величина; - индивидуальное значение; n - число единиц изучаемой совокупности; k - показатель степени, определяющий вид средней.
При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:
Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние - мода (Мо) и медиана (Ме).
Мода - величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле
где х0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; fm_ 1 - частота предшествующего интервала; fm+ 1 - частота следующего интервала.
Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой - больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.
Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (п +1) / 2 с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.
При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле
где X0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; f - число членов ряда;
∫m-1 - сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.
Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили - на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей - девять.
Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.
Показатели вариации
Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов распределения - атрибутивные и вариационные, в зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным.
Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.
Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.
Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.
Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - это наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения. Обозначим частоту повторения значения признака fi, сумма частот, равная объему изучаемой совокупности будет:
где k - число вариантов значений признака. Частоты удобно заменять частостями - wi. Частость - относительный показатель частоты - может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Формально имеем:
Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax - Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин. Область применения этого показателя ограничена достаточно однородными совокупностями, точнее, характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете изменчивости всех значений признака.
Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели
вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.
Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:
Абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f- частота.
Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами.
Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации - дисперсию.
Дисперсия (σ 2) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:
Вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).
В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение (σ) представляет собой корень квадратный из дисперсии:
Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.
В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков - среднее линейное и среднее квадртическое отклонение - не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.
При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:
Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.
Средняя величина - это обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по изучаемому признака.
Выбор средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин:
Арифметическая
Гармоническая
Квадратичная
Геометрическая
Каждая из них может быть простой и взвешенной. Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и определяются формулой (при различных значениях m):
При m = -1 средняя гармоническая;
m = 0 средняя геометрическая
m = 1 средняя арифметическая;
m = 2 средняя квадратическая;
Средняя арифметическая простая - это самая часто используемая средняя величина, которая получается, если подставить в общую формулу m=1. Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:
где X - значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N - общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности).
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется когда варианты встречаются не одинаковое число раз.
Число одинаковых значений и признаков в рядах распределения называется частотой или весом (f). Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:
Для вычисления средней арифметической взвешенной необходимо:
Каждую варианту умножить на вес признака (x*f)
Найти сумму этих произведений
Сумму произведений вариант
Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта =1, и когда индивидуальное значение обратного признака встречается по 1 разу. Средняя гармоническая простая обратная средней арифметической из обратных значений признака.
Средняя гармоническая простая применяется для расчета средней трудоемкости и средней производительности труда.
Средняя гармоническая взвешенная применятся, когда статистическая информация не содержит частой по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, и когда имеются данные об индивидуальных значениях признака и общем объеме совокупности, но неизвестны частоты.
Средняя квадратическая простая применяется для расчета среднего диаметра стволов деревьев, клубней, труб и т.д. Т.е. она применятся для обобщения признаков, выраженных линейными мерами каких-либо площадей. Средняя квадратическая простая определяется путем деления суммы квадратов отдельных значений признаков на их число и извлечение из полученного частного квадратного корня.
Средняя квадратическая взвешенная применяется в том случае, если будет частота повторения признака.
Средняя геометрическая простая применяется в тех случаях, когда индивидуальное значение признака представляет собой относительные величины динамики. Вычисляется путем извлечения корня степени n из произведений отдельных значений признака.
Модой называется наиболее часто встречающаяся величинв признака. Определение моды зависит от того, в каком ряду представлен вальрирующий признак, если вальрирующий признак представлен в в идее дискретного ряда распределения, то для определения моды не требуется никаких вычислений. В таком ряду модой будет то значение признака, которое обладает наибольшей частотой. Если значение признака представлены в виде интервального вида, то мода определяется:
где Мо - мода;
ХНМо - нижняя граница модального интервала
;hМо - размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей);
fМо - частота модальноого интервала;
fМо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;
fМо+1 - частота интервала, следующего за модальным.
Медианой называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда. А если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая двух вариант, расположенных в середине ряда. Медиану для интервального вариационного ряда рассчитывают:
где Ме - медиана;
НМе - нижняя граница медианного интервала;
hМе - размах медианного интервала;
fМе - частота медианного интервала;
fМе-1 - сумма частот интервалов, предшествующих медианному.
Показатели вариаций- отклонение индивидуальных показателей от средней величины.
Существуют следующие показатели вариаций:
Размах вариации или лимит изменчивости
Среднее линейное отклонение
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
Размах вариации- разность между наибольшим и наименьшим значением вальрирующего признака.
Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду.
Среднее линейное отклонение- сумма отклонений каждой варианты от своей средней арифметической без учета знака, деленная на число вариант. Существует простое и взвешенное.
Среднее линейное отклонение дает лишь приближенную характеристику вариации.
Дисперсия- среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней.
Для расчета простой дисперсии находят отклонения каждой варианты от средней, затем отклонения возводят в квадрат, суммируют и делят на число вариант.
Простая дисперсия:
Взвешенная:
Среднее квадратическое отклонение- корень квадратный из дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение обладает большей степенью точности и находит применение при любом анализе статистических совокупностей. Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичней будет средняя величина.
Коэффициент вариаций- относительная мера изменчивости признака. % отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.
Чем больше коэффициент вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородней совокупность по своему составу. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариаций не превышает 33%.
При анализе данных статистического наблюдения часто возникает необходимость получить обобщенную характеристику изучаемых процессов и явлений. Одной из важнейших обобщающих характеристик статистического анализа является средняя величина . В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и находят выражение общие и закономерные черты, свойственные всей совокупности в целом.
Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в расчете на единицу однородной совокупности. В средних величинах выражается действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Метод средних является одним из важнейших статистических методов. Основным условием правильного научного использования средней величины в статистическом анализе является качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Поэтому перед исчислением средних величин все единицы совокупности расчленяют на однородные группы, по которым и исчисляют средние. Если не произвести такого расчленения, то в результате можно прийти к результату, который совершенно неправильно будет характеризовать наблюдаемую совокупность. Метод средних неотделим от метода группировок, так как именно группировки обеспечивают качественную однородность исследуемых статистических совокупностей.
Средние величины широко используются при изучении социально-правовых процессов, отражающих результаты деятельности государства, органов и учреждений, общественных структур (например, средние темпы роста и прироста объема преступности или раскрываемости, изменение структуры системы профилактики и др.).
Средние величины, используемые в статистическом анализе можно разделить на два класса: степенные средние и структурные средние.
Степенные средние определяются по формуле:
где х – индивидуальные значения осредняемого признака;
n – число единиц совокупности
z – степень средней.
При подстановке в формулу различных значений z получаем выражения для вычисления различных видов степенных средних:
при z = 1 – средняя арифметическая;
при z = 0 – средняя геометрическая;
при z = -1 – средняя гармоническая;
при z = 2 – средняя квадратическая.
Наиболее распространенным видом степенной средней является средняя арифметическая . Она используется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц рассматриваемой совокупности.
В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется двумя способами.
Допустим, что количество правонарушений по 10 населенным пунктам региона за определенный период составило: 6000, 5900, 5700, 5600,5400, 5300, 4900, 4500, 3600, 3100. Требуется вычислить среднее количество правонарушений по региону. Для его определения необходимо просуммировать количество правонарушений по всем населенным пунктам и полученную сумму разделить на число населенных пунктов в регионе.
Среднее число правонарушений в регионе составило 5000. Используемая в данном примере формула называется простой средней арифметической . Простой она называется потому, что исчисляется простым суммированием индивидуальных значений признака и делением полученной суммы на объем совокупности. Эта формула применяется в тех случаях, когда исходные данные не сгруппированы (не образованы в группы по какому-то признаку) и каждой единице совокупности соответствует определенное значение признака, либо, когда все частоты (частости) равны между собой.
Если же отдельные значения признака встречаются не один, а несколько, причем неодинаковое число раз, то среднюю величину рассчитывают по формуле взвешенной средней арифметической:
Для исчисления взвешенной средней выполняются следующие последовательные операции: умножения каждого варианта на соответствующую ему частоту, суммирование полученных произведений и деление полученной суммы на сумму частот. Рассмотрим пример применения взвешенной средней арифметической.
Пример 4.1.
Годовая нагрузка 15 судей городского суда, специализирующихся на.рассмотрении гражданских дел различной направленности, составила: 17;42;47;47;50;50;50;63;68;68;75;78;80;80;85. Вычислить среднюю годовую нагрузку на одного судью.
Решение.
В данном примере мы имеем дело с дискретным рядом, причем некоторые варианты ряда повторяются несколько раз, например, 47; 50 и т.д. Следовательно, необходимо для исчисления средней арифметической применить формулу взвешенной средней. Представим ряд в виде таблицы.
Таблица 4.1
Подставим в формулу для исчисления средней арифметической взвешенной значения вариантов (количество гражданских дел) и соответствующие им частоты (количество судей).
Следовательно, средняя годовая нагрузка 15 судей городского суда составляет 60 дел.
Часто вычисление средних величин приходится производить по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда значения признака представлены в виде интервалов. Для того, чтобы определить среднюю в интервальном ряду, необходимо перейти от интервального ряда к дискретному путем замены интервалов значений признака их серединами. В закрытом интервале (в котором указаны обе границы – нижняя и верхняя) серединное значение определяется как полусумма значений верхней и нижней границ. Иногда приходится иметь дело с открытыми интервалами (в которых имеется лишь одна из границ – верхняя или нижняя). В этом случае предполагается, что ширина данного интервала (расстояние между границами интервала) такая же, как и у соседнего интервала. После перехода от интервального ряда к дискретному вычисление средней производится по формуле взвешенной средней арифметической.
Рассмотрим пример исчисления средней арифметической для интервального ряда.
Пример 4.2.
Сроки рассмотрения уголовных дел районным судом характеризуются следующим образом:
до 3-х дней – 360 дел;
от 3-х до 5-ти дней – 190 дел;
от 5-ти до 10-ти дней – 70 дел;
от 10-ти до 20-ти дней – 170 дел.
Определить средний срок рассмотрения дела.
Решение.
Занесем статистические данные в таблицу 4.2. Для этого представим их в виде интервального ряда. При этом первый интервал будет открытым – до 3-х дней, у него нет нижней границы. Поэтому при нахождении середины данного интервала следует принимать его величину равной величине последующего интервала: 3-5 лет. Таким образом, открытый интервал до 3-х лет будет аналогичен закрытому интервалу 1-3 года и его середина будет равна 2-м годам. Для облегчения исчисления взвешенной средней рекомендуем предварительные вычисления заносить в таблицу, в нашем случае это произведение вариантов на частоты – последний столбец.
Таблица 2
Теперь воспользуемся формулой для исчисления взвешенной средней арифметической:
дней
Как уже было отмечено выше, вторая группа средних, применяемых в статистическом анализе – структурные средние . Их используют для характеристики структуры совокупности. К структурным средним относятся такие показатели, как мода и медиана .
Модой (Мо) называется значение признака (вариант), который наиболее часто встречается в исходной совокупности.
В дискретном вариационном ряду Мо является вариант, имеющий наибольшую частоту. Рассмотрим порядок определения моды на примере:
Пример 4.3.
При обследовании 500 уголовных дел по групповым преступлениям установлены следующие их размеры по количеству членов группы – таблица 4.3.
Таблица 4.3
Решение.
Модальной величиной в данном примере будет преступная группа, состоящая из 4 человек (Мо = 4), поскольку этому значению в дискретном ряду распределения соответствует наибольшее количество уголовных дел – 250 (именно этот вариант имеет наибольшую частоту).
Для определения моды в интервальном ряду распределения сначала находят модальный интервал (интервал, которому соответствует максимальная частота), а затем моду вычисляют по формуле:
где х 0 – нижняя граница модального интервала;
h – ширина модального интервала;
f Mo – частота модального интервала;
f Mo -1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f Mo +1 – частота интервала, следующего за модальным.
Пример 4.4 .
105 уголовных дел по конкретному виду преступлений за год распределились по срокам расследования следующим образом – таблица 4.4. Найти моду.
Таблица 4.4
Решение.
Наибольшей частотой в данном случае является 50 (дел), следовательно, модальный интервал будет 3-4 месяца.
Воспользуемся формулой для нахождения моды в интервальном ряду и подставим необходимые значения:
Следовательно, чаще всего встречающийся срок расследования уголовных преступлений за год составил 3,5 месяца.
Медиана - это значение признака, занимающее центральное место в ранжированной совокупности, при этом первая половина совокупности имеет значение признака меньше, чем медиана, а вторая имеет значения признака больше, чем медиана.
Для определения медианы в дискретном вариационном ряду необходимо:
1) Вычислить накопленные частоты.
2) Определить порядковый номер медианы по формуле:
3) По накопленным частотам найти значение признака, которое имеет единица совокупности с найденным порядковым номером.
Пример 4.5.
Распределение уголовных дел по срокам рассмотрения представлены в таблице 4.5. Вычислить медианное значение срока рассмотрения дел.
Таблица 4.5
Решение.
Сначала необходимо вычислить накопленные частоты – таблица 4.5, столбец 3. Находим такое значение накопленной частоты, которое равно или первый раз превышает значение 200: 
. Этому значению соответствует накопленная частота, равная 260-ти, следовательно, медианой ряда сроков заседаний является срок продолжительностью 4 дня (Ме = 4).
Для того, чтобы найти медиану в интервальном ряду распределения, необходимо:
1) Вычислить накопленные частоты;
2) Определить порядковый номер медианы, используя ту же формулу, что и для дискретного вариационного ряда;
3) По накопленным частотам найти интервал, содержащий нужную нам единицу совокупности (медианный интервал);
4) Вычислить медиану по формуле:
где х 0 – нижняя граница медианного интервала;
h – ширина медианного интервала;
f M е – частота медианного интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
Пример 4.6
Для иллюстрации нахождения медианы в интервальном ряду возьмем условие примера 4.4.
Решение.
Сначала необходимо вычислить накопленные частоты. Воспользуемся, как и в предыдущих примерах, табличной формой записи – таблица 4.6.
Таблица 4.6
Затем находим порядковый номер медианы:
Первая накопленная частота, равная или превышающая половину частот ряда (порядковый номер медианы) – это 85 (см. табл. 4.6). Следовательно, медианный интервал в данном случае «3-4 месяца».
Воспользуемся формулой для нахождения медианы в интервальном ряду:
Медианное значение срока расследования составляет 3,35 месяца, т.е. первая половина уголовных дел была расследована менее, чем за 3,35 месяца, а вторая половина дел – более, чем за 3,35 месяца.
Средняя величина дает обобщающую характеристику варьирующего признака. Однако в ряде случаев этого бывает недостаточно и возникает потребность в исследовании вариации (колебаний), которые не проявляются в средней величине.
Изучая результаты статистического наблюдения того или иного признака у конкретных единиц совокупности, практически всегда можно отметить различие между ними.
В процессе статистического исследования того или иного количественного признака отдельные единицы наблюдения могут существенно различаться между собой даже в пределах однородной совокупности. Наблюдаемые различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике принято называть вариацией признака.
Средние величины двух или более совокупностей могут быть одинаковыми, но при этом исследуемые совокупности существенно различаются величиной вариации, т.е. в одной совокупности отдельные варианты могут далеко отстоять от средней величины, а в другой - размещаться более кучно вокруг средней. В том случае, когда значения признака имеют большое колебание, как правило, можно говорить и о большем разнообразии тех условий, которые воздействовали на исследуемую совокупность.
Если отдельные варианты наблюдаемой статистической совокупности недалеко отстоят от средней величины, то можно говорить, что данная средняя величина достаточно полно отражает изучаемую совокупность, но при этом сама средняя величина ничего не говорит о возможной вариации исследуемого признака.
Изучение характера и меры возможной случайной вариации распределения признаков в исследуемой совокупности является одним из ключевых разделов статистики.
Вариация свойственна практически всем без исключения природным и общественным явлениям и процессам, в том числе и в юридической сфере.
Для измерения величины вариации признака в совокупности используют следующие показатели размера вариации:
§ размах вариации,
§ среднее линейное отклонение,
§ дисперсия (средний квадрат отклонения),
§ среднее квадратическое отклонение,
§ коэффициент вариации.
Размах вариации является наиболее простым измерителем вариации и представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:
где R – размах вариации;
х max – максимальное значение признака;
х min – минимальное значение признака.
Размах вариации учитывает лишь крайние отклонения и не отражает колеблемости всех вариант в совокупности.
Для получения обобщенной характеристики распределения отклонений исчисляют среднее линейное отклонение , которое учитывает различия всех единиц совокупности. Данный показатель представляет собой среднюю арифметическую величину из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической без учета знака этих отклонений.
где – среднее линейное отклонение;
х i – индивидуальные значения признака;
– среднее значение признака;
n – объем совокупности.
Данная формула представляет собой простое среднее линейное отклонение . Взвешенное среднее линейное отклонение определяется следующим образом:
где f i – частота повторений.
Среднее линейное отклонение как меру вариации признака в статистическом анализе используют довольно редко, так как в большинстве случаев этот показатель не отражает степень рассеивания признака.
Для преодоления недостатков среднего линейного отклонения вычисляют показатель, наиболее объективно отражающий меру вариации – дисперсию (средний квадрат отклонений). Она определяется как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.
- простая дисперсия
- взвешенная дисперсия
При возведении отклонений вариант от средней арифметической величины в квадрат положительные и отрицательные отклонения получают один и тот же положительный знак. Кроме того, большие отклонения от средней величины, будучи возведенными в квадрат, получают и больший «удельный вес», оказывая большее влияние на величину показателя вариации. Однако, возводя отклонения вариант от средней арифметической величины в квадрат, мы искусственно увеличиваем и сам показатель вариации. Чтобы преодолеть этот недостаток, вычисляется среднее квадратическое отклонение , которое исчисляется путем извлечения квадратного корня из среднего квадрата отклонения (дисперсии).
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются общепринятыми мерами вариации признака.
Приведенные показатели вариации выражаются именованными числами, имею те же единицы измерения, что и изучаемый признак, т.е. дают представление об абсолютной величине вариации признака.
Для сравнения степени колеблемости разнородных явлений, разных по своему характеру и размерам признаков, используется относительный показатель вариации, который называется коэффициентом вариации.
Коэффициент вариации дает возможность сопоставить вариацию одного и того же признака в разных статистических совокупностях, а также разнородных признаков одной и той же или различных статистических совокупностей.
где V – коэффициент вариации;
– среднее квадратическое отклонение;
– среднее арифметическое значение признака
По величине коэффициента вариации судят об однородности совокупности. Если его значение не превышает 33%, то совокупность считается однородной.
Рассмотрим порядок расчета показателей вариации на следующем примере.
Пример 4.7.
Имеются данные промежуточной аттестации студентов одной из групп юридического факультета.
5 5 4 4 5 5 5 2 4 4 3 5 4 4 3 5 5 5 3 2 4 3 4 5 4 5 3 5 2 2 4 5 3 3 5
Найти размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделать выводы.
Решение.
Составим таблицу для промежуточных вычислений – таблица 47.
Таблица 4.7
| Баллы, x i | Частота, f i | x i f i | x i - | |x i - | f i | (x i - ) 2 | (x i - ) 2 f i |
| -2 | ||||||
| -1 | ||||||
| Итого: |
1) Найдем средний балл по формуле взвешенной средней арифметической:
балла
2) Размах вариации равен балла
3) Среднее линейное отклонение ищем по формуле взвешенного линейного отклонения 
балла
4) Дисперсия также находится в данном случае по формуле взвешенной дисперсии 
5) Среднее квадратическое отклонение 
6) Коэффициент вариации 
Вывод: коэффициент вариации меньше 33%, следовательно, данная совокупность однородная.
В данном случае рассматривался пример вычисления показателей вариации для дискретного ряда. Для интервального ряда порядок вычисления показателей вариации аналогичен, а x i будет соответствовать серединам интервалов.
1. Понятие средней величины в статистике.
2. Виды средних величин. Их краткая характеристика.
3. Средняя арифметическая. Ее виды.
4. Свойства средней арифметической.
5. Структурные средние.
6. Понятие моды и медианы.
7. Определение моды и медианы в дискретном ряду распределения.
8. Определение моды и медианы в интервальном ряду распределения.
9. Графический метод определения структурных средних.
10. Понятие вариации признака.
11. Абсолютные показатели вариации признака в совокупности.
12. Коэффициент вариации, его роль в статистическом анализе.
Задачи
Задача 1 . Годовая нагрузка 20 судей городского суда, специализирующихся на рассмотрении гражданских дел различной направленности, составила: 17;42;47;47;50;50;50;63;68;68;75;78;80;80;85;72;81;45;55;60. Вычислите среднюю годовую нагрузку на одного судью.
Задача 2 . Возрастной состав лиц, совершивших преступления, характеризуется следующими данными: в возрасте 14-15 лет – 69,2 тыс. чел.; 16-17 лет – 138,9; 18-24 года – 363,3; 25-29 лет – 231,0; 30 лет и старше – 791,6 тыс. чел.. Вычислите средний возраст преступников.
Задача 3 . Состояние преступности по населенным пунктам региона характеризуется следующими данными:
Определите моду и медиану количества совершенных преступлений.
Задача 4 . Имеются данные о среднем размере ущерба от преступных посягательств в результате совершения хищений чужого имущества:
Определите моду и медиану среднего размера ущерба.
Задача 5 . Производительность труда следователей двух подразделений ОВД характеризуется следующими данными:
Вычислить показатели вариации производительности труда следователей в 1-ом и 2-ом подразделениях, по результатам расчета сделать выводы.
Задача 6 . По данным о распределении числа правонарушений по возрасту их субъектов определить среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделать выводы.
- СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВЫХ ЯВЛЕНИЙ
Одна из основных задач, с которой встречается каждый юрист, правовед – оценка взаимосвязи между переменными, отражающими социально-правовые явления или процессы. К примеру, нередко проблему преступности молодежи рассматривают в зависимости от уровня безработицы. Неэффективность институтов социальной защиты связывают с миграционными потоками, рассматривают как последствия въезда (выезда) на территорию дополнительного числа людей и т.д.
Очевидно, что точность полученных результатов будет зависеть от того, насколько полно мы учтем взаимосвязь всех возможных переменных величин при построении статистической модели изучаемого социально-правового процесса или явления.
Связи в статистике классифицируют по тесноте, направлению, форме и числу факторов.
По тесноте различают функциональные и статистические связи.
При функциональной связи с изменением значений одной переменной вторая изменяется строго определенным образом, т.е. каждому значению факторного (независимого) признака соответствует одно, строго определенное значение результативного (зависимого) признака. В реальности функциональных связей не существует, они являются лишь абстракциями, полезными при анализе явлений.
Связь, при которой каждому значению факторного признака соответствует не одно, а несколько значений результативного признака называется статистической (стохастической).
По направлению связи делят на прямые (положительные) и обратные (отрицательные). При прямой связи направление изменения факторного признака совпадает направлению изменения результативного признака. При обратной связи направления изменения значений факторного и результативного признаков противоположны.
По аналитической форме различают линейные и нелинейные связи. Линейные связи графически отображаются прямой, нелинейные – параболой, гиперболой, показательной функцией и т.п.
В зависимости от количества факторов, действующих на результативный признак, существуют парные (однофакторные) и множественные (многофакторные) связи. В случае парной связи значения результативного признака обусловлены действием одного фактора, при множественной связи – нескольких факторов.
Для исследования статистических связей используется целый комплекс методов: корреляционный анализ, регрессионный анализ, дискриминантный анализ, кластерный анализ, факторный анализ и др. Остановимся на рассмотрении корреляционного и регрессионного анализа.
Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие позволяет решать следующие задачи:
§ измерение тесноты связи между двумя (и более) переменными величинами;
§ определение направления связи;
§ установление аналитического выражения (формы) взаимосвязи между явлениями;
§ определение возможных ошибок показателей тесноты связи и параметров уравнений регрессии.
Статистические методы различных обобщений, указывая на наличие прямой или обратной связи между признаками, не дают представления о мере связей, ее количественном выражении. Эту задачу решает корреляционный анализ, который позволяет установить характер взаимосвязи и количественно ее измерить.
Для измерения тесноты связи между результативным и факторным признаками наиболее широко используется линейный коэффициент корреляции , который был введен К. Пирсоном. В теории разработаны различные модификации формул для расчета коэффициента корреляции.
Где - среднее арифметическое произведения факторного и результативного признака;
Среднее арифметическое факторного признака;
Среднее арифметическое результативного признака;
Среднее квадратическое отклонение факторного признака;
Среднее квадратическое отклонение результативного признака;
n – число наблюдений.
Линейный коэффициент корреляции принимает значения в диапазоне от – 1 до 1. Чем ближе его значение по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Его знак указывает на направление связи: знак «–» соответствует обратной связи, знак «+» – прямой. Степень тесноты взаимосвязи признаков в зависимости от коэффициента корреляции приведена в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Для оценки значимости коэффициента корреляции применятся t -критерий Стьюдента . Для этого определяется расчетное (фактическое) значение критерия:
Где - линейный коэффициент парной корреляции;
n – объем совокупности.
Расчетное значение t -критерия сравнивается с критическим (табличным), которое выбирается из таблицы значений Стьюдента (приложение 1) в зависимости от заданного уровня значимости и числа степеней свободы k = n – 2.
Если , то величина коэффициента корреляции признается существенной.
Рассмотрим расчет линейного коэффициента корреляции на примере.
Пример 5.1.
Из имеющихся 11 пар данных на осужденных с информацией: стаж работы/ количество изготовленных изделий, представленных в таблице 5.2, рассчитать линейный коэффициент корреляции, сделать выводы:
Регрессионный анализ позволяет установить аналитическую зависимость, в которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин, а множество прочих факторов, также оказывающих влияние на результативны
Реферат
Средние величины и показатели вариации
1.Сущность средних в статистике
2.Виды средних величин и способы их расчёта
3.Основные показатели вариации и их значение в статистике
1. Сущность средних величин в статистике
В процессе изучения массовых социально-экономических явлений возникает необходимость выявления их общих свойств, типичных размеров и характерных признаков. Необходимость в обобщающем среднем показателе возникает в том случае, когда признаки, характеризующие единицы изучаемой совокупности, количественно варьируют. Например, размер дневной выработки ткачей на текстильной фабрике зависит от общих условий производства, ткачи используют одинаковое сырьё, работают на одинаковых станках и т.д. В то же время часовая выработка отдельных ткачей колеблется, т.е. варьирует, так как зависит от индивидуальных особенностей каждого ткача (его квалификации, профессионального опыта и т.д.). Чтобы характеризовать дневную выработку всех ткачей предприятия, необходимо исчислить среднюю величину дневной выработки, так, как, только, в, этом, показателе найдут отражение общие для ткачей условия производства.
Таким образом, исчисление средних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) от особенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявление общих для данной совокупности типичных черт и свойств.
Таким образом, средней величиной в статистике является обобщённая, количественна характеристика признака и статистической совокупности. Она выражает характерную, типичную величину признака у единиц совокупности, образующихся в данных условиях места и времени под влиянием всей совокупности факторов. Действие разнообразных факторов порождает колебание, вариацию усредняемого признака. Средняя величина является общей мерой их действия, равнодействующей всех этих факторов. Средняя величина характеризует совокупность по усредняемому признаку, но относится к единице совокупности. Например, средняя выработка продукции на одного рабочего данного предприятия представляет собой отношение всей выработки (за любой период времени) к общей (средней за тот же период) численности его рабочих. Она характеризует производительность труда данной совокупности, но относится к одному рабочему. В средней величине массового явления погашаются индивидуальные различия единиц статистической совокупности в значениях усредняемого признака, обусловленные случайными обстоятельствами. Вследствие этого взаимопогашения в средней проявлявляется общее, закономерное свойство данной статистической совокупности явлений. Между средней и индивидуальными значениями осреднённого признака существует диалектическая связь как между общим и отдельным. Средняя является важнейшей категорией статистической науки и важнейшей формой обобщающих показателей. Многие явления общественной жизни становятся ясными, определёнными, лишь, будучи обобщенными, в форме средних величин. Таковы, например, упомянутая выше производительность труда, совокупность рабочих, урожайность сельскохозяйственных культур и т.д. Средняя выступает в статистике важнейшим методом научного обобщения. В этом смысле говорят о методе средних величин, который широко применяется в экономической науке. Многие категории экономической науки определяются с использованием понятия средней.
Основным условием правильного применения средней величины является однородность статистической совокупности по усредняемому признаку. Однородной статистической совокупностью называется такая совокупность, в которой её составные элементы (единицы) сходны между собой по существенным для данного исследования признакам и относятся к одному и тому же типу явлений. Однородная совокупность, будучи однородна по одним признакам, может быть разнородной по другим. Только в средних для таких совокупностей проявляются специфические особенности, закономерности развития анализируемого явления. Средняя вычисленная для неоднородной статистической совокупности, т.е. такой в которой объединены качественно различные явления, теряет своё научное значений. Такие средние являются фиктивными, не только не дающими представления о действительности, но и искажающими её. Для формирования однородных статистических совокупностей производится соответствующая группировка. С помощью группировок и в качественно однородной совокупности могут быть выделены характерные в количественном отношении группы. Для каждой из них может быть вычислена своя средняя, называемая средней групповой (частной) в отличие от общей средней (для совокупности в целом).
2. Виды средних величин
Большое значение в методологии средних величин имеют вопросы выбора формы средней, т.е. формулы по которой можно правильно вычислить среднюю величину, и выбора весов средней. Наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратичная, мода и медиана. Применение той или иной формулы зависит от содержания усредняемого признака и конкретных данных, по которым её необходимо рассчитать. Для выбора формы средней можно воспользоваться так называемым средним исходным соотношением.
2.1 Средняя арифметическая
Средняя арифметическая - одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняя арифметическая рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений (вариантов) варьирующего признака на их число. Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака явлений однородной статистической совокупности, образуется путём суммирования значений признака всех единиц явлений статистической совокупности. Различают следующие средне арифметические величины:
1) Простая средняя арифметическая , которая определяется путём простого суммирования количественных значений варьирующего признака и деления этой сумы на их варианты и рассчитывается по следующей формуле:
Х - средняя величина статистической совокупности,
x i - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,
n i - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.
2) Среднеарифметическая взвешенная - средняя величина признака явления, вычисленная с учётом весов. Веса средних величин - частоты, с которыми отдельные значения признака осредняемого принимаются в расчёт при исчислении его средней величины. Выбор весов средней величины зависит от сущности усредняемого признака и характера данных, которыми располагают для вычисления средних величин. В качестве весов средних величин могут быть показатели численности единиц или размеры частей статистической совокупности (в форме абсолютных или относительных величин), обладающих данным вариантом (значением) усредняемого признака явления статистической совокупности, а также величины показателя связанного с усредняемым признаком. Среднеарифметическая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:
X- средняя арифметическая взвешенная,
х - величина отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,
Назначение простой, и взвешенной средней арифметической является определение среднего значения варьирующего признака. Если в изучаемой статистической совокупности варианты значений признака встречаются по одному разу или имеют одинаковый вес, то применяется простая средняя арифметическая, если же варианты значений данного признака встречаются в изучаемой совокупности по несколько раз или имеют различные веса, для определения среднего значения варьирующего признака применяется средняя арифметическая взвешенная.
2.2 Средняя гармоническая
Средняя гармоническая применяется для расчёта средней величины тогда, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты усредняемого признака (х) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением w (w = xf).
Данная средняя рассчитывается по следующим формулам:
1.) Среднегармоническая простая:
Х - средняя гармоническая простая,
n - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.
2) Среднегармоническая взвешенная:
Х - средняя гармоническая взвешенная,
х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,
При использовании гармонической взвешенной выявляют веса и таким образом получают тот же результат, который дал бы расчёт по средней арифметической взвешенной, если бы были известны все необходимые для этого данные.
2.3 Средняя агрегатная
Средняя агрегатная рассчитывается по формуле:
X - средняя агрегатная,
х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,
Средняя агрегатная вычисляется в тех случаях, когда известны (имеются) значения числителя и значения знаменателя исходного соотношения средней.
2.4 Средняя геометрическая